N° XII (G

NOTE

st»

L'APPLICATION DL PRINCIPE D'HIYGBENS ET DE LA THEORIE DES INTERFERENCES AUX PHÉNOMÈNES DE LA RÉFLEXION Kï DE LA DIFFRACTION.

1. Dans le système des ondulations, où la lumière n'est autre chose que les vibrations d'un fluide universel agité par les mouvements rapides des particules des corps lumineux, il faut considérer chaque particule comme exécutant toujours, pendant quelques instants, une série nombreuse d'oscillations semblables avant de s'arrêter, ou de changer de nature de vibration, c'est-à-dire, supposer une certaine persistance de mouvement dans les centres d'ébranlement, comme on l'observe pour les vibrations de tous les corps élastiques qui, après avoir été tirés de l'état de repos, n'y reviennent jamais instantanément. C'est ce qui paraît devoir résulter d'ailleurs des forces attractives et répulsives qui tiennent les molécules des corps en équilibre. Il est naturel de supposer aussi qu'il faut une certaine succession de ces petits chocs pour ébranler la rétine, et qu'une seule pulsation lumineuse ne produirait pas la vision. Nous supposerons donc sur chaque rayon lumineux une succession nombreuse et même indéfinie d'ondulations semblables; car il n'est pas nécessaire de considérer celles qui commencent et terminent la série, auxquelles on ne pourrait pas appliquer à la vérité les raisonnements que nous ferons pour les autres, mais qui sont, par hypothèse, une assez petite partie du système d'ondes pour qu'on puisse négliger les différences des effets partiels qu'elles doivent produire, et les considérer comme étant dans le même cas que les ondes intermédiaires. Ainsi nous regarderons la lumière

comme une vibration générale de l'éther dans toute l'étendue des i. «n

N" XII (G), chemins parcourus que nous aurons à considérer, quelle que soit leur longueur.

On conçoit que la durée de chaque oscillation d'une particule éclairante, et par conséquent la longueur des ondulations qu'elle produit dans l'éther, doivent varier en raison du degré d'intensité des forces auxquelles cette particule est soumise dans l'instant que l'on considère, et qui tendent à la ramener à sa position d'équilibre. Ainsi une même particule éclairante peut produire successivement des ondes de différentes longueurs, ou des rayons de diverses couleurs; mais nous regarderons toujours comme indéBnie chacune des séries d'ondulations homogènes qu'elle fait naître successivement, ou, ce qui revient au même, nous ferons abstraction de ce qui se passe aux extrémités de ces différents systèmes d'ondes.

Tout porte à croire que les oscillations des particules éclairantes dans leurs plus grandes amplitudes doivent toujours être extrêmement courtes, relativement à la longueur des ondulations éthérées qu'elles font naître, qui, quoique extrêmement petites, sont cependant appréciables pour nos sens. Ainsi l'on peut appliquer aux vibrations lumineuses la théorie des petits mouvements. D'ailleurs on ne remarque pas que le plus ou moins d'intensité de la lumière apporte aucun changement à la manière dont elle se comporte dans les différents phénomènes d'optique observés jusqu'à présent. Ainsi l'on peut choisir le cas où elle a le moins d'intensité, c'est-à-dire celui où les oscillations des molécules éthérées et des particules éclairantes ont le moins d'amplitude.

2. L'hypothèse des petits mouvements permet de déterminer la forme des ondes lumineuses, c'est-à-dire les vitesses relatives d'oscillation des molécules éthérées dans toute l'étendue de ces ondes, sans connaître la loi des forces qui entretiennent les oscillations de la particule éclairante; car, quelle que soit la fonction qui la représente, et que je suppose exprimée par la série Ax-t-Bx' + Cx5 etc. dans laquelle x est la distance de la particule au point d'équilibre, si les plus grandes valeurs de x sont toujours très-petites par rapport à la sphère

d'activité de la force accélératrice, on pourra ne conserver de cette série N° XII (G), que le premier terme Ax, et négliger tous les autres, c est-à-dire supposer que la force accélératrice, dans les petites excursions de la particule éclairante, est toujours proportionnelle à sa distance au point de repos. On retombe alors sur la loi du pendule, et l'on trouve que les vitesses d'oscillation des molécules éthérées, dans les différents points de l'onde lumineuse, sont proportionnelles aux sinus de leurs distances à un même point fixe pris pour origine, ou à ceux des temps employés à parcourir ces distances par chacun des ébranlements élémentaires dont l'onde se compose.

3. A l'aide de ce résultat du calcul, et du principe de la coexistence des petits mouvements, on peut déterminer aisément la position et l'intensité d'un système d'ondes résultant de deux autres systèmes, dont les intensités et les positions respectives sont données, et que nous supposons composés d'ondes de même longueur; car des ondes de nature différente ne peuvent produire que des effets variables par leurs interférences, et qui, par conséquent, sont insensibles pour l'œil dans leur rapide succession; c'est pourquoi Ton dit que des rayons hétérogènes ne s'influencent pas.

L'ébranlement produit dans chaque point de l'éther par les deux systèmes d'ondes supposés se propager suivant la même direction est égal à la somme des vitesses que chacun d'eux y apporterait séparément, d'après le principe de la coexistence des petits mouvements : or on peut déterminer ces vitesses d'après la loi fort simple que nous venons d'énoncer, et l'on trouve ainsi que la résultante de deux systèmes d'ondes homogènes est encore un système d'ondes de même longueur, dont la position et l'intensité des vitesses d'oscillation répondent exactement à la grandeur et à la position angulaire de la résultante de deux forces proportionnelles aux intensités des deux systèmes d'ondes, et faisant entre elles un angle égal à l'intervalle qui sépare leurs points correspondants, la longueur d'une ondulation entière étant représentée par une circonférence. Il résulte de là que, lorsque cet intervalle est d'une demi-ondulation, c'est le cas de deux

N° XII (G), forces séparées par un intervalle angulaire d'une demi-circonférence, ou directement opposées, et qu'alors les vitesses d'oscillation des deux systèmes d'ondes doivent se retrancher, et deviennent nulles quand elles sont égales; c'est-à-dire que, dans ce cas, les deux systèmes d'ondes se détruisent mutuellement. C'est ce qu'on pouvait prévoir aisément, puisque alors tous leurs mouvements se contrarient et se neutralisent mutuellement. Ils s'ajoutent, au contraire, dans toute l'étendue des ondes, lorsque l'intervalie est nul, ou d'un nombre entier d'ondulations, puisque alors les ondes des deux systèmes coïncident parfaitement. Dans les cas intermédiaires, l'intensité des vibrations résultantes doit être plus faible que pour celui de l'accord parfait, et plus forte que dans celui de la discordance complète. Voilà ce que l'on appelle le principe des interférences, qui n'est que l'application de celui de la coexistence des petits mouvements aux ondes produites par des oscillations. Le simple raisonnement conduisait aisément aux dernières conséquences que nous venons d'énoncer, et dont le docteur Young a su tirer si heureusement parti pour expliquer un grand nombre de phénomènes. Mais il fallait nécessairement recourir au calcul pour déterminer rigoureusement l'intensité de la résultante, dans les cas intermédiaires entre l'accord parfait et la discordance complète des deux systèmes d'ondes.

à. Nous venons de voir que deux systèmes d'ondes de même longueur, quelles que soient leurs intensités et leurs positions respectives, produisent toujours, par leur concours, un seul système d'ondes de même nature. 11 en résulte que le concours d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes homogènes doit encore produire un système unique d'ondulations semblables. Cette conséquence remarquable de la théorie des petits mouvements nous sera bientôt utile.

Avant d'aller plus loin, il est bon de remarquer que le principe des interférences, et les conséquences qui en découlent, ne sont applicables qu'à des séries d'ondulations, et seulement à l'espace dans lequel elles se mêlent; car on ne pourrait pas dire, par exemple, de deux ondes uniques, égales en intensité et différant dans leur marche d'une

demi-ondulation, quelles se détruisent mutuellement, puisqu'elles N° XII (G), n'ébranlent simultanément les mêmes points de l'éther que sur une moitié de leur longueur. Il en est de même des extrémités des différents systèmes d'ondes : aussi avons-nous déjà dit que nous en ferions abstraction dans nos raisonnements, ou, ce qui revient au même, que nous regarderions chaque série d'ondes comme indéfinie, les différences entre cette hypothèse et la réalité devant être inappréciables pour nos sens.

Il résulte du principe général de la coexistence des petits mouvements, que l'agitation éprouvée par un point quelconque d'un fluide élastique est la somme de toutes celles qui lui arrivent en même temps des différents centres d'ébranlement considérés comme agissant isolément, quelles que soient les positions respectives de ces centres d'ébranlement, la nature de leurs vibrations, et les époques relatives des instants où commencent et finissent leurs oscillations. Supposons que tous ces centres d'ébranlement soient contigus et situés dans un même plan ou sur une même surface sphérique, que leurs oscillations s'exécutent simultanément, et que les vitesses imprimées aux molécules éthérées suivant des directions parallèles à la normale soient proportionnelles aux condensations, en sorte qu'il ne puisse pas y avoir de mouvement rétrograde, nous aurons ainsi reconstitué une onde dérivée. Or ce. qui est vrai en général doit l'être pour ce cas particulier; ou peut donc dire que l'agitation de l'éther dans un point quelconque d'une onde lumineuse est égale à la résultante de toutes les vibrations qu'y enverraient, en agissant isolément, toutes les parties de la même onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures. Les mouvements obliques, que nous considérons ici, n'ont pas réellement lieu dans le fluide, parce que les ébranlements générateurs étant contigus et simultanés s'influencent dès l'origine, et que leurs pressions transversales se font équilibre. Mais ils naissent aussitôt que l'on isole par la pensée les éléments de l'onde génératrice; car, quoique les vitesses imprimées soient toutes dans le même sens et parallèles à la normale, il est clair que les condensations et raréfactions,

N* XII (G), q1" ont l'eu dans chaque élément supposé isolé, tendent à se propager dans toutes les directions, et que, s'il n'y a pas de mouvement rétrograde, cela tient uniquement à ce que les dilatations en arrière se trouvent exactement compensées par les vitesses imprimées en avant, mais que l'ébranlement doit se répandre dans toute la demi-sphère en avant, avec des intensités variables selon l'obliquité des rayons par rapport à la direction des vitesses imprimées. La loi de ces variations serait sans doute très-difficile à déterminer par l'analyse. Heureusement qu'on peut, sans la connaître, tirer déjà beaucoup de conséquences du principe que nous venons d'exposer, dont la première idée est due à Huyghens.

5. Pour éviter d'avoir à considérer ces variations d'intensité, nous supposerons toujours que le point de l'éther, pour lequel nous cherchons la résultante des ondes élémentaires, est à une distance de l'onde génératrice très-considérable par rapport à la longueur d'une pulsation lumineuse. Soient P ce point, BAC l'intersection de l'onde

génératrice avec un plan mené par son centre L et le point P; nous supposerons pour un instant l'onde réduite à cette section. Soient m, m', m', etc. une suite de points pris sur l'arc AB, de manière que deux rayons consécutifs menés de ces points de division en P diffèrent d'une demi-ondulation. H est aisé de voir que les petits arcs km, mm', m' m', etc. diminuent de longueur à mesure qu'ils s'éloignent du point A , et que la différence de longueur entre deux arcs contigus diminue encore bien plus rapidement; en sorte qu'elle peut être considérée comme nulle avant que l'obliquité des rayons nP, n'P, n'P, par rapport à la normale, soit devenue très^sensible, du moins, si le point P est éloigné d'un grand nombre d'ondulations de l'arc BAC, comme nous l'avons sup-

posé. C'est ce dont il est aisé de se rendre compte par des calculs fort N* XII (G), simples W, ou même par la seule inspection de la figure.

Gela posé, quel que soit le décroissement de l'intensité des rayons envoyés en P, par les différents points de Tonde BAC, à mesure qu'ils s'inclinent sur la normale, comme il suit nécessairement une loi de continuité et doit s'étendre jusqu'aux limites de la demi-circonférence, on pourra le considérer comme sensiblement nul dans un intervalle angulaire très-petit, et regarder ainsi les rayons nP, n/P, nT, comme égaux en intensité; d'un autre côté les arcs nri, n'n sont sensiblement égaux en longueur; ainsi, leurs rayons correspondants différant d'une demi-ondulation, les vibrations élémentaires qu'ils envoient en P se détruisent mutuellement. On peut donc négliger tous les rayons d'une obliquité un peu prononcée, et considérer ceux qui concourent d'une manière efficace aux vibrations du point P comme sensiblement parallèles, et par conséquent d'une égale intensité; ce qui permet de calculer leur résultante. Elle est représentée par une intégrale qui ne peut pas malheureusement s'exprimer en termes finis, mais dont il est ais»'cependant de tirer des résultats numériques dans les cas particuliers auxquels on veut l'appliquer, où les limites de l'intégrale sont déterminées P.

6. Concevons maintenant l'onde génératrice divisée en petites zones

» Les points m, m, m\ m", etc. étant et la seconde,

espacés sur l'arc AB, de manière que les i /i 3 fï" ,

rayons AP, mP. m'P, m"P, m"P, etc. dif- ?\n SY»? '

fèrent deux a deux d'une demi-ondulation, ^on* '° différence est^ les distances du point A aux points m, m', J â/J^-f-etc,

m", etc. seront proportionnelles aux racines on vojt que ^ arC8 deviennent d'autant plus

petits qu'ils s'éloignent davantage du point

carrées des nombres naturels i, 9 , 3, &, etc.

Ainsi la distance du point n* n étant repré- \ (

sentée par 01^ celle du point n' ( n + i ) lo cutifo décroît bien plus rapidement que leur

sera par 1 . et la longueur de l'nrc com- longueur ; ainsi , par exemple , la différence

pris entre ces deux points par y/n-+- 1 — \fn. entre 'e 9* 6t 'e 1 °* n ^ P'08 1ue 'e ttt en"

L'arc suivant sera égal h \/n+2 - yW î. viron de leur longueur. La première expression développée donne !,) Malgré le nombre infini des ondes élé-

b série raentaires, cette résultante sera toujours un

x l~\ \ fï système unique d'ondulations semblables.

2\7i~ H\ûT~^~ comme nous l'avons vu précédemment.

\°XII(G). infiniment minces, d'égales largeurs, par des méridiens LA, Lm, Lm', etc. perpendiculaires au plan de la figure; alors on pourra appliquer à chacune de ces zones les raisonnements que nous venons de faire pour l'arc BAC, et si l'on suppose que les limites de l'intégration sont les mêmes pour chacune d'elles, soit + 7 et — 7, par exemple, les résultantes des vibrations envoyées par ces zones seront toutes égales entre elles, et semblablement situées par rapport aux petits arcs km, mm, m'm", etc.

qui sont leurs éléments les plus voisins du point P. On voit donc qu'on peut faire sur ces résultantes élémentaires les mêmes raisonnements que nous avons faits sur les éléments de l'arc BAC, négliger celles qui envoient des rayons trop obliques au point P, comme se détruisant mutuellement, et ne tenir compte que de celles dont les rayons sont peu inclinés sur la normale, ou, ce qui revient au même, considérer comme parallèles toutes les résultantes élémentaires qui ont une influence sensible sur la lumière envoyée en P; ce qui conduit à une seconde intégration pareille à la première.

Lorsque l'intégration est indéfinie, comme nous le supposons ici, on peut, au lieu d'intégrer dans deux sens rectangulaires, intégrer une seule fois circulairement, en concevant l'onde lumineuse divisée en une série d'anneaux par des cercles décrits sur sa surface du point A comme centre. Si l'on suppose ces cercles espacés de telle sorte que les rayons envoyés en P par deux circonférences consécutives diffèrent toujours d'une demi-ondulation, les surfaces de ces anneaux seront toutes égales, quoique leur largeur diminue continuellement, parce que leur circonférence augmente dans le même rapport, et les vibrations envoyées en P par deux anneaux consécutifs seront en discor-

NOTES DIVERSES SLR LA DIFFRACTION. 209

dance complète. Ainsi, tous ces anneaux, excepté le petit cercle central, N° XII (G) sont compris entre deux autres anneaux dont la moitié des rayons (en intensité) détruit la totalité des siens. H ne reste donc plus à tenir compte que des rayons du cercle central, réduits à la moitié de leur intensité par l'influence de ceux de l'anneau voisin. On est conduit ainsi à la même intégrale qu'on obtient en faisant la double intégration dans deux sens rectangulaires. Mais on ne voit pas aisément, au premier abord, pourquoi tous les anneaux ne se détruisent pas deux à deux, ce qui laisserait entière l'intensité des rayons du petit cercle central, ou pourquoi les rayons de ce cercle ne seraient pas entièrement détruits par ceux de l'anneau suivant, et ceux des autres anneaux neutralisés les uns par les autres, et pourquoi enfin nous avons envisagé leur influence mutuelle sous un point de vue qui conduit à une moyenne entre ces deux résultats extrêmes; il n'y a pas de raisons en effet d'adopter plutôt l'un que l'autre. C'est précisément la difficulté analytique de juger ce que deviennent sinz et cosz lorsque z est infini.

7. Dans le mode d'intégration que nous avons suivi d'abord, il est plus aisé de reconnaître, par exemple, que la résultante générale des vibrations élémentaires ne peut être nulle, car les arcs dans lesquels nous avons divisé l'onde génératrice, qui répondent à des différences d'une demi-ondulation dans les rayons envoyés en P, devenant d'autant plus petits qu'ils s'éloignent davantage du point A, il est indifférent de les supposer en nombre pair ou impair, puisqu'à la limite ces arcs deviennent nuls W; et l'on voit que la résultante des premiers arcs, qui ne peuvent pas se détruire mutuellement, à cause de leur inéga-

" Le manuscrit original porte en marge, écrite de la main de M. Biot. la question : Comment deviennent-ils nuit ?

Il est facile de voir que l'expression de Fresnel qui donne lieu à cette remarque critique est une inadvertance qui n'atteint en rien l'exactitude des conclusions, car si la limite vers laquelle tendent les arcs successifs n'est pas nulle , elle est tellement petite par rapport à la longueur du premier arc voisin du point A , qu'on peut raisonner comme si vraiment elle était nulle. La portion efficace de l'onde étant rigoureusement limitée par la tangente menée du point P, le dernier arc que l'on obtient, en poursuivant jusqu'à celle limite la division indiquée (fig. i ), a pour longueur la différence même des droites menées du point P è ses i, «7

Fi>. .1.

N° XII (G). lité, doit dominer dans le résultat, que l'on aperçoit plus aisément dans ce cas, parce que la série est convergente. D'ailleurs, l'intégration suivant deux sens rectangulaires est celle dont on fait l'application la plus fréquente dans les phénomènes de diffraction.

Tant que l'onde BAC s'étend indéfiniment, comme nous l'avons L supposé d'abord, il est clair que les résul-

tantes des vibrations élémentaires envoyées par l'onde génératrice sont les mêmes pour tous les points P, P', P* situés sur une même surface sphérique parallèle à la première, puisqu'elles se composent d'éléments semblables, et que ces vibrations égales doivent s'exécuter simultanément, puisque les points P, P', P*, etc. sont également distants de la surface sphérique BAC. Ils sont donc sur la surface d'une même onde, qui a partout la même intensité. Ainsi le principe d'Huyghens conduit, dans ce cas, au même résultat que toutes les autres manières d'envisager les vibrations d'un fluide élastique, savoir qu'une onde sphérique d'une intensité uniforme, et qui n'est interceptée dans aucune de ses parties, produit des ondes concentriques, qui ont aussi une intensité uniforme dans toute leur étendue. Mais il n'en est plus de même lorsqu'une partie de l'onde génératrice

deux extrémités, c'est-à-dire environ -. La longueur x dn premier arc Pm e$t de son côté déterminée approximativement par la relation

d'où

(voyei le N" XIV). et il suffit de mettre cette expression sous la forme

X l Aab a V(a + 6)A

pour apercevoir que, dans les conditions eipérimentales toujours admises par Fresnel, elle it plus grande que - . [ E. Vbrdrt. ]

Kig. \.

est interceptée par un écran AD, et l'on conçoit qu'alors la résultante N" XII (G). L des vibrations élémentaires, ou l'intensité de la

lumière envoyée en P, en F, en P\ doit varier avec la distance de ces points à la tangente LAP menée par le point lumineux L au bord de l'écran, surtout dans le voisinage de cette tangente; il en résulte alors des bandes obscures et brillantes, qui sont colorées dans la lumière blanche. On appelle rette espèce de phénomènes diffraction de la lumière. Ils varient à l'infini avec la manière dont on intercepte une partie de l'onde incidente^ et ce qui doit donner une grande confiance dans la théorie (jue nous venons d'exposer, c'est la fidélité avec laquelle l'intégrale que Ton en déduit les représente, même lorsqu'ils semblent suivre les lois les plus différentes. Cette fonction, comme un véritable Protée, prend toutes les formes, par le seul changement des limites de l'intégration.

8. Nous allons appliquer maintenant le principe d'Huyghens, vérifié sur les phénomènes de la diffraction, à l'explication des lois de la réflexion, pour laquelle il a d'abord été conçu par son auteur.