ET D OSE OUVERTURE CIRCULAIRES ÉCLAIRES PAR UN POI>T RADIEIT

1. Après le jugement de l'Académie sur les Mémoires envoyés au concours pour le prix de diffraction, M. Poisson m'ayant fait remarquer que les intégrales définies qui représentent l'intensité de la lumière pouvaient aisément s'obtenir pour le centre de l'ombre d'un écran ou d'une ouverture circulaires, je fis le calcul pour ce dernier cas, et j'y trouvai l'explication des couleurs si vives que j'avais souvent remarquées au centre du pinceau de lumière qui a traversé un petit trou parfaitement rond. M. Poisson m'avait déjà communiqué le théorème singulier auquel il avait été conduit dans le premier cas, savoir : que le centre de l'ombre d'un écran circulaire doit être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas, du moins lorsque les rayons y pénètrent sous des incidences peu obliques. Je me propose de donner ici la solution la plus simple de ces deux problèmes, sans employer les intégrales définies qui m'ont servi dans le Mémoire précédent à calculer les autres phénomènes de la diffraction.

Subdivisons l'ouverture par une suite de circonférences concentriques infiniment rapprochées les unes des autres. Si nous supposons que leurs rayons soient proportionnels aux racines carrées des nombres naturels 1, a, 3, etc. les superficies des cercles suivront la progression i, a, 3, h, etc. et celles des anneaux compris entre les petits intervalles qui séparent les circonférences consécutives seront toutes égales entre elles. Ceci s'applique à la portion de la surface de l'onde incidente qui rencontre l'ouverture du diaphragme, que cette onde soit plane ou sphérique. Nous avons donc subdivisé l'onde incidente en une infinité de petits anneaux concentriques d'égale superficie, et qui envoient par conséquent chacun au centre de la projection de cette ouverture la méme«quantité de rayons, ayant sensiblement la même intensité, tant que les obliquités ne sont pas trop grandes. R faut remarquer aussi que, pour chaque anneau, les rayons qu'il envoie au centre de l'ombre sont tous de môme longueur, ont ainsi parcouru des chemins égaux, et s'y trouvent en accord parfait. Par conséquent, les systèmes d'ondes résultants sont proportionnels aux superficies de ces anneaux, et, parlant, d'égale intensité.

2. Cela posé, considérons le cas particulier où la différence de marche entre le rayon central et ceux qui sont partis des bords de l'ouverture est un nombre

m\ THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — PREMIÈRE SECTION.

Y XIV entier de fois la longueur d'une demi-ondulation; et d'abord supposons que ce nombre soit pair : il est aisé de voir qu'alors toutes les ondes élémentaires qui arrivent au centre de l'ombre se détruisent mutuellement. En effet, divisons la portion de la surface de l'onde incidente comprise dans l'ouverture du diaphragme par des circonférences concentriques, espacées de telle manière que les rayons partis de deux circonférences consécutives et concourant au centre de l'ombre diffèrent d'une demi-ondulation; nous aurons partagé cette ouverture en autant d'anneaux, y compris le petit cercle du milieu, qu'il y a de demi-ondulations de différence entre le rayon central et les rayons extrêmes; et comme le nombre de ces demi-ondulations est pair, celui des divisions de l'ouverture le sera aussi. Or il est évident qu'elles auront même superficie, ou, en d'autres termes, qu'elles contiendront chacune le même nombre des anneaux élémentaires dont nous avons parlé précédemment , et que, dans deux divisions consécutives, les anneaux élémentaires < orrespondanls enverront des rayons qui se trouveront en discordance complète au centre de l'ombre. Par conséquent, tous les rayons envoyés en ce point par deux divisions consécutives se détruiront mutuellement; et puisqu'elles sont en nombre pair, il y aura destruction complète de toutes les ondes élémentaires qui émanent de l'onde incidente, et le centre de la projection de l'ouverture sera privé de lumière. Il en recevra au contraire la plus grande quantité possible, quand la différence de marche entre le rayon central et les rayons extrêmes contiendra un nombre impair de demi-ondulations, puisque alors une de ces divisions restera tout entière pour éclairer le centre de l'ombre.

Si l'on veut savoir maintenant quel rapport d'intensité il y a entre la lumiènreçue dans ce dernier cas et celle qui tombe au même point quand on supprime tout à fait l'écran , il suffit d'appliquer les raisonnements ci-dessus au cas où l'ouverture serait infiniment large. Mais, pour arriver à un résultat exact, il ne faut plus supposer que chaque division de l'ouverture ou anneau principal détruit l'effet produit par l'anneau suivant, dont les rayons diffèrent d'une demi-ondulation; car, quoique la superficie des deux anneaux et l'intensité des rayons qu'ils envoient diffèrent infiniment peu, ces différences, quelque petites qu'elles soient, étant répétées une infinité de fois, peuvent produire une quantité sensible. Il est bien plus rigoureux de dire que les vibrations qui émanent de chaque anneau sont détruites par la moitié des vitesses absolues qu'apportent les rayons de l'anneau qui le précède et de celui qui le suit; car, si les différences dont nous venons de parler sont des infiniment petits du premier ordre entre d^ux anneaux consécutifs, elles deviennent des infiniment petits du deuxième ordre quand on compare la superficie d'un anneau ou l'intensité de ses rayons avec la demi-somme des superficies ou de l'intensité des rayons des deux anneaux entre lesquels il est compris. On n'a

donc plus à craindre que le résultat du calcul soit affecte' d'une erreur sensible \" XIV par la somme des quantités négligées, quelque nombreuses qu'elles soient.

i. En appliquant cette marche de calcul à une ouverture finie, nous arriverions aux mêmes résultats que nous venons de trouver par une autre combinaison des ondes élémentaires. En effet, les rayons de chaque anneau étant détruits par la moitié des vitesses absolues des ondes des deux divisions contiguês, il ne restera que la moitié des vitesses absolues du petit cercle central et de l'anneau extrême, qui se détruiront aussi mutuellement, si le nombre des divisions est pair, et s ajouteront s'il est impair, de manière à reproduire la même quantité de lumière qu'aurait fournie un seul anneau, ou le petit cercle central. Cette addition et cette soustraction ne sont exactes, bien entendu, qu'autant que les rayons extrême* n'ont pas trop d'obliquité.

5. Supposons maintenant que l'ouverture circulaire soit infiniment grande; les ondes élémentaires devenant d'autant plus faibles que les rayons qui les apportent s'écartent davantage de la direction normale à l'onde incidente, on peut regarder comme nulles celles qui viennent de l'anneau extrême, et alors il ne reste plus que la moitié des vitesses absolues imprimées aux molécules éthérées par les ravon.* du petit cercle central. Ainsi, l'intensité de la lumière étant proportionnelle au carré des vitesses absolues, lorsque l'ouverture est indéfinie, ou qu'il n'y a pas d'écran, le point dont nous nous occupons reçoit quatre fois moins de lumière qu'avec un écran percé d'une ouverture circulaire d'un diamètre tel (relativement à sa position) qu'il y ait une différence d'un nombre impair de demi-ondulations entre l'axe et les rayons extrêmes. Quel que soit le diamètre du diaphragme, on peut toujours satisfaire à cette condition , en faisant varier convenablement la dislance du carton sur lequel on reçoit l'ombre, et même, s'il est nécessaire, celle Hu point lumineux.

En représentant par r le rayon de l'ouverture circulaire, et par a et 6 les distances de l'écran au point lumineux et au carton, on sait que la différence de marche entre l'axe et les rayons partis de la circonférence est égale à

ab '

A l'aide de cette formule on peut aisément calculer les distances auxquelles il faut placer le carton ou le foyer de la loupe servant à observer les franges, pour obtenir un minimum ou un maximum de lumière au centre de la projection de l'ouverture. Il suffit d'égaler cette expression à un nombre pair ou impair de demi-ondulations : ce qui donne, dans le premier cas,

3<i8 THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — PREMIERE SECTION. V Xl\ . et dans le second.

A l'aide de ces deux équations on calcule, pour toutes les valeurs i, a, 3. etc. qu'on aura données à n, la distance de b qui correspond à un maximum ou à un minimum, dans une lumière homogène dont la longueur d'ondulation À esl connue.

6. J'ai vérifié ces formules par l'observation , avec la même lumière rouge homogène que j'avais déjà employée dans mes autres expériences de diffraction, et j'ai trouvé qu'effectivement, en plaçant le foyer de la loupe aux distances calculée* d'après la première équation, on apercevait comme une tache d'encre au centre de l'ouverture circulaire, tandis que ce même point paraissait atteindre son maximum de clarté aux distances déduites de la seconde équation.

La tache noire n'était d'une obscurité complète que pour les distances correspondantes aux valeurs de n qui ne passaient pas les nombres 3 ou U. Au delà, «'est-à-dire plus près de l'écran, le défaut d'homogénéité de la lumière employée commençait à se faire sentir, et la tache centrale n'était plus d'un noir aussi foncé.

7. Les raisonnements que nous avons faits pour le cas d'une ouverture indélinie peuvent s'appliquer à un écran circulaire, et donner une démonstration bien simple du théorème singulier que M. Poisson avait déduit des intégrales générales. En effet, divisons la surface de l'onde incidente, à partir du contour de l'écran circulaire, en une suite indéfinie d'anneaux principaux dont les rayons correspondants envoyés au centre de l'onde diffèrent encore d'une demi-ondulation. Ces divisions principales contiendront encore le même nombre de petits anneaux élémentaires d'égale superficie, et dont les rayons différeront d'une demi-ondulation d'une division à l'autre. Ainsi on pourra regarder tous les rayons venant de chaque anneau principal comme détruits complètement par la moitié des vibrations des rayons des deux anneaux contigus, excepté celui qui borde l'écran et l'anneau extrême, dont les rayons conservent la moitié de leurs vitesses absolues. Mais, ainsi que nous l'avons déjà remarqué, les rayons de l'anneau extrême peuvent être considérés comme nuls, à cause de leur grande obliquité; en sorte qu'il ne reste plus que la moitié des vibrations des rayons de l'anneau contigu à l'écran. Or cet anneau a la même superficie que le petit cercle central de l'ouverture circulaire; d'un autre côté, les rayons qu'il envoie au centre de l'ombre ont sensiblement la même intensité que ceux qui émanaient de ce petit cercle central, si du moins leur inclinaison n'est pas trop prononcée; donc, dans ce cas, le centre de l'ombre d'un écran circulaire doit être autant éclairé que s'il recevait la lumière par une ouver-

ture circulaire indéfinie, c'est-à-dire que s'il n'y avait pas d'écran. C'est ce que N° XIV. M. Arago a vérifié sur l'ombre d'un écran de a millimètres de diamètre <''.

Ce théorème est indépendant, comme on le voit, du diamètre de l'écran et de la distance à laquelle on reçoit son ombre, tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité pour les rayons infléchis; il est également indépendant de la longueur d'ondulation, c'est-à-dire que, pour toutes les espèces de rayons colorés, le centre de l'ombre reçoit autant de lumière que s'il n'y avait pas d'écran; par conséquent ce point doit être toujours blanc, quand on emploie de la lumière blanche, et cela à toute distance de l'écran.

8. H n'en est pas de même du centre de la projection d'une ouverture circulaire éclairée par un point lumineux; elle présente souvent dans la lumière blanche les plus vives couleurs, couleurs qui changent avec le diamètre de cette ouverture et sa distance au point lumineux ou au carton sur lequel on en reçoit l'ombre. La vivacité de ces teintes tient à ce qu'il y a successivement destruction totale de chacune des espèces de rayons colorés qui composent la lumière blanche; ce qui laisse mieux dominer la couleur des autres.

Pour calculer ces teintes, il devient nécessaire de trouver l'expression générale de l'intensité de la lumière, lorsque la différence de marche entre le rayon central et ceux qui partent des bords de l'ouverture contient un nombre fractionnaire quelconque de demi-ondulations.

Pour un point de l'ouverture distant du centre d'une quantité égale à z, la différence de longueur entre le rayon qui en émane et l'axe est, ainsi que nous l'avons déjà rappelé,

âb

La surface du petit anneau élémentaire qui passe par ce point est égale à ùnzdz, et la résultante élémentaire de toutes les vibrations qu'il envoie au centre de l'ombre est proportionnelle à cette expression. Je décompose ce système d'ondes

(l) Cet écran était collé par son centre, avec un peu de cire molle, sur une plaque de verre à faces parallèles. Dès que le diamètre de l'écran est un peu grand , par exemple d'un centimètre , les moindres défauts de ses bords ou de la plaque de verre sur laquelle il est fixé altèrent la régularité des anneaux obscurs et brillants qui entourent la tache blanche du centre de l'ombre. 11 faut que le petit disque métallique soit tourné avec le plus grand soin en forme de cône tronqué, de manière que ses bords soient taillés en

biseau. La plaque de verre doit être parfaitement exempte de stries, et avoir ses faces bien planes. En se servant d'un point lumineux extrêmement éloigné, tel qu'une étoile fixe, on pourrait employer des écrans beaucoup plus grands, si l'on s'en éloignait assez pour que le point brillant du centre de l'ombre acquit un diamètre suffisant. Mais peut-être qu'alors il vaudrait mieux suspendre l'écran à deux fils très-fins, que de !•• coller sur une plaque de verre.

V' \IV. «'H deux autres, dont l'un soit en accord parfait avec les vibrations envoyées par le centre de l'ouverture, et l'autre en diffère d'un quart d'ondulation : l'intensité du premier sera

aw*fccos (^S£r*l),

et celle du second,

***** s.n ( flfcX ) .

Pour avoir la somme de toutes les composantes élémentaires en accord parfait avec le rayon central, il faut intégrer la première expression; l'intégrale de la seconde donnera la 6omme de toutes les composantes dont les vibrations diffèrent des premières d'un quart d'ondulation. Ces intégrations sont très-faciles, parce que %idz est précisément la différentielle de 2'. En intégrant depuis 2 = 0 jusqu'à z - r, et ajoutant les carrés des deux intégrales, on trouve pour le carré de la résultante définitive,

2 Us) L'-^n-W-JJ-

Afin de donner plus de clarté et de précision à cette expression de l'intensité de la lumière, il faut la rapporter à une autre intensité fixe prise pour unité, par exemple, à celle de chaque espèce d'ondes à l'unité de distance du point lumineux. Dans ce cas, a + 6 = 1. De plus, nous savons que, quand il n'y a plus d'écran, la résultante générale des ondes élémentaires est égale à la moitié de celle que donnerait une ouverture circulaire qui ne comprendrait que le petit cercle central , c'est-à-dire pour laquelle la différence de chemins parcourus

a ab

serait égale à | X; en sorte qu'on aurait

abX - 1 •

Dans ce cas particulier, la formule précédente devient a \a6X)\ Or une pareille ouverture donne un système d'ondes dans lequel les vitesses absolues des molécules éthérées sont doubles de ce qu'elles seraient s'il n'y avait pas d'écran; par conséquent, l'intensité de la lumière est quadruple, et celle qu'on aurait en supprimant le diaphragme se trouve représentée par 7 (a&X)', en la déduisant de la formule générale ci-dessus. Mais, puisque cette dernière intensité de lumière est celle que nous prenons pour unité, il faut modifier la formule générale de manière à trouver 1 au lieu de £ >ab\)\ quand il n'y a plus de diaphragme, c'està-dire qu'il faut la diviser par \ {ab).)'. Elle devient alors

■x f /irfa + Mr'N]

(ïwl1-c08("--«-bHJ-

9. Cette formule nous conduit aux mêmes équations que nous avons trouvées N° XIV. plus haut pour déterminer les distances 6, qui répondent aux maxma et minimu

de lumière. En effet, on voit qu'elle devient nulle quand cos (J^-^^— ) e8t égal à -h t , ou égal à un nombre pair, et qu'elle atteint son maximum ,

au contraire, lorsque ^a r est un nombre impair. Dans le premier cas, on a (a + b) r* l^jtAiZ!— /,

d'où l'on tire

1 0. Je ne rapporterai qu'une des expériences par lesquelles j'ai vérifié cette formule. La distance de l'écran au point lumineux était de /»oooaM" et le diamètre de l'ouverture de am",oi, ou son rayon de î^.ooô. En substituant 4ooo™" à la place de a, et i"",oo5 à la place de r dans la première des valeurs de 6, ou trouve 987™ pour la distance à laquelle le centre de l'ombre est un noir du 1" ordre dans la lumière rouge, dont la longueur d'ondulation X est égale à om,,,,ooo638; et en effet, en plaçant le foyer de la loupe à celte distance, le centre de l'ouverture circulaire me paraissait d'un noir très-foncé.

Dans la lumière blanche sa teinte était d'un bleu clair, moyen entre le bleu et l'indigo, autant que j'en ai pu juger du moins, sans avoir le spectre solaire pour objet de comparaison.

1 1 . L'expression générale de l'intensité de la lumière pour les anneaux colorés réfléchis sous l'incidence perpendiculaire est 1 - cos (-^p) » « représentant l'épaisseur de la lame d'air. En comparant cette formule à la précédente, on voit que le centre de l'ombre d'une ouverture circulaire doit présenter la même série de teintes que les anneaux réfléchis, et que, dans l'expérience dont il s'agit, la teinte centrale doit être celle que donne une lame d'air d'une épaisseur égale à oma>,ooo3i9, ou à ia,56 en millionièmes de pouce anglais. Or, dans la table d« Newton, l'indigo pur est donné par une épaisseur de ia,83 : ainsi 19,66 doit répondre à un indigo légèrement violacé; ce qui ne s'accorde pas très-exactement aver

1 , qui m'a offert une teinte à peu près moyenne entre l'indigo et le bleu. Ù8, en calculant l'intensité des sept principales espèces de rayons, et déterminant la teinte par la formule empirique de Newton pour les mélanges des rayon» colorés, on arrive à un résultat qui s'accorde mieux avec l'observation.

On trouve d'abord pour les intensités des sept principales espèces de couleurs :

u violet 1,998

i indigo 1,879

N* XIV. b bleu i,836

v vert 0.976

j jaune 0,668

0 orangé 0,169

r rouge 0,016

Substituant ces valeurs dans les formules suivantes <" :

y (r-m)o,8aa8 4- 0 + 1)0,3074 - (j -+- fr) o,5 Uo — v x 0,9538 ~~ r + o + ; + i'+fi + i + tt

ft

X=-*g2=-o,oo3o, et Y=-^=-o,5o98.

Mais

taneu = — ;

d'où il résulte que U = 269° 60'. Or la séparation du bleu et de l'indigo répond à 3 65° 6', angle qui ne diffère du précédent que de 6° 36'. Ainsi la teinte centrale doit être presque exactement moyenne entre le bleu et l'indigo. De plus, on trouve pour A , qui est égal à -■— « , o,5 1 o , et par conséquent pour 1 — A , 0,690 ;

c'est-à-dire que ce bleu contient moitié de lumière blanche, ce qui doit le rendre beaucoup plus clair que le bleu du spectre solaire auquel il répond. Ces résultats s'accordent assez bien, comme on voit, avec l'observation, et indiquent en même temps une légère différence entre la table de Newton et les teintes calculées, au moyen de sa formule, d'après les intensités déduites du principe des interférences <•'. W Voyei te Traité de physique de M. Biot, t. III, p. A5i.

' l/C manuscrit de cette note ae termine par te passage suivant:

Va*. Cette table a-t-elle été calculée ou déterminée immédiatement par l'observation? La première opinion paraît la plus vraisemblable, en lisant attentivement les remarques qui précèdent cette table dans l'Optique de Newton , et qu'il termine en disant : *C'est sur cr fondement que j'ai dressé la table suivante. 1

Il aura sans doute ensuite vérifié soigneusement les résultats de sa théorie par l'expérience, mais il est possible que de légères différences lui aient échappé.

Quoi qu'il en soit, en adoptant les longueurs d'accès que Newton a données pour les sept principales espèces de rayons, et la construction qu'il a imaginée pour trouver la teinte résultant d'un mélange de ces rayons dans des proportions quelconques, on est conduit è des résultats qui ne s'accordent pas toujours parfaitement avec sa table, quand on se sert du principe des interférences, qui a été vérifié par tant de phénomènes divers qu'on ne peut plus douter de son exactitude.

Y XIV