COS 7T

devient nul quand

est égal à un nombre entier plus l-. Ainsi les variations de i ne doivent apporter que des changements assez légers dans la teinte de l'image ordinaire lorsqu'on emploie de la lumière blanche; i° parce que le terme qui contient i est multiplié par j ; «j° parce qu'il est nul pour les rayons qui dominent dans l'image et pour ceux qui en sont entièrement exclus, et qu'en conséquence ces deux espèces de rayons, qui déterminent particulièrement la nature de la teinte, n'é-

N* XXII. prouvent aucun changement d'intensité quand on fait tourner le système des deux lames croisées dans son plan. Ce sont donc seulement les autres espèces de rayons dont l'intensité varie ; mais comme ces variations sont multipliées par un quart, on conçoit qu'elles ne peuvent guère, en général, changer la couleur de l'image d'une manière trèssensible, et que leur effet ordinaire doit être de la rendre seulement plus ou moins foncée. Voilà sans doute pourquoi ces légères variations ont pu échapper à l'attention d'un observateur aussi habile et aussi exercé que M. Biot, ou lui paraître de simples anomalies indépendantes du phénomène principal.

Lorsque i est égal à un quart de quadrant, ou, en général, à un nombre entier plus i de quadrant, sin Ai = i, et tous les rayons

qui se mêlent aux rayons dominants sont réduits au minimum d'intensité, parce que le terme variable atteint son maximum en restant négatif; ainsi la teinte de l'image ordinaire doit devenir alors plus pure et plus foncée, puisqu'elle contient moins de lumière hétérogène.

Quand, au contraire, i est égal aux - d'un quadrant, ou à un nombre

entier plus ? de quadrant, sin &i ; = — i, et tous les rayons hétérogènes dont nous venons de parler atteignent leur maximum d'intensité; alors l'image ordinaire doit être à la fois plus éclairée et d'une couleur moins pure que dans le premier cas. C'est ce qu'on reconnaîtra facilement en faisant l'expérience avec attention.

Les variations d'intensité de ces rayons deviennent bien plus sensibles quand, au lieu de lumière blanche, on emploie une lumière à peu près homogène, en choisissant celle pour laquelle o — e est un nombre impair de quarts d'ondulation, ou l'épaisseur de lame qui satisfait à cette condition. H est facile de reconnaître quand elle est remplie; car, ainsi que nous l'avons vu, la lumière homogène doit être, dans ce cas, complètement dépolarisée en passant au travers d'une seule des deux lames, dont on a dirigé la section principale à 45° du plan primitif. Alors, si l'on fait tourner le système des deux lames croisées dans son plan , on verra l'intensité de l'image ordinaire changer con-

sidérablement, comme l'indique la formule; car lorsque e — o est un N° XXII. nombre impair de quarts d'ondulation,

sm27rbr)

atteint son maximum et est égal à 1, tandis que

COS TT {-j-)

est égal à 1, et la formule devient l- — ^ sin Ui, qui donne J lorsque i

est égal au quart d'un quadrant ou à un nombre entier plus J de qua-

drant, et - lorsque i est égal aux trois quarts d'un quadrant ou à un

nombre entier plus | de quadrant; en sorte que, dans le second cas, l'intensité de l'image ordinaire est triple de ce qu'elle est dans le premier. On conçoit que cette différence doit être diminuée, en général, par le défaut d'homogénéité de la lumière employée, et d'autant plus que les lames sont plus épaisses.

CONSIDÉRATIONS MECANIQUES SUR LA POLARISATION DK LA LliMIERK.

10. Lorsque je m'occupais de la rédaction de mon premier Mémoire sur la coloration des lames cristallisées (en septembre 1 8 1 6) , je remarquai que les ondes lumineuses polarisées agissaient les une* sur les autres comme des forces perpendiculaires aux rayons qui seraient dirigées dans leurs plans de polarisation, puisqu'elles ne s'affaiblissent ni ne se fortifient mutuellement quand ces plans sont rectangulaires, et que deux systèmes d'ondes présentent une opposition de signe indépendante de la différence des chemins parcourus, lorsque leurs plans de polarisation, d'abord réunis, se séparent et rentrent ensuite dans un plan commun, en se plaçant sur le prolongement l'un de l'autre. M. Ampère, à qui j'avais communiqué ces résultats de l'expérience, fit la même réflexion relativement à l'opposition de signe résultant de la marche des plans de polarisation. Nous sentîmes l'un et l'autre que ces phénomènes s'expliqueraient avec la plus grande

Y XXII. simplicité, si les mouvements oscillatoires des ondes polarisées n'avaient lieu que dans le plan même de ces ondes. Mais que devenaient les oscillations longitudinales suivant les rayons? Comment se trouvaient-elles détruites par l'acte de la polarisation , et comment ne reparaissaient-elles pas lorsque la lumière polarisée était réfléchie ou réfractée obliquement par une plaque de verre ?

Ces difficultés me semblaient si embarrassantes que je négligeai notre première idée, et continuai de supposer des oscillations longitudinales dans les rayons polarisés, en y admettant en même temps des mouvements transversaux, sans lesquels il m'a toujours paru impossible de concevoir la polarisation et la non-influence mutuelle des rayons polarisés à angle droit. Ce n'est que depuis quelques mois qu'en méditant avec plus d'attention sur ce sujet, j'ai reconnu qu'il était très probable que les mouvements oscillatoires des ondes lumineuses s'exécutaient uniquement suivant le plan de ces ondes, pour la lumière directe comme pour la lumière polarisée. Je ne puis pas entrer ici dans le détail des calculs sur les diverses combinaisons de mouvements longitudinaux et transversaux qui m'ont conduit à cette conséquence. Je m'attacherai seulement à faire voir que l'hypothèse que je présente n'a rien de physiquement impossible, et qu'elle peut déjà servir à l'explication des principales propriétés de la lumière polarisée au moyen de considérations mécaniques très-simples.

1 1 . Les géomètres qui se sont occupés des vibrations des fluides élastiques n'ont considéré, je crois, comme force accélératrice que la différence de condensation ou de dilatation entre les couches consécutives. Je ne vois rien du moins dans leurs équations qui indique, par exemple, qu'une couche indéfinie, en glissant entre deux autres, doit leur communiquer du mouvement, et il est évident que sous ce rapport leurs équations ne disent pas tout ce qui se passe réellement. Cela tient à ce qu'ils représentent mathématiquement les fluides élastiques par une réunion de petits éléments différentiels susceptibles de se condenser ou de se dilater et juxtaposés; tandis que, dans la nature, les fluides élastiques sont composés sans doute de points matériels sé-

parés par des intervalles plus ou moins considérables relativement aux dimensions de ces molécules. Or concevons dans un fluide trois Gles indéfinies parallèles et consécutives de points matériels ainsi disposés : si l'on suppose entre ces molécules une certaine loi de répulsion, elles affecteront, dans l'état d'équilibre et de repos absolu, un arrangement régulier d'après lequel elles seront également espacées sur les trois rangées, et celles de la file intermédiaire répondront, je suppose, aux milieux des intervalles compris entre les molécules des deux autres : je n'indique cette disposition particulière que pour fixer les idées, car il est clair qu'elle ne saurait avoir lieu suivant toutes les directions. Mais quelle que soit celle des files que l'on considère dans le milieu élastique, leurs points matériels tendront toujours à se placer dans les positions relatives qui amènent l'équilibre stable. Supposons donc que cette condition soit satisfaite; si l'on dérange un peu la file intermédiaire en la faisant glisser sur elle-même, mais seulement d'une quantité très-petite par rapport à l'intervalle de deux molécules consécutives, et qu'ensuite on la laisse libre, chacun de ses points matériels reviendra vers sa première situation (indépendamment de ce qui se passe aux extrémités de la rangée, puisque nous la supposons indéfinie) et oscillera de part et d'autre comme un pendule qui a été écarté de la verticale. Mais si l'on avait assez éloigné ces molécules de leurs points de départ pour les placer exactement vis-à-vis les molécules des deux autres rangées (supposées immobiles), il en serait résulté un nouvel équilibre. Faisons encore glisser la file intermédiaire jusqu'à ce que ses points matériels répondent de nouveau aux milieux des vides des deux autres, et elle rentrera dans un troisième état d'é-

(l) Comme il n'arrive jamais que les ondes lumineuses présentent, dans le sens perpendiculaire aux rayons, celle longueur indéfinie que nous avons considérée ici pour simplifier les raisonnements , on pourrait se demander comment ces mouvements transversaux ne se propagent point sensiblement au delà de l'extrémité des ondes. Ils ne

peuvent pas sans doute s'anéantir brusquement à leur extrémité; mais il est aisé de voir qu'à une distance un peu grande par rapport à la longueur d'une ondulation lumineuse, les oscillations contraires qu'y envoient les différentes parties du système d'ondes doivent se neutraliser mutuellement.

XXII. quilibre semblable au premier. On voit qu'en continuant à la faire glisser dans le même sens elle serait en équilibre à chaque demi-intervalle de molécules, et n'éprouverait ainsi que dans les positions intermédiaires l'action des forces retardatrices, dont l'effet serait compensé, après chaque instant très-court, par les forces accélératrices qui leur succéderaient.

Il est très-possible que la fluidité d'un corps tienne à ce qu'en vertu d'une grande dissémination de ses molécules ces différentes positions d'équilibre sont beaucoup plus rapprochées que dans les solides, en sorte que la force retardatrice qui tend à ramener le système dans son premier état, ne pouvant croître que dans un trop petit intervalle, n'acquiert jamais une grande intensité; mais on conçoit que, quand il ne s'agit que de déplacements très- petits relativement aux intervalles qui séparent deux molécules consécutives, la force retardatrice pourrait avoir dans un liquide autant ou même plus d'intensité que dans un solide. Or ce sont seulement de très-petits déplacements de ce genre dans les couches de l'éther et des corps transparents qui constitueraient les vibrations lumineuses, d'après l'hypothèse que j'ai nouvellement adoptée

J'ai supposé, pour simplifier les idées et expliquer plus clairement la nature des forces d'équilibre dont je voulais parler, que les deux tranches voisines de la tranche intermédiaire restaient en repos pendant que celle-ci glissait sur elle-même. Il est clair que les choses ne

(n Si les molécules des corps diaphanes participent aux vibrations de l'éther qui les environne de toutes parts, comme cela me parait probable , les forces développées par les déplacements relatifs des tranches du milieu parallèlement aux ondes doivent être bien supérieures en intensité à celles qui propagent les ondulations sonores dans les mêmes milieux, par rapport aux masses des tranches que les unes et les autres mettent en mouvement, puisque la vitesse de propagation de la lumière est incompara-

blement plus grande que celle du son. Mais cela peut tenir à ce que les déplacements qui constituent les oscillations sonores ont lieu entre des particules d'un ordre beaucoup plus composé, entre des tranches beaucoup plus épaisses que ceux qui constituent les vibrations lumineuses, et que les premiers déplacements ne font pas naître des forces accélératrices aussi énergiques relativement aux masses des tranches qu'elles mettent en mouvement.

se passent pas de cette manière, et qu'une tranche ne peut pas se dé- N° XXII. placer sans mettre en mouvement les tranches voisines. La rapidité plus ou moins grande avec laquelle le mouvement se propage dépend de l'énergie de la force accélératrice qui tend à ramener les tranches contiguës dans les mêmes positions relatives et des masses de ces tranches, comme la vitesse de propagation des ondes sonores de l'air (telles qu'on les conçoit ordinairement) dépend du rapport entre sa densité et la résistance qu'il oppose à la compression. Il est évident qu'on peut appliquer à ces nouvelles oscillations perpendiculaires aux rayons les mêmes raisonnements et les, mêmes calculs qu'à celles où le mouvement oscillatoire s'exécute suivant les directions de propagation. Le principe des interférences et toutes les conséquences que M. Young en a déduites pour expliquer plusieurs phénomènes d'optique, ainsi que les formules au moyen desquelles j'ai représenté les lois de la diffraction, s'accordent aussi bien avec cette nouvelle hypothèse sur la lumière qu'avec celle que j'avais adoptée d'abord.

1 2. Après avoir fait sentir la possibilité de pareilles vibrations dans un fluide, il me reste à expliquer comment il peut arriver que ses molécules n'éprouvent d'oscillations sensibles que suivant la surface même des ondes, perpendiculairement aux rayons. Il suffit pour cela de supposer entre les molécules une loi de répulsion telle que la force qui s'oppose au rapprochement de deux tranches du fluide soit beaucoup plus grande que celle qui s'oppose au glissement de l'une d'elles par rapport à l'autre, et d'admettre ensuite que les oscillations du petit corps solide, qui mettent le fluide en vibration, ont des vitesses absolues infiniment moindres que la vitesse avec laquelle les condensations et les dilatations se transmettent dans le fluide. Et en effet, si l'on suppose que l'égalité de tension s'y rétablit avec une rapidité extrême, en raison de la grande résistance qu'il oppose à la compression, on conçoit que, pendant la marche beaucoup plus lente du petit corps oscillant, l'équilibre de pression se rétablira à chaque instant autour de ce corps entre la partie contiguë du fluide, qu'il tend à condenser en s'en rapprochant, et la partie située du côté opposé, qu'il tend à dila-

m THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.

Ni XXII. ter en s'en éloignant; d'où Ton voit que les principaux mouvements des molécules consisteront dans une sorte de circulation oscillatoire autour du petit solide oscillant. Ce mouvement se communiquera de proche en proche à toutes les couches concentriques, en s'affaiblissant et se régularisant à mesure qu'il s'éloignera du centre d'ébranlement, et à une petite distance il n'y aura plus de déplacement sensible des molécules éthérées que dans le sens même de la surface des ondes. Telle est, à mon avis, l'idée qu'il faut se faire de la nature des ondes lumineuses, pour se rendre compte des différents phénomènes qu'elles présentent, particulièrement dans la polarisation et la double réfraction.

13. Je dois dire ici qu'un article d'une lettre de M. Young, en date du 29 avril 1818, qui m'avait été communiqué par M. Arago, a contribué à me faire douter de l'existence des oscillations longitudinales. M. Young concluait des propriétés optiques des cristaux à deux axes, découvertes par M. Brewster, que les ondulations de l'éther pourraient bien ressembler à celles d'une corde tendue d'une longueur indéfinie, et se propager de la même manière. Il y a sans doute une grande analogie entre cette définition des ondes lumineuses et celle que je viens d'en donner, mais je ne crois pas que M. Young ait fait voir comment on pouvait concilier une pareille dépendance mutuelle des molécules de l'éther avec sa fluidité, et y concevoir la production de ces ondulations à 1 exclusion des oscillations dirigées suivant la ligne de propagation. Or c'était la difficulté qui m'avait embarrassé jusqu'à présent, et m'avait empêché de m'arrêler à ma première idée. Je dois convenir néanmoins que, s'il ne l'a pas expliquée, M. Young est le premier qui ait énoncé positivement la possibilité d'une telle propriété dans un fluide élastique W. J'ignore si ce savant physicien a publié ses vues sur ce

(,) Ckromaùcs from the Supplément to the Encyclopedia Britannica, sert. XVI, art. 5. (Miscellaneous Works, vol. I, p. 33a). Correspondance relating to optical subjects from U Young to M. Arago ( 1 q" January 1817). {Miscellaneous Works, vol. I, p. 38o.) Note annexée au Mémoire du docteur Brewster intitulé. : On the lares 0/ Polarisation and double Réfraction in rtgularly crustalUsed Bodies. (Phibsophical Transactions for 1818, p. 979.)

sujet, et si même elles sont bien arrêtées dans son esprit; mais j'ai \° XXII pensé que la publicité que je leur donne ici ne saurait lui être désagréable w.

Si la polarisation d'un rayon lumineux consiste en ce que toutes ses

Les idées du D* Young n'avaient probablement pas en effet pris une forme bien précise dans son esprit. On ne connatt pas, il est vrai, sa lettre à Arago du 29 avril 1818. mais dans celle du 19 janvier 1817 et dans son article Ckromalic* , écrit a la même époque pour le Supplément de l'Encyclopédie Britannique, il regarde comme une impossibilité mécanique de trouver dans la constitution des milieux élastiques quelque force comparable à la pesanteur, qui détermine à la surface des liquides la propagation des ondes perpendiculairement à la direction des oscillations.

Des vibrations transversales n'ont donc , suivant lui , aucune probabilité comme explication physique des phénomènes , mais seulement une utilité pour leur représentation mathématique; c'est un postulatum mécanique de la théorie ondulatoire.

Plus tard, en 1847, le D* Young analyse les idées de Fresnel dans un article du même ouvrage intitulé : Theorttical Observation» intended to ilhutrate tke pkenomena of Polarisation, being an addition mode to M. Arago s Treatite on tke Polarisation o/Ligkt. ( Miscellaneous Works, vol. I, p. à ta.) Il reproduit les mêmes observations et arrive à conclure que l'étber devrait être non-seulement très-élastique , mais solide.

Ces objections de Young font juger des résistances que les autres mathématiciens devaient opposer à des conceptions qui venaient renverser toutes les idées reçues sur la constitution des fluides élastiques. Arago avait reculé devant des nouveautés si hardies.

irll a souvent raconté dans la suite, dit M. Whewell, qu'après que Fresnel et lui eurent (t prouvé par leurs expériences communes la non-interférence des rayons polarisés â angle « droit, alors que Fresnel eut reconnu que des vibrations transversales étaient le seul moyen «de concilier ce fait avec la théorie ondulatoire, Arago affirma qu'il n'aurait jamais le coulage de publier une pareille conception, et d'un commun accord le nom de Fresnel parut .seul en tête de la seconde partie du Mémoire.. [History of tke inducthe Sciences, by Wil. Whewell . vol II . p. 454. (a* édition , Londres , 1 847.)] — Voyez également Œuvres complètes de F. Arago, t. VII, p. 4a8. [di Smabjéost.J

Pour être tout a lait juste envers Arago , il est bon de compléter le récit qu'on vient de lire par une autre citation que nous empruntons également à l'ouvrage de M. Whewell et qui, comme la première, est probablement fondée sur des communications personnelles du savant historien des sciences expérimentales avec Arago : rrM. Arago . » lit-on dans le chapitre du même ouvrage qui raconte l'accueil fait par les contemporains de Young et de Fresnel à leurs théories , <r M. Arago aurait peut-être adopté tout de suite la conception des vibrations » transversales . lorsqu'elle fut proposée par son collaborateur, s'il n'avait pas été membre de t l'Institut, et n'avait pas eu à supporter le choc de l'ennemi (rite bruni of tke war), dans les

f>36 THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.

\" XXII. vibrations s'exécutent suivant une même direction, il résulte de mon hypothèse sur la génération des ondes lumineuses qu'un rayon émanant d'un seul centre d'ébranlement se trouve toujours polarisé suivant un certain plan, à un instant déterminé. Mais, un instant après, la direction du mouvement change, et avec elle le pian de polarisation; et ces variations se succèdent aussi rapidement que les perturbations des vibrations de la particule éclairante; en sorte que, lors même qu'on pourrait séparer la lumière qui en émane de celle des autres points lumineux, on n'y reconnaîtrait sans doute aucune apparence de polarisation. Si l'on considère maintenant l'effet produit par la réunion de toutes les ondes qui émanent des différents points d'un corps éclairant, on sentira qu'à chaque instant, et pour un point déterminé de l'éther, la résultante générale de tous les mouvements qui s'y croisent aura une direction déterminée, mais que cette direction variera d'un instant à l'autre. Ainsi la lumière directe peut être considérée comme la réunion, ou, plus exactement, comme la succession rapide de systèmes d'ondes polarisés suivant toutes les directions. D'après cette manière d'envisager les choses, l'acte de la polarisation ne consiste plus à créer ces mouvements transversaux, mais à les décomposer suivant deux directions rectangulaires invariables, et à séparer les deux composantes l'une de l'autre; car alors, dans chacune d'elles, les mouvements oscillatoires s'opéreront toujours suivant le même plan.

14. Appliquons ces idées à la double réfraction, et concevons un cristal à un axe comme un milieu élastique dans lequel la force accélératrice qui résulte du déplacement d'une file de molécules perpendiculaires à l'axe, relativement aux rangées contiguës, est la même

"discussions fréquentes qui avaient pour objet la doctrine des ondulations. Laplace et d'autres « membres influents se montrant si opposes a cette théorie qu'ils ne voulaient pas même * écouter avec quelque patience les arguments qu'on présentait en sa faveur. » (Ouvrage cité, L II, page 673.) Il a paru utile d'insérer la lettre de Young, du is janvier 1817, dans la présente édition. (Voyez le n* LVI.) [E. Verdbt.J

tout autour de Taxe; tandis que les déplacements parallèles à l'axe N* XXII. produisent des forces accélératrices d'une intensité différente, plus fortes si le cristal est répulsif (pour me servir de l'expression usitée), et plus faibles s'il est attractif™. Le caractère distinctif des rayons qui éprouvent la réfraction ordinaire étant de se propager avec la même vitesse suivant toutes les directions, il faut admettre que leurs mouvements oscillatoires s'exécutent perpendiculairement au plan mené par ces rayons et l'axe du cristal; car alors les déplacements qu'ils occasionnent s'effectuant toujours suivant des directions perpendiculaires à l'axe, développeront toujours, par hypothèse, les mêmes forces accélératrices. Mais, d'après le sens qu'on attache à l'expression plan de polarisation, le plan dont nous venons de parler est précisément le plan de polarisation des rayons ordinaires; ainsi, dans un faisceau polarisé, le mouvement oscillatoire s'exécute perpendiculairement à ce qu'on appelle le plan de polarisation.

Les oscillations des rayons ordinaires étant perpendiculaires au plan mené par l'axe, les oscillations des rayons extraordinaires seront parallèles à ce plan, et, bien entendu, toujours perpendiculaires aux rayons. On voit alors qu'à mesure qu'ils changeront d'inclinaison relativement à l'axe, la direction du mouvement oscillatoire en changera aussi : il sera parallèle à l'axe quand les rayons lui seront perpendiculaires, et perpendiculaire à l'axe quand les rayons lui seront parallèles; ainsi, dans ce dernier cas, la vitesse de propagation des rayons extraordinaires sera la même que celle des rayons ordinaires. Mais pour toutes les autres directions de ceux-là, les petits dérangements des files de molécules ne s'exécutent plus perpendiculairement à l'axe, les forces accélératrices qui en résultent, et par suite la vitesse de propagation,

10 Je suppose les particules du cristal et les intervalles qui les séparent infiniment petits par rapport à la longueur d'une ondulation lumineuse, et je considère ici ces particules et l'éther qui les environne comme

conception mathématique , qui n'est pas applicable aux corps opaques ou imparfaitement transparents, peut représenter cependant, dans beaucoup de cas, les effets mécaniques des milieux diaphanes sur la lumière avec une approximation suffisante.

V XXII. ne peuvent plus être les mêmes. Cette différence augmente progressivement jusqu'à ce que le mouvement oscillatoire soit parallèle à l'axe : c'est alors qu'elle atteint son maximum.

Considérons ce cas particulier, pour simplifier les idées, et supposons qu'on expose perpendiculairement au rayon incident une plaque cristallisée parallèle à l'axe, en sorte que les rayons qui la traversent soient perpendiculaires à ce dernier; supposons en outre que le faisceau incident soit polarisé suivant un plan déterminé faisant un angle i avec la section principale du cristal; ses oscillations seront perpendiculaires à ce plan. Cela posé, on peut, en raison du principe de la composition et de la décomposition des petits mouvements, concevoir chacune des vitesses d'oscillation des ondes incidentes décomposée en deux autres , Tune perpendiculaire et l'autre parallèle à la section principale; les premières composantes produiront les ondes ordinaires, et les autres celles qui éprouvent la réfraction extraordinaire. Or, si Ton prend pour unité le facteur commun qui multiplie toutes les vitesses d'oscillation des diverses couches de l'onde qui entre dans le cristal, cosi sera le facteur commun des premières composantes ou leur intensité de vitesse absolue, et sini celle des autres composantes; et les intensités de lumière étant proportionnelles aux forces vives, les intensités de lumière des rayons ordinaires et extraordinaires seront entre elles comme cos'i est à sin'i. Voilà une explication mécanique bien simple de la loi de Malus. Les oscillations de ces deux systèmes d'ondes, étant rectangulaires, s'exécuteront dans le cristal d'une manière indépendante; et, en raison de la différence d'énergie des forces accélératrices qui résultent des petits déplacements des molécules du milieu parallèlement ou perpendiculairement à l'axe, les deux systèmes d'ondes se propageront avec des vitesses différentes, et la distance entre leurs points correspondants deviendra d'autant plus considérable qu'ils auront traversé une plus grande épaisseur de cristal.

Si c'est de la lumière directe qu'on fait tomber sur le cristal , on pourra appliquer aux divers systèmes d'ondes polarisés dont elle se compose ce que nous venons de dire pour un seul. Chacun se divisera

de la même manière en ondes ordinaires et ondes extraordinaires. N" XXII. dont les intensités seront en général différentes. Mais comme , en raison de la multitude des chances, il doit se trouver en somme autant de lumière polarisée suivant un plan quelconque que suivant le plan perpendiculaire, les rayons ordinaires et extraordinaires auront la même intensité.

15. Je ne m'arrêterai pas à expliquer en détail, d'après cette nouvelle idée sur les vibrations lumineuses, les propriétés que nous avons découvertes, M. Arago et moi, dans les rayons polarisés. On conçoit pourquoi des rayons polarisés à angle droit ne peuvent plus s'influencer, c'est-à-dire, produisent toujours par leur réunion la même intensité de lumière, quelle que soit la différence des chemins parcourus, puisque, en vertu de la perpendicularité de leurs oscillations, le carré de la résultante des deux vitesses absolues imprimées à chaque point de l'éther est toujours égal à la somme des carrés de ses deux composantes, et qu'ainsi la somme des forces vives du système d'ondes résultant est toujours égale à la somme des forces vives réunies des deux composants, quelle que soit la différence des chemins parcourus. Il est également facile de concevoir la raison de la règle que j'ai donnée dans le calcul des teintes produites par les lames cristallisées, pour savoir quand on doit ajouter une demi-ondulation à la différence des chemins parcourus en raison des changements des plans de polarisation.

16. J'aurais désiré faire voir avec quelque détail, par la composition des mouvements oscillatoires en chaque point, comment les deux systèmes d'ondes de lumière simple qui sortent d'une lame cristallisée donnent réellement, par leur réunion, un système d'ondes polarisé suivant le plan primitif de polarisation, quand la différence des chemins parcourus est zéro ou un nombre pair de demi-ondulations, et polarisé dans l'azimut ai, quand cette différence est égale à un nombre impair de demi-ondulations; pourquoi la lumière totale ne présente qu'une polarisation partielle dans les cas intermédiaires, et paraît même entièrement dépolarisée lorsque, la différence des chemins parcourus étant égale à un nombre entier et impair de quarts d'ondulation, la

XXII. section principale de la lame est à 45° du plan primitif^. Mais il me paraît plus nécessaire d'employer le peu d'espace qui me reste à dire un mot des formules d'intensité de la lumière réfléchie obliquement sur les corps transparents, auxquelles je viens d'être conduit par les mêmes idées théoriques.

17. On peut toujours décomposer la lumière directe incidente qui vient tomber sur la surface réfléchissante en deux faisceaux d'égale intensité, polarisés, l'un suivant le plan de réflexion, et l'autre perpendiculairement à ce plan. Je n'ai encore trouvé de formule générale que pour la réflexion du premier. Mais il est aisé de déterminer le rapport d'intensité entre les deux faisceaux par la simple déviation du pian de polarisation d'un rayon primitivement polarisé dans l'azimut de 65°, et réfléchi sous la même incidence que le faisceau de lumière directe; car le système d'ondes polarisé dans l'azimut de 65° peut se diviser en deux autres systèmes d'ondes d'égale intensité et polarisés, l'un suivant le plan de réflexion et l'autre perpendiculairement à ce plan, qui seront réfléchis en proportions inégales par le corps transparent; et ces proportions sont précisément les mêmes que pour les deux faisceaux qui composent la lumière ordinaire : or, si l'on représente par î l'intensité du système d'ondes après sa réflexion, les intensités de lumière de ses deux composants seront en général représentées par sin'j et cos'j, et il est aisé de voir que l'angle s sera précisément l'azimut du plan de polarisation du système d'ondes réfléchi. Si donc on a déterminé l'angle s par expérience pour l'incidence particulière dont on s'occupe, et que l'on connaisse la quantité de lumière réfléchie du faisceau polarisé suivant le plan d'incidence, il suffira de la multiplier par tang's pour avoir l'autre faisceau réfléchi. Je vais faire voir maintenant comment on peut calculer l'intensité de la lumière réfléchie sous une incidence quelconque pour le faisceau polarisé suivant le plan de réflexion.

''' Une conséquence remarquable de la composition des oscillations dans ce dernier cas . c'est que . dans le système d'ondes ré-

sultant, les molécules éthérées , au lieu d'osciller, tournent chacune autour de leurs positions déquiubre avec une vitesse uniforme.

18. Ce qui rend ce calcul facile, c'est que les oscillations étant alors N° XXII. perpendiculaires au plan de réflexion ont la même direction dans le faisceau incident, 4e faisceau réfléchi et le faisceau réfracté. Soit m la masse d'un élément différentiel du premier milieu, qui, en glissant sur lui-même, met en mouvement l'élément différentiel contigu m' du milieu réfléchissant, que je suppose de même élasticité. Dans le premier instant, m' était en repos, et m avait une vitesse v; un instant après, les deux éléments ont la même vitesse, et c'est alors que s'arrête le déplacement du premier par rapport au second; mais, en raison du déplacement effectué, le premier doit recevoir après, en sens contraire, toute la partie de la vitesse initiale qu'il a perdue A l'instant dont nous venons de parler, la vitesse commune des deux éléments était :

mv

donc la vitesse perdue par m est.

mv m v

ou ,„

et par conséquent la vitesse définitive de m sera,

Si donc on prend pour unité l'intensité des vitesses absolues dans l'onde incidente,

représentera l'intensité d'oscillation dans l'onde réfléchie, et

>! Ce raisonnement abrégé, que j'em- vérifié dans ses conséquences . pour un ca» prunte à M. Young(,i et qui ne présente analogue, par l'analyse rigoureuse de qu'un équivalent de ce qui se passe , a été M. Poisson W.

» Cknmatic* from tk* SuppUmeni to tk* Encycloptdia Britannica, sert. XVI . art. 0. ( Work», vol. I.p. 336.)

k; Mtnvnru dt l'AauUmif royoi* àn scmceê de l'Institut pour i 8 1 7. p. 3o5.

Ni

XXII. son intensité de lumière W. Il ne s'agit donc plus, pour résoudre le problème, que de déterminer les rapports des masses m et m' des éléments différentiels des ondes incidentes et réfractées qui s'ébranlent mutuellement dans les deux milieux.

Pour cela, il faut faire attention que chaque onde réfractée étant produite par chaque onde incidente, si on les conçoit divisées en un même nombre de couches infiniment minces, chaque couche élémentaire de l'onde réfractée sera la partie du second milieu ébranlée par la tranche correspondante de l'onde incidente; ainsi les -épaisseurs des éléments des deux milieux qui se communiquent l'ébranlement, mesurées suivant la direction des rayons, sont dans le même rapport que les longueurs d'ondulation, c'est-à-dire, dans le rapport de sin i à sini", en représentant par i et ï les angles d'incidence et de réfraction. Il ne nous reste donc plus, pour avoir les rapports de leurs volumes, qu'à déterminer leurs largeurs relatives. Concevons deux rayons incidents parallèles et les mêmes rayons réfractés; les ondes comprises entre les rayons incidents occuperont après la réfraction tout l'espace compris entre les rayons réfractés; ainsi, la largeur de l'élément du premier

ll) Il est à remarquer que lorsque m' est plus grand que m. c'est-à-dire, quand le second milieu est plus réfringent que le pre* mier, cette expression de la vitesse d'oscillation des rayons réfléchis est de signe contraire à celle des rayons incidents; en Horte qu'au point de départ les oscillations des premiers se feront de leur gauche à leur droite, par exemple, lorsque celles des rayons incidents se feront de droite à gauche, ce qui équivaut à la différence d'une demi-ondulation que l'expérience m'avait présentée. Ainsi, la difficulté qui en résultait quand on supposait la direction des vibrations lumineuses parallèle aux rayons n'existe plus avec la nouvelle hypothèse; et l'on peut considérer maintenant la réflexion comme provenant de la différence de den-

sité des deux milieux composés de leurs molécules propres et de celles de l'éther. sans être conduit à des conséquences contraires aux faits. Il est possible que les choses ne se passent point rigoureusement ainsi , et que cependant cette conception mécanique représente la plupart des propriétés optique» des corps traniparenU avec une exactitude suffisante. Le phénomène de ia dispersion peut même s'expliquer sans abandonner cette conception mécanique, et en supposant seulement que la dépendance mutuelle des molécules du milieu s'étend à des distances sensibles relativement à la longueur des ondes lumineuses; car il en résulte que la vitesse de propagation doit diminuer un peu avec la longueur d'ondulation.

milieu qui communique l'ébranlement à l'élément du second, sera à la N° XXII. largeur de celui-ci comme la distance entre les deux rayons incidents est à la distance entre les deux rayons réfractés, ou comme cost est à cosi'. Multipliant ce nouveau rapport par le premier, nous aurons

sin i cos i sin i'cos7"

qui sera le rapport entre les volumes des deux éléments. Je fais abstraction ici de la dimension perpendiculaire au plan de réflexion , qui est la même dans les ondes incidentes et réfractées. Maintenant, pour avoir les masses m et m', il faut multiplier les volumes par les densités des milieux : or, en considérant la différence de vitesse de propagation de la lumière dans les deux milieux comme résultant de leur différence de densité, leurs densités doivent être en raison inverse des carrés de ces vitesses; ainsi, la densité du premier est à la densité du second comme sin 2 i' est à sinai. Multiplions ce rapport des densités par celui des volumes, et nous aurons le rapport des masses m et m, qui sera

sin < cos i tang f

sin i cos r" tang» '

ainsi, m étant représenté par tangf, tang/ représentera m. Si nous substituons ces valeurs dans la formule

nous aurons pour l'expression de l'intensité de la lumière réfléchir- :

/tang / — tang ïy \ tang 1-4- tang i ) *

à l'aide de laquelle on peut calculer à priori, sous une incidence quelconque, la proportion de lumière réfléchie par un milieu diaphane dont le pouvoir réfringent est connu, lorsque la lumière incidente est toute polarisée suivant le plan de réflexion.

19. Je n'ai pas encore vérifié directement cette formule sur des mesures d'intensité faites dans le même cas, ne connaissant que des résultats obtenus avec la lumière ordinaire. Heureusement qu'à l'aide

M' XXII. de la déviation du plan de polarisation observée sous la même incidence, on peut calculer le rapport d'intensité entre la lumière réfléchie du faisceau polarisé suivant le plan de réflexion, et la lumière réfléchie du faisceau polarisé perpendiculairement à ce plan, comme nous l'avons vu précédemment, et déduire ainsi la seconde intensité de la première. C'est le procédé indirect que j'ai suivi pour vérifier ma formule sur deux résultats précieux des observations de M. Arago , qu'il a eu la bonté de me communiquer w. Il a trouvé qu'une glace non étamée à faces parallèles réfléchissait autant de lumière qu'elle en laissait passer lorsqu'elle était inclinée sur les rayons de 1 1° a 3'; c'est la moyenne de quatre observations faites avec beaucoup de soin, et dont les plus grandes variations n'étaient guère que d'un tiers de degré, malgré la différence des procédés. H a trouvé de même que deux glaces pareilles laissent passer autant de lumière qu'elles en réfléchissent lorsqu'elles sont inclinées de 1 6° 58'. C'est aussi la moyenne de quatre observations, mais entre deux desquelles il y avait presque un degré de différence. En mesurant, sous les mêmes incidences, la déviation du plan de polarisation d'un rayon polarisé dans l'azimut de 65°, j'ai trouvé pour le nouvel azimut s, dans le premier cas, 3i° 45', et, dans le second, a6° 3o'. J'ai supposé que le rapport de réfraction des plaques de verre employées par M. Arago était i,5 1, qui est celui de la plupart des glaces de Saint-Gobain. D'après cette hypothèse, qui ne doit guère s'écarter de la réalité, j'ai calculé la valeur de l'angle de réfraction i' pour chacune des deux incidences, et, substituant la valeur de tangi et tangj' dans la formule, j'ai trouvé, dans le premier cas, 0,699/1, et dans le second o,36o6, pour la proportion de lumière réfléchie par une seule surface, lorsque le faisceau incident est polarisé suivant le plan de réflexion. Considérons d'abord le premier cas, celui où la lumière est réfléchie par les deux surfaces d'une seule plaque. Si l'on représente par a l'intensité

l" Voyeï Arago, Œuvres complètes, t. X, art. hv, p. 468 et suivantes.

de toute la lumière directe qui vient tomber sur la plaque, celle de N" XXII. chacun des deux faisceaux polarisés à angle droit, dans lesquels nous la divisons , est égale à 1 , et la somme des rayons réfléchis à la première surface est 0,6996 pour le faisceau polarisé suivant le plan d'incidence : en multipliant ce nombre par tang* 3i° 65', nous aurons pour la portion de lumière réfléchie du second faisceau 0,1912. Cela posé, on trouve, pour chacun des deux faisceaux, en sommant une progression géométrique, que si n représente la lumière réfléchie à la première surface, et m la lumière transmisé, de sorte que m -+- n = 1 . la somme totale des réflexions en nombre inGni que la seconde surface de la plaque ajoute à celle de la première est égale à

mn

Appliquant celte formule au premier faisceau , pour lequel n = 0,6996 et m = o,5oo6, on trouve 0,1667, qui, ajouté à 0,6996, donne 0,6661. On obtient de la même manière, pour la totalité de lumière réfléchie du second faisceau, o,3an : or ces deux nombres réunis donnent 0,9872, qui ne diffère que d'un centième environ de la moitié de la lumière incidente, que j'ai supposée égale à 3.

En multipliant, dans le second cas, par tang3 260 3o', le nombre o,36o6, qui est la portion de lumière réfléchie du faisceau polarisé suivant le plan d'incidence sur la première surface, on a, pour le second faisceau, 0,0768. Avec ces deux données, on peut aisément calculer, par de simples progressions géométriques, la somme de lumière résultant de toutes les réflexions que produisent les quatre surfaces des deux plaques, et l'on trouve de cette manière, pour la totalité de la lumière réfléchie du premier faisceau, 0,6926, et, pour le second. 0,2666, qui, ajoutés ensemble, font 0,9370. On voit que ce nombre ne diffère guère que de 6 centièmes de la moitié de la lumière incidente.

La table de Bouguer m'offrait des cas plus simples et des incidences plus variées: mais M. Arago m'ayant averti qu'elle était très-inexacte, j'ai jugé inutile de la comparer à la théorie.

r»4f. THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.

V XXII 20. Post-Scriptum. Lorsqu'on terminait l'impression de cette Note , j'ai trouvé, par une solution mécanique, mais fondée sur une hypothèse empirique, une formule d'intensité pour la lumière réfléchie polarisée perpendiculairement au plan de réflexion; cette formule, que je me propose de calculer de nouveau d'après des considérations plus rigoureuses, paraît être exacte, si l'on en juge du moins par son accord avec plusieurs résultats de l'expérience auxquels je l'ai comparée. Si l'on représente toujours par i et ? les angles d'incidence et de réfraction, et par 1 l'intensité d'un faisceau incident polarisé perpendiculairement au plan de réflexion, l'intensité de la portion de lumière réfléchie est égale à

(sin a 1 " — sin a A* — : : ; I .

sin a i -i- sin a / /

dette formule, jointe à celle que j'ai déjà donnée pour la lumière polarisée dans le plan de réflexion, doit donner l'intensité de la lumière réfléchie, lorsque la lumière incidente n'a éprouvé aucune polarisation préalable ; représentant l'intensité de celle-ci par 2 , celle de la lumière réfléchie sera égale à

sin*(i — i) /sin a j — sin a A î sin'0 + f) Uina. + sinarJ '

Celte formule, appliquée aux deux observations déjà citées de M. Ara go, s'accorde, à un centième près, avec la première, et donne sur la seconde six centièmes de différence.

'21. Ayant mesuré depuis longtemps plusieurs déviations du plan de polarisation dans la réflexion sur le verre et sur l'eau, je pouvais mettre ces formules à de nouvelles épreuves, en en déduisant l'expression générale de l'azimut du plan de polarisation du faisceau réfléchi, et l'appliquant aux cas observés. Lorsque le plan de polarisation de la lumière incidente est incliné de 65° sur le plan de réflexion, les deux faisceaux polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan d'in- «idence dans lesquels on peut la décomposer sont égaux; et a et b représentant les intensités des vitesses d'oscillation dans les mêmes faisceaux réfléchis, n est la tangente de l'angle que le plan de polarisa-

lion de la lumière totale réfléchie fait avec le plan d'incidence. Mais N* XXII nous avons, pour les valeurs de 6 et de a :

sin (t — T) . i si ii -i i — si n -i i

a — mTn > rj ei 0 — sin 2 i -4- sin a « :

Ainsi la tangente de l'azimut du plan de polarisation de la lumière réfléchie est égale à

(sin a i — sin a i ) sin ( i + C (sin ai + sin a « jsin(i — i')'

Le tableau suivant offre la comparaison de plusieurs angles déduits de cette formule avec ceux qui m'avaient été donnés par l'observation.

HéPLBXION DB Lt LCMIBBB POLiMséB SUIVANT ON AXIMCT DB 65' RBLATIVIMBITT «U PLAN DB airLBXIO*.

it

)t perpendiculaire.

da pian <k poUri-tioo i* h lonièra reftfcti», •tk U ralali/à l'iaui* «o plu. primitif.

D'tpret U branle. j D'tptrt* l'obMi-tttioa.

SUR

Zf 54'

ii*45'

La lumière était polarisé* dans le plan de r

■éflexion vere l'inàden

;e de 56* i,

conformément à

la loi de Brewster

avec laquelle s'accorde la f

- io* a4'

-it' 36'

-ht* i5'