Les expressions ci-dessus

cos Tf -j-J et sin Trf-y-J,

qui donnent les intensités respectives des images ordinaire et extraordinaire dans une lumière homogène dont la longueur d'ondulation est A, lorsque l'axe de la lame cristallisée fait un angle de 65° avec le plan primitif de polarisation, et que la section principale du rhomboïde est parallèle à ce plan, font voir que Yentemble des deux systèmes d'ondes qui sortent de la lame cristallisée doit être polarisé suivant le plan primitif de polarisation, quand o — e est égal à zéro ou à un nombre entier d'ondulations, puisque alors

vm *(-T-J

devenant égal à zéro, l'image extraordinaire s'évanouit. Au contraire, quand o — e est égal à un nombre impair de demi-ondulations, c'est

qui devient nul, et par conséquent l'image ordinaire qui s'évauouit; d'où l'on doit conclure que la lumière totale est polarisée dans le plan perpendiculaire à la section principale, qui est précisément ici ce que

M. Biot appelle l'azimut ai. Mais pour toutes les valeurs intermé- N" XXII. diaires de A, X ensemble des deux systèmes d ondes ne peut présenter qu'une polarisation partielle, et même il doit paraître complètement dépolarisé lorsque o — e est égal à un nombre impair de quarts d'ondulation, parce qu'alors

a fo - e\ ■ f fO--e\

cos ni -y) et sm ni-y-J

devenant l'un et l'autre égaux à ^, les deux images sont de même intensité, et que cela a lieu, quel que soit l'azimut dans lequel on tourne, la section principale du rhomboïde, comme on peut s'en convaincre par les formules générales présentées plus haut, en y faisant

i = 45° et sin27r(0-^") = i;

car alors elles deviennent :

Image ordinaire cos" s — l- cos 2s= i;

Image extraordinaire sin2 s 4- - cos as — - .

Il est aisé de voir de même sur les formules générales, quelle que soit la valeur de i, que lorsque o — e est égal à zéro ou à un nombre pair de demi-ondulations, l'image extraordinaire s'évanouit pour s = o, et que lorsque o — e est égal à un nombre impair de demi-ondulations, la même expression devient nulle si l'on y fait s= ai, et que, par conséquent, la lumière totale est polarisée suivant le plan primitif dans le premier cas, et dans le second, suivant l'azimut ai; tandis que, pour toutes les valeurs intermédiaires de o-e, il ne peut y avoir disparition complète d'aucune image, de quelque manière qu'on tourne la section principale du rhomboïde. Toutes ces conséquences de la théorie sont confirmées par l'expérience.

Dans une seconde note, j'indiquerai la manière de calculer les teintes produites par un nombre quelconque de lames superposées, et je donnerai les formules générales pour le cas de deux lames dont les sections principales font entre elles un angle quelconque. J'y joindrai aussi quelques considérations mécaniques sur la polarisation et la double

N° XMI. réfraction, ainsi que sur la cause des propriétés remarquables que nous avons découvertes, M. Arago et moi, dans la lumière polarisée.

Il* NOTE SUR LA COLORATION DBS LAMBS CRISTALLISEES.

6. Je viens de donner les formules générales des teintes d'une seule lame cristallisée; je vais calculer maintenant les effets qui résultent de la réunion de plusieurs lames. Je supposerai toujours ces cristaux à faces parallèles et perpendiculaires au rayon incident, afin de n'être point obligé de faire entrer dans le calcul les déviations des plans de polarisation produites par l'inclinaison des surfaces, pour lesquelles nous n'avons point de formule rigoureuse, et dont il faudrait tenir compte, du moins dans les grandes obliquités. Peu importe d'ailleurs que les faces de ces lames soient parallèles ou obliques à leurs axes, et qu'elles en aient un ou deux, pourvu que la position des plans de polarisation des rayons ordinaire et extraordinaire soit connue dans chaque laine, ainsi que leur différence de marche, qu'on peut toujours calculer quand on connaît leurs vitesses respectives; les raisonnements que nous allons faire s'appliqueront également à tous les cas.

Lorsqu'on superpose un nombre quelconque de lames cristallisées, en plaçant leurs sections principales'" suivant la même direction, les rayons ordinaires et extraordinaires qui sortent de la première lame continuent à subir dans les autres le même genre de réfraction qu'ils ont éprouvé d'abord; en sorte qu'il n'en résulte définitivement que deux systèmes d'ondes, comme pour le cas d'une seule lame. On peut donc appliquer à un pareil assemblage de lames cristallisées les formules que nous avons données pour une seule, en y substituant la différence totale de marche produite par le passage de la lumière au travers de toutes ces lames. Cette différence sera égale à la somme tle celles qui résultent de chaque lame, si ce sont les rayons de même nom. les rayons ordinaires, par exemple, qui les traversent toutes avec le plus de vitesse; dans le cas contraire, il faudra ajouter les différences de mar-

" J'entends ici par section principale lr soit que le cristal ait deux nxes. soil qinl n »>n plan de (tolnnwition des rayons ordinaires. ait qu'un.

clic produites par les lames où la vitesse de propagation des rayons ordi- N° XXI! naires est plus grande que celle des rayons extraordinaires, faire ensuite la somme des différences de marche données par les lames où les rayons ordinaires marchent moins vite que les rayons extraordinaires, et retrancher ces deux sommes l'une de l'antre; on aura ainsi la différence définitive des chemins parcourus au même instant par les deux systèmes d'ondes qui sont sortis de cet assemblage de lames cristallisées.

Si les sections principales d'une partie des lames étaient perpendiculaires à celles des autres, que je suppose parallèles entre elles, il est clair qu'il n'en résulterait encore que deux systèmes d'ondes, comme dans le cas précédent; seulement les rayons qui ont été réfractés ordinairement par les premières le seraient extraordinairement parles autres, et les rayons extraordinaires de celles-là deviendraient ordinaires dans celles-ci. On voit donc que, pour avoir la différence définitive de marche des deux systèmes d'ondes, il faut faire la somme des différences produites par tous les cristaux attractifs (pour me servir de l'expression usitée), dont les sections principales sont parallèles à la première direction , en retrancher la somme des différences produites par les cristaux répulsifs dont les sections principales ont la même direction, faire un calcul semblable pour les lames dont les sections principales sont perpendiculaires à la première direction, et retrancher les deux résultats l'un de l'autre; ou, ce qui revient au même, on ajoutera les différences de marche provenant des cristaux de même genre qui ont leurs sections principales parallèles entre elles, avec les différences de marche provenant de cristaux de genre contraire dont les sections principales leur sont perpendiculaires, et l'on retranchera l'une de l'autre les deux sommes ainsi obtenues.

7. Après avoir considéré les cas particuliers où l'on peut appliquer à la réunion d'un nombre quelconque de lames cristallisées les formules que nous avons données pour une seule, occupons-nous maintenant du cas général de deux lames superposées dont les sections principales font entre elles un angle quelconque, et sont disposées d'une manière quelconque par rapport au plan primitif de polarisation, ainsi que la'

\ XXII. section principale du rhomboïde de spath calcaire qui sert à analyser la lumière émergente.

Soient PP' le plan primitif de polarisation, 00' la section principale

de la première lame, 0 0/ celle de la seconde, SS' la section principale du rhomboïde; EE\ E E/, TT' des plans respectivement perpendiculaires aux trois premiers : je représente par i l'angle OCP que la première lame fait avec le plan primitif de polarisation, par a l'angle OCO,, que la section principale de la seconde lame fait avec celle de la première, et par 5 l'angle PCS de la section principale du rhomboïde avec le plan primitif.

La lumière incidente se divisera dans la première lame en deux systèmes d'ondes polarisés, l'un suivant CO, et l'autre suivant CE'; chacun d'eux se divisera, dans la seconde lame, en deux systèmes d'ondes polarisés, l'un suivant 0 0 ', et l'autre suivant E E,'; et enfin, en traversant le rhomboïde, chacun de ces quatre faisceaux se divisera en deux autres, l'un polarisé suivant sa section principale SS', et l'autre dans le plan perpendiculaire TT'. Les quatre faisceaux polarisés définitivement suivant SS' formeront l'image ordinaire, et les quatre autres polarisés suivant TT'constilueront l'image extraordinaire. Nous ne nous occuperons que de l'image ordinaire, l'autre image étant toujours complémentaire de celleci. On trouve, pour les intensités des vitesses d'oscillation des quatre faisceaux constituants de l'image ordinaire, les expressions suivantes :

cos i cos a cos ( ci ~t - 1 — « ) F. w cos i sin a si 1 1 ( a + 1 ' — s ) F0 + r P.O.(),.S P.O.E.S.

— .sin i sin a cos (u -H -s) Fc-«-u' sin i cos a sin (a-H — .*) F,^ P.E'.O'.S'. P.E'.E.S.

dans lesquelles F représente toujours l'intensité des vitesses d'oscillation de la lumière incidente, ou plus exactement de cette lumière diminuée de tout ce qu'elle perd en traversant les trois cristaux. On n'a marqué

que les chemins parcourus au même instant par les différents systèmes N" XXII d'ondes après qu'ils ont traversé les deux lames cristallisées, sans s'occuper de leur marche dans le rhomboïde, qui est la même pour tous, puisqu'ils y ont tous subi la réfraction ordinaire. On a affecté la troisième expression du signe — , en raison de la marche du plan de polarisation de ce système d'ondes comparé à celles des plans de polarisation des trois autres : en suivant les changements successifs de ces plans de polarisation, indiqués par les lettres majuscules placées sous chaque expression , on reconnaîtra en effet que, pour le troisième faisceau, l'extrémité P du plan primitif est venue se placer définitivement en S', tandis que, pour les trois autres, elle est allée en S; d'où résulte l'opposition de sens qui entraîne l'opposition de signe, comme dans la composition des forces.

Pour trouver la résultante de ces quatre systèmes d'ondes, il faut suivre la règle que j'ai donnée dans mon Mémoire sur la diffraction déjà cité, page a 56 W; elle consiste à décomposer chaque système d'ondes en deux autres, dont les positions sont les mêmes pour tous, et diffèrent l'une de l'autre d'un quart d'ondulation : on fait ensuite la somme des composantes rapportées à la première position, puis celle des composantes rapportées à la seconde, et, en ajoutant les carrés de ces deux sommes, on a l'intensité de la lumière totale qui résulte de l'interférence des différents systèmes d'ondes. Je choisis pour la position des premières composantes celle qui répond au chemin parcouru o + e, par exemple; la position des autres différera de celle-ci d'un quart d'ondulation : l'on aura, pour la somme des premières:

cos i cos a cos [a + i - s) cos 2ir ('-^-) 1 eos i sin a sin (a f i-s) cos 2it (-p-)

— sin i sin a cos (a -i- i - s) cos 2it J -f sin i cos a sin (a -f « '— •*) cos 27r ("^-) ; et pour la somme des secondes :

cos ï cos a cos (a-f i — s) sin 27T y j r cos «sin a sin (a + i —s) sin 27r

— sinisinacos(a ri s)sin27r J -H sin i cos a sin (a H— s)sin 2tt[° y—j.

M Page 5189 du présent volume.

V XXII. J'ai supprimé ici le facteur commun F, qui aurait compliqué inutilement le calcul, et qu'on peut d'ailleurs prendre pour unité.

En élevant les deux sommes au carré et ajoutant ces deux carrés, on trouve, après plusieurs réductions :

« •< ).sJ v -f si n 2 a si n 1 1 cos 2 {a -i i — s) sin2 n (-y-) — si n 2 a cos 2 j si n a (a -H — * ) si n" w (^'y )

— cos «sin 21 sin 2 (a -H— s) sin tt[ ^ J-t-sin asm 2»sin a (a-4-i— s) sin 7r^ — — y

Telle est l'expression générale de l'intensité d'une lumière simple dans l'image ordinaire. On peut la considérer en même temps comme représentant la teinte produite par la lumière blanche, puisque cette formule donne l'intensité relative de chaque espèce de rayons colorés en fonction de leur longueur d'ondulation.

8. On voit que cette expression contient quatre termes variables avec la longueur X de l'ondulation lumineuse, multipliés par des coeflicients qui ne dépendent que des angles a, i et 5. La première fonction de X est :

sin 7T

la seconde, la troisième, et la quatrième.

sm ), sin tt( j j,

>in'»(u-f-/' -")■

Ce sont précisément celles qui formeraient le terme variable de la formule pour une seule lame cristallisée, dont on supposerait successivement l'épaisseur égale à celle de la première lame, à celle de la seconde, à la somme de leurs épaisseurs, et à leur différence, si les deux lames sont de même nature. Et en effet, le système des deux lames croisées peut présenter les mêmes effets qu'une seule lame qui aurait successivement les épaisseurs que nous venons d'indiquer; i° quand la section principale

du rhomboïde est parallèle ou perpendiculaire à celle de la seconde N° XXN. lame, puisqu'alors chaque image donnée par le rhomboïde ne contient que des rayons qui ont éprouvé la même réfraction dans cette lame, et entre lesquels elle n'a établi aucune nouvelle différence de chemins parcourus; a° lorsque la section principale de la première lame est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation, puisque les rayons incidents n'éprouvent plus alors dans cette lame qu'un seul mode de réfraction ; 3° lorsque les sections principales des deux lames sont parallèles entre elles; h° quand elles sont rectangulaires. Ces deux derniers cas rentrent dans ceux dont nous avions déjà parlé avant de calculer la formule. Les expériences de M. Biot avaient démontré d'avance ces conséquences de la théorie, qu'on peut déduire de la formule en y faisant successivement :

a + i — s — o, a-f-i — 5 = 90°, i = o, 1=90°, a — o , a = qo°.

Par une marche semblable à celle que nous venons d'indiquer pour deux lames, on pourrait également calculer les formules générales des intensités des diverses espèces de rayons colorés dans les images ordinaires et extraordinaires, pour trois, quatre, cinq, etc. lames superposées, dont les sections principales feraient entre elles des angles quelconques. L'application de la théorie à ces cas plus compliqués serait aussi facile; les calculs seraient seulement plus longs.

9. On voit quel avantage a cette théorie sur celle de la polarisation mobile, qui devient si embarrassante quand on veut savoir comment les oscillations des axes des molécules lumineuses se renouent dans le passage d'une lame à une autre dont la section principale fait un angle quelconque avec celle de la première. Aussi la théorie de la polarisation mobile n'a-t-elle fourni à M. Biot le moyen de déterminer tous les coefficients de ses formules, pour deux lames superposées, que dans des cas très-particuliers; et même il en est un où ses formules ne représentent pas les faits avec exactitude, comme j'en ai été averti par les miennes; c'est le cas où la section principale du rhomboïde étant parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, les deux lames, étant de '• 79

N* XXII. même nature, ont la même épaisseur, et leurs axes croisés sous un angle de 65°. M. Biot avait conclu de ses formules que lorsqu'on fait tourner le système des deux lames croisées dans son plan, les teintes des images doivent rester constantes. L'expression générale que nous venons de trouver pour l'intensité de chaque espèce de lumière simple dans l'image ordinaire conduit à une conséquence différente. En effet , dans le cas dont il s'agit, o —e=o-e, puisque les deux lames sont de même nature et de même épaisseur, a= Zi5°eU= o ou 900 : supposons s = o et substituons ces valeurs dans la formule; nous aurons, toutes réductions faites :

a /o — e\ 1 ■ / • • a /o — e\ COS 7T^-y-J - -Sin4 ISin Q7T^-^— J.

Cette expression, n'étant pas indépendante de i, qui est l'angle que la section principale de la première lame fait avec le plan primitif de polarisation, doit changer de valeur quand on fait tourner le système des deux lames dans son plan. Lorsque sin l\i= o, elle devient

cos'*(^),

qui est précisément la formule que nous avons trouvée pour une seule lame de même épaisseur qu'une des deux dont il s'agit, quand sa section principale fait un angle de 65° avec le plan primitif; et en effet dans toutes les positions du système des deux lames croisées où sin M — oy c'est-à-dire lorsque i est égal à 65°, 900, i35°, 1800, etc. la teinte de l'image est parfaitement semblable à celle que donne une des deux lames prise séparément, et tournée de manière que sa section principale soit dans l'azimut de 65°, ainsi que M. Biot l'avait annoncé, et comme on peut le vérifier aisément par l'expérience. Mais, pour toutes les valeurs intermédiaires de i, la formule diffère plus ou moins de

et cette différence atteint son maximum lorsque sin M devient égal à 1 , c'esUà-dire quand 1 est égal à un nombre impair de quarts de quadrant.

Il est à remarquer que, même dans ce cas, le coefficient de sin ki N* XXII. ne peut pas excéder ^, quelle que soit la valeur de

Slll aw^),

puisqu'il est multiplié par i. D'ailleurs, il s'évanouit pour les deux espèces de rayons dont la longueur d'ondulation rend

égal à un nombre entier, ou à un nombre entier plus l-, puisqu'alors

■in»a«(^)

est égal à zéro : or la première espèce de rayons est celle qui domine dans l'image ordinaire, puisque

devient égal à t , quand

est un nombre entier, et la seconde espèce est celle qui en est entièrement exclue, puisque