DANS L'IINTÉRIEUR DES CORPS TRANSPARENTS

[Bulletin de la Société phUomatkique , pour i8a3 » p. ag. — Armalu de chimie et de physique, t. XXIX, p. 176 , cahier de juin i8a5.]

N^ XXIX (A)

H est remarquable que les phénomènes d'optique les plus anciennement connus, et l'on pourrait dire les plus vulgaires, la réflexion et la réfraction, soient ceux pour lesquels on est parvenu le plus tard au calcul des intensités de la lumière. Malus a donné une loi très-simple des intensités relatives des deux faisceaux dans lesquels la lumière polarisée se divise en traversant un rhomboïde de spath calcaire ; et en attendant la vérification expérimentale que M. Arago doit faire de cette loi, j'estime qu'on a de fortes raisons de la regarder comme rigoureuse, abstraction faite des petites difl'érences de proportion de lumière réfléchie aux deux faces du rhomboïde selon l'espèce de réfraction que subissent les rayons. On connaît depuis plusieurs années les lois générales des intensités de la lumière dans les phénomènes de la diffraction et de la coloration des lames cristallisées; quoiqu'elles n'aient guère été vérifiées jusqu'à présent que par des expériences indirectes, la multitude et la variété des faits qui les confirment suffiraient pour prouver leur exactitude, quand même la simplicité des principes dont elles découlent ne serait pas d'ailleurs une forte présomption en leur faveur.

M. Young a donné le premier l'expression de l'intensité de la lu-

marche d'une certaine fraction d ondulation. Quand cette diflérence N" XXIX (A), est nulle j la luuiière reste complètement polarisée, d'après les règles d niterférence; c'est ce qui a lieu au commencement de la rétlexiori totale el à sa seconde limite, c est-à-dire quand lei* rayons incidents deviennent parallèles à la surface; mais entre ces deux limites il y a toujours, entre les deux faisceaux, une différence de marche, qui varie avec Tangie dmcldeiice, et après avoir crû jusqu'à un certain fuajdmum, diminue ensuite et redevieTit nulle ioi^que cet angle atteint go** ; l'incidence qui donne ce majrifmmi, ainsi que la ditKrence de marche correspondante, varient aussi avec le rapport de réfraction des deux milieux au contact desquels s opère la réflexion totale. La loi de ces variations me paraissant ti ès-diÛicile à découvrir, je ne Ta vais pas mêmt^ cherchée, depuis six ans qiie ces phénomènes m'étaient connus; ce n'est que tout récemment que je me suis occupé de ce problème, et j'en ai trouvé la solution dans les expressions généi aies qui représentent les intensités des rayons réfléchis.

Avant d'en déduire la loi dont il s'agit, je commence par présenter dans mon Mémoire un calcul très-simple de ces formules, 11 repose sui' la loi de Descartes, sur le principe de la conservation des forces vives, et sur cette hypothèse subsidiaire, savoir, que les composantes des vitesses absolues des molécules vibrantes, parallèlement à la surface ré* fléchissante, ne changent pas de grandeur dans les ondes réfléchies et transmises pendant que celles-ci s'éloignent de la surface '^L Pour démontrer rigoureusement que ces formules sont une conséquence nécessaire du genre de vibration que j'attribue aux rayons lumineux, il faudrait d'abord établir Texactitude de cette hypothèse ^^\ et prouver

*^' Je suppose toujours , pour simplifier les raisonnements , que Tonde incidente est piane, ou le point lumineux situé à rinfini. en sorte que lei ondes réfléchies ou transmises en 3*ébignantde la surface ne changent

pas (le distance i^lativetnent à leur centre d ondulation , qui est aussi infiniment éloigne, et que, bous ce rapport, il ne doit pa;^ y avoir d'ûflaîblissenient sensible dans Je» viiesses absolues des molécules vibrantes.

^'^ Le teite imprimé dans le Bulletin de la société philomathique ajoute entre parenthèses : «ce qai ne me paraît pas bien dilEeile.''

N*XXIX (A), ensuite la justesse de lappiication du principe de la conservation des forces vives au cas que je considère, où les deux milieux réfringents ayant la même élasticité ne diffèrent qu'en densité. Je me suis borné à ce cas, parce qu'il paraît résulter de toutes les observations qitte la réflexion est toujours nulle au contact de deux milieux également réfringents, quelque difl*érence d'élasticité qu'il puisse d'ailleurs y avoir entre eux, et qu'en général les proportions de lumière réfléchie ne dépendent que du rapport de réfraction; en conséquence, pour les calculer, il est indifférent de considérer le ralentissement de la marche de la lumière dans le milieu le plus réfringent comme résultant d'une plus grande densité ou d'une moindre élasticité. Néanmoins il serait très-important d'éta- ' I blir ce principe par les lois de la mécanique. Je me propose, quand

j'en aurai le loisir, de reprendre le problème dans toute sa généralité, et de donner, si je puis, une démonstration complète et rigoureuse de ces formules. Eh attendant, j'ai cru devoir les faire connaître, ainsi que le calcul très- simple qui y conduit, calcul dont elles tireraient déjà un grand degré de probabilité, quand elles ne seraient pas en outre appuyées par plusieurs niesures très -précises de M. Ârago, et ' par les observations que j'avais faites sur les déviations du pian de polarisation des rayons réfléchis à la surface extérieure du verre et de l'eau.

Je considère successivement le cas oii les rayons incidents sont polarisés suivant le plan de réflexion, et celui oii ils sont polarisés perpendiculairement à ce plan, c'est-à-dire les deux cas dans lesquels Ifes vibrations de ces rayons lui sont perpendiculaires ou'parallèles. Si Ton appelle i l'angle d'incidence, ï l'angle de réfraction, et qu'on prenne pour unité le coefticient commun des vitesses absolues dans les ondes incidentes, on trouve que celui des ondes réfléchies est égal, pour le premier cas, à

. sin / cosi — sin \ ces/

sin / cos/'-+-sin /'cosT

ou

sin (/ — /') sin ( ( -h i' ; '

et pour le second, à N** XXIX (A).

sin i CCS i — sin i ces i' sin i ces i h- sin l' ces f ' OU

taDg(t~f ), tang(/H-/y

conséquemment, si l'on prend pour unité l'intensité de la lumière incidente, celle de la lumière réfléchie dans le premier cas sera

sin'(i~r)

et dans le second,

tang^ (i-i) tang*(«4-iV

Je ne m'arrêterai pas à montrer comment ces formules s'accordent avec les expériences de Malus et la loi de Brewster; le lecteur y suppléera aisément : il pourra voir aussi, dans la note déjà citée, comment on déduit de ces formules les déviations qu'éprouve le plan de polarisation de la lumière incidente quand il est oblique au plan de réflexion, les proportions de lumière directe polarisée par réflexion ou par réfraction, et l'expression suivante de l'intensité de la lumière réfléchie, lorsque les rayons n'ont éprouvé aucune polarisation préalable,

1 sin*[r--f) 1 tang*(? — /')

2 sin*(î-Hi') a tang* (i h- i') '

Je passe maintenant à l'objet principal du Mémoire, qui est la loi des modifications que la réflexion totale imprime à la lumière polarisée. Lorsque la réflexion a lieu dans l'intérieur d'un corps transparent, situé dans le vide ou dans l'air, ou en contact avec un milieu moins réfringent que lui, si l'on appelle n le nombre fractionnaire qui exprime le rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux, sin i\ au lieu d'être égal à ^^ , est égal à w sin i , et i est un angle droit quand /isin« — i ; après quoi son cosinus devient imaginaire; ce qui fait entrer des imaginaires dans les deux formules rapportées plus haut,

sin / cos i' — sin i' cos /

sin i cos /' -+• sin T cos i '

\* XXIX (A), et

sin I C08 i — sin f cos f sin I cos I + sin f cos i**

qui expriment les intensités des vibrations des ondes réfléchies, selon que les ondes incidentes sont polarisées parallèlement ou perpendiculairement au plan de réflexion. Cependant il est clair que lorsque n sin i est plus grand que i , la totalité de la lumière est réfléchie, d'après ie principe de la conservation des forces vives, puisque la transmission des vibrations lumineuses dans le second milieu devient impossible, comme on le démontre aisément à Taide du principe des interférences, du moins pour un point distant de la surface d'une quantité trèsgrande relativement à la longueur d'une ondulation. D'un autre côté, si ces formules sont vraies depuis l'incidence perpendiculaire jusqu'à celle où I = 90% qui les rend l'une et l'autre égales à 1 , elles doivent exprimer encore une chose vraie passé cette limite, lorsqu'elles deviennent en partie imaginaires et prennent la forme a+b y/ — i.En interprétant, de la manière qui m'a paru la plus naturelle et la piu$ probable, ce que l'analyse voulait indiquer par cette forme imaginaire, j'ai trouvé l'expression générale de la différence de marche que la réflexion totale établit entre la lumière polarisée parallèlement au plan d'incidence et celle qui l'est perpendiculairement à ce plan. Sans doute cette expression ne découle pas d'une manière aussi évidente et aussi certaine des formules précédentes que la loi des simples déviations du pian de polarisation des rayons qui n'ont éprouvé qu'une réflexion partielle ^*^; mais ce qui rend très-probable la justesse de l'interprétation que je donne de ces formules dans le cas de la réflexion totale, c'est que d'abord elle trouve une première vérification dans les formule mêmes, et qu'ensuite l'expression qui en dérive s'accorde avec tous le faits que j'avais observés précédemment et avec les expériences nou velles par lesquelles je viens de la vérifier.

La forme compliquée de l'expression à laquelle je suis ainsi parvenu,

^'^ Mon but était seuiement de découvrir suis proposé pour le moment que d'en doncette loi à l'aide de la théorie , et je ne me ner une démonstration expérimentale.

REFLEXION TOTALE DANS LES CORPS TRANSPARENTS. 75Vi

par un calcul dont les détails sont exposés dans mon Mémoire, suffit N' XXt\ (Aj. pour faire sentir combien il aurait été ditlicile de la découvrir par la simple observation des faits. Nommant toujours i l'angle de riiicidencr intérieure et n le rapport de réfraction, si Ton représente par une cir^ conférence entière la longueur d'une ondulation lumineuse, la diiïé^ rence de marche, après la réflexion totale entre les deux faisceaux polarisés, lun parallèlement, Tautre perpendiculairement au plan d'incidence^ a pour cosinus,

a n' sin* / — ( n' + i ) sin* i h- i

Lorsque la lumière incidente est entièrement polarisée suivant le plan de réflexion ou dans une direction perpendiculaire, elle ne donne qu'un système d'ondes, qui conserve le même plan de polarisation, et se trouve seulement réfléchi à des profondeurs un peu différentes, selon que son plan de polarisation est parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion- Mais quand les ondes incidentes sont polarisées dans tout autre azimut, on peut alors décomposer leurs mouvements vibratoires parallèlement et perpendiculairement au plan dmcidence, et les intensités de ces vibrations composantes sont représentées par le sinus et le cosinus de Tangle que le plan de polarisation fait avec le plan d'incidence; les vibrations composantes perpendiculaires au plan d'incidence ne seront pas réfléchies à la même profondeur que celles qui lui sont parallèles, et Ton pourra calculer leur différence de marche au moyen de la formule cî-dessus : connaissant ainsi les intensités relatives et la différence de marche des deux systèmes d ondes réfléchies, polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan de réflexion, il sera facile de déterminer les intensités des images ordinaire et extraordinaire que la lumière totale produira en traversant un rhomboïde de spath calcaire, d'après Fazimut de sa section principale, en suivant la même méthode que pour les lames minces cristallisées.

Si le rapport de réfraction n était le même pour les rayons de diverses couleui-s, leurs intensités resteraient égales dans Timage ordinaire comme dans Firnage extraordinaire, qui ne présenteraient alors

N" XXIX (A), aucune trace de coloration , lorsque la lumière incidente serait blanche; mais n varie un peu avuc la nature des rayons» en sorte que leurs intensités ne restent pas rigouieusemenl «égales dans chaque image; et le calcul fait voir que ces différences d'intensité doivent être d'autant plus sensibles, que rangle d'incidence se rapproche davantage de la limite de la réflexion partielle, qui, comme on sait, répond à des inclinaisons diverses pour les diverses espèces de rayons colorés ; tandis que les mêmes ditl'érences d'iïitensité s'alla ibhssent rapidement à mesure qu'on s'approche du paraiiéhsme à la surface, c'est-à-dire de Fautre limite de la réflexion totale, qui est la mi^nie pour tous [es rayons; en conséquence, la coloration des images ordinaire et extraordinaire ne doit être bien sensible que dans le voisinage de la réHexion partielle, ainsi que Texpérience le montre, quand on a soin d*employer un prisme de verre bien recuit et ne conservant aucune trace de double réfraction. Je n'ai pas comparé en détail les résultats du calcul avec ceux de l'observation relativement à ces phénomènes de coloration, mais je suis persuadé d'avance que la formule ci-dessus serait pleinement conOrniée par celte épreuve; je me suis particulièrement attaché à la vérifier par d'autres expériences susceptibles d'une plus grande précision.

Dans cette vérification expérimentale, je me suis proposé d'obtenir une différence de marche d'un quart d'ondulation par deux ou un plus grand nombre de réflexions totales. En dirigeant bien exactement le plan de la polarisation primitive dans un azimut de i 5' relativement au plan de réflexion, afin que les deux faisceaux fussent d'égale intensité, leur réunion devait présenter, au travers d'un rhomboïde de spath calcaire, les apparences d'une lumière complètement dépolarisée, et enfin tous les caractères de la polarisation circulaire, caractères faciles à constater. L'espèce de verre que j'ai employé était le crown de Sainte Gobain, dont l'index de réfraction est i,5i. En mettant ce nombre à la place de n, on trouve» d*après la formule, que les incidences qui doivent donner rigoureusement une difl'érence de marche égale à un quart d'ondulation après deux réflexions intérieures sont 48** 87' et 54^^37'; entre ces deux angles la différence de marche varie très-peu

et atteint son maximum c|yaiid i= Bi^ ao'. J*ai fait tailler un parallé- N** XXIX (A). lipipèdi* rie vorre cl ont les laces d'erîtrc^e et de sortie étaient inclinées lie 54** Y s'*^ '^s surfaces rélléchissantes, «lin cjue les rayons rélléchis sous l'incidence de 54°7 fussent perpendiculaires aux faces d'entrée et de sortie; et f ai proportionné la longueur de ce parallélipipède à son épaisseur, de telle sorte que les rayons entrés par le milieu de la première lace sortissent au milieu de la seconde, précaution utile pour s'assurer aisément qu'ils ont été rélléchis sous rinclinaison calculée* L'expérience m'a fait voir que l'angle de 5A**| satisfaisait à la condilion énoncée, c est-à-dire que, sous cette incidence, deux réflexions dépolarisaient complètement la lumière polarisée dans Tazimut de 65^. Je me suis ensuite proposé d obtenir le même résultat, d'abord par trois réflexions totales, et puis par quatre : pour le premier cas, le calcul donne les incidences de 43° i i' et 69** ta', et dans le second, celles de 4 a'' 20' al "jh^ h^\ J'ai observé, sous les deux premières, l'effet de trois réflexions, et f ai trouvé que la hunière réfléchie sous fincidence de Gif i^\ étant analysée avec un rliomboïde de spath cal* caire, présentait toujours deux images blanches d'égale intensité ^ tandis (|u'elles se coloraient un peu lorsque Fincidcncc était de i3^ 11', comme je devais m'y attendre, à cause de sou voisinage de la limite de la réflexion paitielle. C'est pour cette raison que, dans le second cas, de quatre réflexions successives, je n'ai point essayé fangle de li^^uo\ mais seulement celui de 7^° k^\ qui ini]>riinait à la lumière émergente tous les caractères de la polarisation circulaire. J'ai produit enfin la raème modification par quatie réflexions totales, dont deux à la surface de contact du verre et de Tcau, et les deux autres sur la seconde surface du même parallélipipède de verre non mouillée, en recevant les rayons sous l'incidence de 68" 27', qui m'avait été donnée par Je calcul. Ces vérifications, quoique peu nombreuses, me paraissent, à cause de la variété des circonstances, prouver suflisamment l'exactitude dune formule en faveur de laquelle s'élèvent déjà des probabilités théoriques*

En résumé. Ton voit qu'ori peut maintenant calculer tous les phé-

762 THÉOaiE DE LA LUMIÈRE, — DEUXIÈME SECTION,

N* XXIX (A)/ nomènes qui accompagiient là rélloxion et In i*éfrac*tioii produites [lar hs corps transparftntfi, savoir : i° les iïiteiisit*^ des raytm^ léfi/HliiH et transmis sous toutes les incidences, soit qu'où enqïloie de la lumière directe ou polarisée; *i^ !es déviations du pian de pcdarisaticui, «piatid on emploie celle-ci, et les proportinns de lumière polarisiW* par r*^llexion et par rétraction, f[uand ia lumière incidente n'a reçti aucune |>oiariâatiou préalable; 3° enfin les modifications que la réflexion totale imprime à la lumière polarisée, sous ioiiUîs les inclinaisotis et pour tous les azimuts du plan [)rimitif de polarisation*