COMPLÉMENT

ADRESSÉ Â M. LE SÉCRÉTA IRE DE LA PREMIERE CLASSE DE LUNSTITUT ^"^ LE l5 OCTOBRE l8l5.

1. L'explication que j'ai donnée des franges colorées des ombres et ]a formule que j'en ai déduite sont fondées sur l'hypothèse que les rayons partant du point lumineux, ou du moins une grande partie de ces rayons, vibrent d'accord dans des angles sensibles, et que les cerdes formés dans l'étendue de ces angles, par les points correspondants des ondulations des rayons, ont pour centre le point lumineux.

Cela est évident pour une particule incandescente dont les vibrations produisent les ondulations lumineuses. Lorsque le point lumineux est un corps incandescent assez peu étendu, ou assez éloigné pour qu*il soit vu sous un angle infiniment petit, comme les étoiles <*', par

^^' Pai recommence l'expérience sur j ai parlé à la fin de mon premier Mémoire , fombre d un fil flairé par une étoile, dont et je me suis assuré que dans ce cas, comme

^*^ Ce mémoire était accompagné d'une lettre d'envoi ainsi conçue :

Mathieu [prèsCacn], le lo novembre 181 5.

Monsieur, Je vous prie de soumettre à la première classe de l'Institut le Mémoire ci-joiut, formant le complément de celui que j'ai eu l'honneur de vous adresser le 1 5 octobre. Ce second Mémoire contient la solution des difficultés que je m'étais faites sur la théorie des vibrations qui produisent la lumière. J'y al joint l'explication des images colorées que réfléchissent les surfaces rayées, et de celles qu'on aperçoit en regar- Wlant un objet brillant au travers d'un tissu très-fin.

J'ai l'honneur d'être, avec la plus haute considération, Monsieur,

Votre très-humble et trôs-obëissanl serviteur,

A. FRESNEL

N» IV

\' IV. exemple, ce que je viens de dire pour une particule unique peut s'appliquer à toutes celles dont le point lumineux est composé, et Ton voit que les franges produites par ces différentes particules radieuses devant se trouver sensiblement à la même place, à cause de la petitesse du corps ou de son éloignement, le phénomène doit se passer comme si les rayons partaient du même point.

2. Les expériences au moyen desquelles j'ai découvert la loi de la diffraction ont été faites avec un point lumineux artificiel, formé d'abord par un très-petit trou sur lequel je rassemblais beaucoup de lumière, ensuite par le foyer d'une lentille très-convexe ou d'un globule transparent, et j'ai dit, dans le Mémoire précédent, que je ne pouvais pas encore expliquer d'une manière satisfaisante l'accord et la forme circulaire des ondulations lumineuses partant d'un petit trou ou du foyer d'une lentille. Je crois y être parvenu maintenant.

3. La source de la lumière est toujours un corps incandescent, dont chaque particule est le centre d'ondulations sphériques. Lorsqu'elles passent par un petit trou , une grande partie de la lumière est infléchie par ses bords dans une foule de directions différentes, et

dans les autres, Tobservation couûrmait la thdorie. Le fil de fer dont je me suis servi avait un millimètre de diamètre, et était placïî entre Téloile et la lentille, h 8 mètres du foyer; la distance entre les endroits les plus sombres des deux franges du premier ordi-e devait ôtre par conséquent de ()"',oo707 au foyer de la lentille. J'avais lixé sur le petit cadi*e , que la lentille portait à son foyer, deux fils parallèles , espacés de o"\oo70, distance mesurée de milieu en n)ilieu le plus exactement possible. Ces ûls l'iaient éclaires par ime lampe. Ayant Tccil placé à l'autre foyer de la lentille, je voyais h la fois les deux (ils, et l'ombre du fil de lh\ qui marchait d'occident en orient par IVHct du mouvement diurne. Je tournais la lonlillc un peu à lorient, et j'attendais le

moment où les parties les plus sombres des deux franges passaient den*ière les fils du petit cadre. Il m'a toujours semblé qu'ils les couvraient en même temps, et j'ai répété dix fois cette expérience. Je dis il m'a semblé, parce que la distance à laquelle je me trouvais des (ils, îi cause du peu de convexité de la lentille , et les mouvements involontaires de mon œil m'empochaient de voir bien nettement à la fois les deux fils du petit cadre et l'ombre du fil de fer. Avec une lentille un peu plus convexe , d'un pied ou dix-huit pouces de foyer, on distinguerait mieux les fils , et la lumièi^ de Tëtoile ne serait pas encore assez aflaiblie pour qu'on ne pût voir nettement les deux franges du premier ordre.

forme de nouvelles ondylatioïis spliénques dont les centres sont sur les bords du trou; car les ondulations ont toujours la même longueuis quiîUe que soit la direclion suivant laquelle les rayons aient été infléchis. Quelque pelil que soit le trou, comme îl n'est jamais un point luathéma tique ï les rayons infléchis par ses bords n ont pas exactement les mêmes centjes d ondulation, et l'accord de leurs vibrations ne s'étend pas à une distance indéfinie de Taxe du faisceau lumineux. Mais Tespacc dans lequel elles s'accordent sensiblement est en raison inverse de la largeur du trou, et devient considérable lorsque le trou est suffisamment étroiL Ainsi une grande partie de la lumière, après avoir traversé le petit trou, formera des ondulations sphériques ayant leur centre à ce trou, et cela suffit pour la production des franges,

à. On se demandera maintenant comment ces franges ne sont pas détruites, ou du moins rendues très-confuses, par celles que peuvent produire les rayons directs. Il est aisé de s'assurer que cela ne saurait avoir lieu, lorsque le trou est sufTisamment étroit; car alors fangle sous lequel s'étend chaque faisceau de rayons directs venajit de la même source ne peut être assez grand pour la production des franges que loi*squc le corps éclairant, ou le foyer de la lentille (ce qui revient au même, comme je le fais voir ci-après) est très-près du petit trou; mais alors les centres d ondulation des rayons directs étant presque a la même distance que ceux des rayons in fléchis , les franges que ceuxlà produiseul coïncident h peu près avec les autres et ne peuvent que les renforcer. Maintenant si Ton éloigne le corps éclairant du petit trou, les cônes de rayons directs partant d'un même point devienneni presque des cylindres, à cause de l'extrême petitesse de ce trou, et ne s*étendent plus dans des angles assez grands pour faire naître des franges. L ensemble de ces faisceaux directe peut former un cône d'un angfc considérable, mais les accords et les discordances des rayouî^ lumineux, qui viennent de diR'érentes sources variant à chaque insliint, ils ne peuvent pas produire d'effet constant, et, par conséquent. sensible. Ainsi les rayons directs ne doivent répandre, dans ce cas.

\^ IV

\- IV. qu'une lumière uniforme sur les parties sombres et brillantes des franges colorées produites par les rayons infléchis W.

5. Passons maintenant au cas où le point lumineux est produit par une lentille très-convexe. Je ne considérerai, comme dans le cas précédent, que les ondulations formées par les vibrations d'une des particules du corps éclairant, ce que Ion dit de Tune pouvant sappli- (|uer à toutes les autres. Je supposerai, pour simplifier les calculs, quelle est à une distance infinie, comme celle du soleil, et que le foyer se forme dans le verre, afin de n'avoir qu une réfraction à considérer. On verra facilement qu'on peut appliquer les mêmes raisonnements à des hypothèses plus compliquées.

Soient donc DA et ËB deux rayons lumineux parallèles vibrant d accord : lAB la surface du verre, G son centre, et F le foyer où se réunissent les deux rayons réfractés AF et FB. Je suppose AD perpendiculaire à la surface du verre, en sorte que la réfraction ne change pas sa direction. Par le point A je mène AH peq)endiculairement aux rayons incidents; A et H sont des points correspondants des mômes vibrations. Le rayon EB a encore HB à parcourir dans l'air, lorsque le rayon DA est déjà entré dans le verre; or l'équivalent de HB dans le verre , c'est la môme longueur divisée par le rapport entre le sinus d'incidence et celui de réfraction dans le passage de la lumière de l'air dans le verre. Je représente par p ce rapport, par r le rayon du cercle lAB, et par i l'angle d'incidence EBG. Ayant calculé AF, BF et HB, en ajoutant BF à l'équivalent de HB dans le verre et retranchant cette somme de AF, je trouve :

rli P-^ j-v/r^M

\ vy-smV-v/i-sinV P I

6. Cette expression donne la différence entre les vibrations des

^•^ Voir au N" V(C) la reclificalion de ce paragraphe.

rayons à leur point de concours F. En ia réduisant en série, et nt''{»ligeant tous les lerinea au delà de la quatrième puissance de sîn i, on

frnnve

H est facile de voir par celte formule rjtie la différence entre les vibrations des deux rayons au point F n est encore qu une petite partie de la longueur d*une ondulation , lorsque r et i ont déjà des valeurs assez considérables. Si r, par exemple, était égal h un centimètre, pour que la discordance fût complète, c est-à-dire, pour que les deux rayons différassent d'une demi-ondulation au point F, il faudrait que i fftt de dix degrés environ, et J'angle d'incidence étant de S'' 3 6^, les rayons réfractés ne différeraient au point F que du dixième d'une demi-ondulation. On voit donc que, lorsqu'une lentille est suftisamment convexe, les rayons qu'elle a réunis à son foyer doivent vibrer d'accord sous des angles très-sensibles. 7, L*expfication que j'ai donnée de la loi de la réflexion, dans mon premier Mémoire, par les ondulations de la lumière et Finduence des rayons les uns sur les autres, n'est applicable qu'au cas où îa surface réfléchissante est continue et paifaitenicnt polie, parce qu'alors, dans ton te antre direction que celle qui fait un angle égal à celui d'incidence, les rayons réfléchis sont nécessairement détruits, on du moins rendus insensiblef^ par d'autres rayons dont les vibrations diffèrent d'une demi-ondulation- 11 n en est pas de méuie quand la surface est discontinue, quand elle est rayée, par exemple ; alors on peut considérer à par( les rayons lumineux qui partent des raies, parce que les points qui les réfléchissent ne sont plus dans le même plan que le reste de la surface. Soient A et B'^^ les points où le plan d'incidence rencontre deux

raies très-voisines faites dans une surface polie. Ils réfléchiront les rayons incidents FA et GB dans une infinité de directions difl'ércntes*^^ Soient AD et BE deux de ces rayons réfléchis qui arrivent à iœil, et qui sont ainsi

Pig.:!.

i*' hm poinU A et B sont supposés pris dans efaaqtie raie h h même dîstunce de la

surface polie . de manière cjue AB lui s^i t loii* joiire parnilèle. — ^'^ Ces raies ne sont pas

^'^ IV

.\'' IV. sensiblement parallèles. Je mène AH et BG perpendiculairement aux rayons incidents et aux rayons réfléchis. Les rayons incidents vibrant d'accord, A et H sont des points correspondants des mêmes vibrations. Maintenant, pour que les rayons réfléchis vibrent d accord aussi , il n est pas nécessaire que AG soit égal à HB, mais seulement que leur difl'ércnce soit un nombre entier d'ondulations.

Représentant par d la longueur d'une ondulation de la lumière dans l'air, par a la distance AB entre les deux raies, par i l'angle d'incidence GBL, et par r l'angle de réflexion LBE, il faudra donc, pour que les vibrations des rayons réfléchis soient en harmonie, qu'on ait l'équation ,

asini — asinr=znd

(n éUnt un nombre entier.) D'où l'on tire,

smr=:sm i — a

8. La longueur d'ondulation d variant avec la nature des rayons lumineux, l'angle de réflexion sera diflercnt pour les rayons de différentes couleurs. L'angle de réflexion des rayons violets, dont les ondulations sont les plus courtes, sera celui qui difl^érera le moins de l'angle d'incidence. L'angle de réflexion des rayons rouges, au contraire, sera celui qui en difl^érera le plus. On voit donc que, si Ion grave sur une surface polie des raies parallèles à égales distances lès unes des autres, afin que a soit constant, elle devra réfléchir, avec l'image ordinaire de l'objet lumineux, une autre image colorée, et même plusieurs, si la surface rayée a une étendue suffisante. Les couleurs seront rangées dans le même ordre que dans le spectre solaire ou les anneaux colorés ; le violet sera le plus rapproché de l'image incolore, et le rouge le plus éloigné.

9. On peut supposer à n toutes les valeurs que donne la suite desnombres naturels, i, 2,3, i, 5, etc. et à chacune de ces valeurs do*

ries lignes mathématiques; mais les plans qiii peuvent rëflécliir des rayons sensibles sui— coTnposent leurs surfaces sont si étroits qu'ils vaut une inHuité de directions différentes.

n répond une image diflFérente. Mais pour que ces images colorées ne N** IV.

se confondent pas entre elles et avec l'image incolore, il faut que les

valeurs de sin r, qui répondent à7i = i,/i=:2,n = 3, etc. diffèrent

seosiblement, ce qui ne peut avoir lieu que lorsque a est très-petit,

ou les raies très-rapprochées, comme il est facile de le voir par la seule

inspection de la formule sinr=:sîni — ^. Plus a sera petit, plus les

images seront fortement colorées, et plus elles s'éloigneront les unes

des autres et de Timage incolore, parce que les variations dans les

valeijrs de ci et de n en produiront de plus sensibles dans celles

de sinr.

Si l'on représente par (T la longueur des ondulations rouges, et par ^"^ celle des ondulations violettes, on aura pour les rayons rouges,

sinr'z

= sinjf-

X>our

les rayons

violets.

sinr' =

= sin i -

Ca l'on

tire.

slnr"-sinr' = ^^(j'-(/")

HTanlque n n'est pas assez grand, ou que les raies ne sont pas assez * ^r^joi'ochées, pour que - [et — (T) cesse d'être une petite fraction, la ^ **-* ^rence entre les angles r et r' est à peu près égale à la différence ^^^^'Mre leurs sinus multipliée par le cosinus d'un angle moyen. Repré- ^^'^ %ant par r cet angle moyen de réflexion, on aura donc,

r"^r' = l[d'-d")cosr

^ ^^i on le suppose constant, r" --r sera en raison inverse de a; cest-

^^^ ire que la dispersion des couleurs sera en raison inverse de l'inter-

^j'^îe entre les raies. Si l'on suppose, au contraire, que ce soit l'angle

^ "^ icidence qui reste constant, la même loi n'est plus sensiblement exacte