II

i,ftû

o,6at9

û,oo

1 j,3fi

0,54 so

o,366ii

if8û

i,yo

o,5oo3

5,ûo

t^ia

5,to

o,5ooo

^W jdvcos^v^ et Jdusin^yu", jjrises depuis zéro jusqu^à rinfini son!

i égales lune et 1 autre à ^, Ainsi, pour avoir à l'aide de cette tabk

^^^ '*^ H peut sembler, d'après le teïte ilu Mémoire et d après les indîeations de h premièrf

320 THÉORIE DE LA LDMIÈR£. — PRfiMIÈRB BSCttON.

N^ XIV. l'intensité de lumière qui répond à une position donnée du point P, uii, Cij qui revient au même, à une valeur ilétemiiiiée de v considéré cDiiime une des limites de Tintégration poussée de Tautre part jusqu'à infini, il faut chercher dans la table les valeurs de fdv cosqv^

el fdvBinqv^ qui répondent à cette valeur de u, les augmenter de * Tune et l'autre, et faire la somme de leurs carrés,

59. La seule inspection de cette table indique des variations périodiques d'intensité dans la lumière, à mesure qu'on s'éloigne du bord de Pombre géométrique. Pour avoir les valeurs de v qui répondent aux mnxnna et miwiîna, c'est-à-dire aux points le^ plus éclairés et les plus sombref* des bandes obscures et brillantes, j ai d'abord cherché dans ta table les nombres qui en approchaient le plus, en calculant Ifâ* intensités de lumière correspondantes; ensuite, au moyen de ces .données et à l'aide d'une formule approximative très-sirapie, j*ai déterminé avec une exactitude suffisante les valeurs de v qui répondent aux maxima et mmima. , ,

(*n1ofine fin <jil>ïi-nu. que la deuxième et la Lroîsièine co)onu€ du tabfeini contienuent \m v«^ leurs des intégrales

I dv ces -V* et I dv sin - r' jo ^ jo ^

pour le système suivant de valeurs de v

Mais il suffit de calculer, à Taide des formules d'approximation de Fresnel , la différence d'un couple quelconque de valeurs consécutives de Tune ou de l'autre des int^ales, pour reconnaître qu'il n'en est pas ainsi , et que les valeurs successives de la variable v indiquées dans la première colonne sont réellement

La même remarque s'applique à tous les tableaux suivants. [E. Verdet.]

MÉMOIRE COURONNÉ SUR LA DIFFRACTfON. 3?I

Si Ion représente par i la valeur approchée de v que donne immédiatement la table, par I et Y celJes de - + fdv ces (fv^ et - + fdv sin qv^ qui lui correspondent, et par f, enfin, le petit arc qui! faut ajouter à V pour atteindre le maximum ou le minimmn de lumière, en négligeant dans le calcul le carré de ^ on trouve, pour la formule qui donne la valeur de ( répondant au tnasimum ou au minimum :

j * r / a ^ \»\1 2qil-&mqi*

Bm\q(i+2ît)\= , ., . „ . 1,-^ -...,

N" XIV

^** Je crois devoir placer ici le calcul qm m*(i conduit à cette foi-raide , pour faire voir que les mexactitudes qu'elle comporte sont aussi petites qae celles de h table.

pur iDti%rer fdv cos qv^ depuis v = i jusqu'à v^i-ht, je fais t» = i n- a , et j'ai . fdv cos qv' (^lZ]^.i) =Sd^ ^s q (i* + liia 4- 1*') (^^'J).

Or. i étant le nombre de la table le plus voisin de Tare cherché i + t^t mi plus petit que la moitié de l'intervalle qui sépare deux nombres consécutifs , el Ton peut par conséquent négliger son cairé dans Tîntégration sons commetLi*e d'erreur plus gi-ande que caUes de la table. Ainsi, puisque riolégrale dont il s'agit doit être pnse seuletnenl depuis u = o jusqu'à u = t, on peut négliger a^ dans la parenthèse, et elle deyient

fdaiimq[i*-h2m

qui est égale à on a donc ,

~',lsmq{i'-hikit]-smqe]^

fdv cos qv' (J j ^"7) ^ ' "^ ï^ f *^" ^ (*•+ îfO " sin qi^]. On trouve de même,

fdv sic 9^* [IZ 7-m) "" ^ "^ i^ [^ ^^ ■? ! ^^ "^ ^''ï"^ ^^ 'Sfï^l^ par conséquent, Texpreasion de Tintenflibé de la lumière au point que Ion coosidère ^t

fl-h- — .(sin q{i^-h2it)— sin çi*)]*-i- [Y h .{ — cos q{i* -^ 2it) -h cos q^]]**

Pour Irouyer la valeur de t qui répond au ma^emum oa au minimum de cette expression . il faut égaler à zéro son coeflTjcient différentiel pris par rapport à f ; ce qui donne 1 équîition de condition,

^of i***^ ? i'^"^ aff)^ sin <?/*)] cos q ti"'-ha(i)H-[Y-h— . (-cosg(i**-haii) + co»ç*^)]»in ç(i"*-^ aïO-

333 THÉOfilS DE IiA LUMlàHE. ^ PBEMiilUS Sit«tU)N.

N* XIV. En substituant dam cette formule les nombres tirés de la tab|e%^ on obtient les résultats suivants : . ,i

D£a «411114 IT Jf fiVIIti FOin LKë riUIVGVS lîTÉEilEtiftBfi,

iMM •«* i i •'/

Maiimam du j '' ordre* .-,**,*

\f iiiimum du i *' ordre *... ...h.*. ,»>.*. *..«.^é«

M^iimum du a' ordre ^ .««,,*., ^ •>••••*, «^ •, « »

Mbtoium du 9* ordnt

Mitimuin du V ordre,

Mimmum du 3* ordre. , , * ..«•.,,*,«,,«•

Maitimum du h* nrdre. ^ , ^ ..... . V « , -

Minimum du h* ordre* *•..,.**.*.*<*. « '< **«.... Maximum du 5* ordre, ***»<*«.**»*«•<-<<** é * .

Minimum du 5* ordre. *..,.,..

Mftïimuni du 6* ordre • **./.•..

^iuiinum du 6* ordre. ......>,,««.,,•«•»,. i ., ,

Maiimum du 7' ordre, , ,

MimiDum du 7* ordre. ,,.,..,*.,,*,,,.,.,.,..,

làiMm

iHTmttTto

éiV,

i*ai73

S.pSao

»,Sois

3,3çii3

1,7 Ho

a.flSia

li^ii6o

, l,8Qt&

aitgSS

«Jf85

B,o5qû

Il est à remarquer qu'aucun minimum n'est égal à zéro, comme dans les anneaux colorés, ou dans les franges produites par le concours

Ëiïectuant les multiplications et réduisant, elle devient

o = cos g ( t * -h ai7 ) (I : sin 01 * ) -h sin o ( 1 * -+- 2i< ) ( Y -h. — : cos qi^).

Si Ion représente, pour abréger, sin 7 (1* -h 2it) par x, cos </ (t'-H 2/7) sera

y/ 1 —x^ : substituant et faisant disparaître les radicaux , on trouve

.r' (Yh ^^cos o/'

don Ton tire

x, ou sin q (i* -h 2it) =

I H ; sin 01*)* ;

2qi 1 — sin qi*

V/(27i I — sin 7«*)* -+- (291 Y -h cos 91*}*

ïe deux faisceaux lumineux d'égale intensité^ et que la différence entre N* XIY, les iimmina et les mininm diminue à mesure qu on s éloigne de la tangente au bord du corps opaque; ce qui explique très^bien pourquoi les franges qui bordent les ombres sont beaucoup moins vives et moins nombreuses que les anneaux coiorés, ou celles qu'on obtient par la réflexion d'un point lumineux sur deux miroirs légèrement inclinés entre eux.

60. Pour calculer la largeur des franges extérieures à l'aide de ces nombres, il faut se rappeler que nous avons substitué les intégrales fdvœsqv^ et jdvsinqv^ aux intégrales du problème

jdzcoB[2q~^^) et jdzsm{2<,^^^^^). en faisant

à'o{\ l'on tire par conséquent,

ainsi,

rj • f z*{a+h)\ I abX ri • s

^i"» ^f ^ 1, étant im facteur constant, il en résulte que les deux «piantités

et [fdv cos qv^f'l-{fdv sin qv^f

atteindront en même temps leur maximum ou leur minimum; et, si fou

AU T E DE LA LUMIÈRE, — PREMIÈRE SECTiln..

Pf* XIV. représeîite ] n h valeur de v qui répond à an ffwmmifm ou à un minimumt la valeur correspondante de z sera don née par réquation

On en déduit ensuite la largeurs de la frange par la proportion

a : 2 u a + biXt d où Ion tirea?— -— ^— , ou » substituant à la place de 2 sa valeur.

Il ent h remarquer que le radical est prtîcisénieut la dbtauce entt^ le bord de lombre géométrique et ïe point qui répond à une différence d'un quart d ondulation entre le rayon direct et le rayon parti du bord du corps opaque. Ce résultat était facile à prévoir, car c'etst précisément la valeur correspondante de u qui a été prise pour unité dans* la table des valeurs numériques des intégrales /(/u cos qv^ et Jdu sio qv\

Si l'on substitue dans la formule

^^^ Eu élevant eette formuie au carré on obtient

ax* — n* - b* — an* - h=^ O,

f5quatî(>ii t{ui ^ si Ton regarde j: et 6 comme des coordonna variables, représente uoe hyperbole avant pour xommetx et non pour ff^tf en le point liimineux et le bord du corits opaque. Celle eondnsion parait contraire h tiiic assertion du rapport d'Arago; mois ia contradiction eut facile h lever, et il est rigoureusement vrai que le point lumineux et le bord du corps opaque sont les foyers des hyperboles suivant lesquelles se propagent les diverses franges. En effet, ce (|ui détermine la production d'un maximum ou d un minimum en un point donne de4*espace extérieur h Tombre géométrique, c*est qu'en ce point la limite unie des int^rales

fdv cos qv * et fdv sin r/v ' H une valeur déterminée. Mais la variable v ne dépend en définitive que de la différence ent les chemins parcourus par le rayon direct et par le rayon qui a suivi la ligne brisée dont sommet est sur le bord du corps opaque. Les diverses positions d'une même frange rép dent donc à une valeur constante de cette différence et se trouvent par conséquent sur ï perbole dont il est question dans le rapport d'Arago. La formule du texte / en appar contraire à cette conclusion , s'obtient en négligeant des quantités que l'observation ne '•nnrécier en aucune manière. [E. Verdet.]

à la place de ji, la valeur qui correspond au minimum du premier ordre, cest'à-dire au point le plus sombre de la bande obscure du premier ordre , on a

b)hX

61. En partant de Thypothèse que les franges sont produites par ie concours des rayons directs et des rayons réfléchis sur le bord du corps opaque, et en supposant en outre que les rayons réfléchis éprouvent un retard d'une demi-ondulation, nous avons trouvé pour la même bande,

a ( a H- 6 ) bX

{o+tlU,

ainsi ces deux valeurs sont entre elles comme 2 à i373. Le second résultat est sensiblement plus petit que le premier^ puisqu'il y a près d'un quinzième de différence, et Ton peut en conséquence, par des observations très- précises, décider laquelle des deux théories s accorde h mieux avec rexpérience, en se servant d'une lumière homogène dont !a longueur d'ondulation soit bien connue.

62. La méthode qui m'avait d'abord paru la plus commode pour déterminer la longueur des ondes était de mesurer la largeur des franges produites par deux miroirs légèrement inclinés Tun sur fautre, en mesurant en même lemps la distance entre les deux images du point lumineux; mais, les moindres courbures dans les miroirs pouvant altérer l'exactitude des résultats, j ai préféré me servir des franges produites par une ouverture étroite combinée avec le verre à surface cylindrique dont j'ai déjà parlé. Nous avons vu qu'alors Tinter valle entre les milieux de deux bandes obscures consécutives quelconques, à droite ou à gauche du centre de iouverture, est égal à ~r, X représentant toujoui*s la longueur d'ondulation, et c et A la largeur de l'ouverture et sa distance au micromètre; tandis que la distance entre les points les plus sombres des deux bandes du premier ordre est précisément le double de cet intervalle. Avec ces données il est aisé de déduire la valeur de X de la mesure des franges.

N^ XIV

326 THËOftIE DE LA LUMIERE. — PREMIERE SECTION.

Le tableau cinlessous présente les résaltats de cinq observations de ce genre, et les longueurs d oudes qui s en déduisent. J'y ai introduit les différentes valeurs de a, ou de la distance du point lumineux au diaphragme j quoiqu'elles soient inutiles pour le calcul, afin de présenter toutes les circonstances de l'expérience. Ces mesures ont été prises dans une lumière rouge sensiblement homogène, obtenue au moyen du verre coloré dont j'ai déjà parié , et dont je me suis servi dans ioutes mes observations, afin qu'elles fussent parfaitement comparables» Chacune de ces mesures a été prise au moins quatre fois, et ce sont les moyennes que j'ai portées dans ce iableau.

do on va!^ UT$

micwomètre ou vtteiLff

nowDnE?

au inlerfilJes

mmpm dan* ehQqa«

«OVËHHEi

LOnçlELRîi

d^ondap

1 M^ 1, So^i

1 ,0os

s ,o46 a ,oû6

3 ,oo

a ,075 1 ,aaa

o"",ooo63çi 0 ,000637 0 ,0006^0 0 ,000635 0 ,000639

Somme des tlaa rviiiillab.

0 ,oo3 1 go 0 .ooo638

Gin

qoiéme de fa sotn

me , ou moyenne ,

On voit que ces résultats s accordent assez bien entre eux, puisque les moins concordants ne diffèrent pas d'un centième. Leur moyenne o"*'"*,© 006 38 est fa longueur d onde que j'ai adoptée, et dont je me suis servi dans tous mes calculs pour comparer la théorie à lexpérience ^^K

^'^ D'âpre les ohservatîoDs de Newtoasiir les anneaux colorés, la longueur d'ondulation défi rayona rouges extrêmes est o'^'^'^oooCiS ; celle des rayons à h séparation du rouge et

de rorange, o'"",ooo5g6; et par conséquenl celle des rayons rongea moyens t o"",ooo6ao ï ainsi la longtieur o**,ooo638 répondrait h nn point du «pectrt toiaire un

63. ^'^ Avant d'employer cette valeur de X dans le calcul des fianges N* XIV, extérieures et intérieures des ombres des corps, j*ai voulu encore in vérifier sur les franges produites par deux miroirs formant entre eux un angle très-obtus. G est le cas le plus simple des interférences, puisqu on n a à considérer que deux systèmes d ondes qui ont leurs centres aux deux images du point lumineux ^^l On peut appliquer à ce phénomène la formule -^ donnant l'intervalle compris entre deux minima eonséeutife, que nous avons trouvée pour les franges intérieures de lombre d'un corps étroit, dans lliypothèse où toute la lumière infléchie partait des bords mêmes de l'écran, dont c représentait la largeur. Dans ie phénomène d'interférences produit par deux miroii^s, c représente la distance entre les deux images du point lumineux.

peu pius voisin de Texli'iïoiiLé que du iiiilieu du rouge , si toutefoiB les r^^ultats de Newton ne soat pas un peu faibles .

Dciijs les preroièrea expériences de diffractîoa que j*ai faites avec une lumière homogène, et qui ont été publiées dans les Annales de chimie et de physique , je n'avais pas employé le même verre rouge qne pour *îelles-ci ; mais je pense que la tumière qinl donne doit différer Irès-peu de celle du veiTe ronge dont je me suis servi en dernier heu. Si l'on emploie la longueur d ondulation » ^^,oooË38 pour ca tenter les obsen^ations ife mon premier Mémoire , on trouvera cependant des diiïërences assez notables entre Teipëpience et la théorie, comme M. Babinet nie Ta faii remarquer. Mais elles tiennent à rineiaclitude de mes premières observations, qui avaient été faites dans la chambre obscure de TÉcole polytechnique, dont îe pkancber, quoique solide, n'avait pas toute

la stabilité nécessaire, comme je m'en suis aperçu depm*s, en remai'quant que te fit du micromètriî changeait un peu de position quand ou portait le poids du corps à gauche ou à droite du pied de T instrument. Les nouvelles observations dont je présente ici les résultais méritent beaucoup phis de confiance, parce que le pied du micromètre reposait sur une voûte ^ et que j'avaii» acqnis plus d expérience en généi^ sur toutes les jirécautions qu'il est nécessaire de prendrp pour obtenir des mesures exactes '^^

^^^ Si Ton subdivisait chacune des 4en% ondes incidentes en petites ondes élémentaires , comme nous la vous fait pour les autres phénomène de diiïraction^ il est clair qu'on arriverait ati même résultat, puisque les intégrales de ces deux systèmes d'ondes élémentaires fictives sont précisément les deux ondes réelles réfléchies par les miroirs.

^'* Les paragraphes 5B et 64 ont été suppiimés dans TExtrait de ce Mémoire, inséré an tome \I des Annales de chimie et de physique (cahîei^ de juillet et aoâl iSig).

^^I U wcomie partie de txitt^ mtH n été ajoutée à rimprewion.

N" XTV. Je ne rapporterai que deux expériences de ce genre, les seules dans

lesquelles je n'aie oublié aucune des pr<5cautions nécessaires pour éviter les erreurs. N'ayant pas pu me procurer des miroirs métalliques assez exactement plans, je me suis servi de deux glaces non élâinées, travaillées avec une grande perfection, que j'ai fait enduire d'un vernis noir par derrière pour éteindre ia seconde réflexion. Je les ai fixées Tune à côté de lautre sur un support avec de la cire molle, en ne les pressant que très- légèrement pour éviter les flexions* Un inconvénient qui résulte de cette manière de les fixer, cest qu il arrive souvent qu'elles changent un peu de position pendant rexpérieuce, et les moindres variations rendent Fopé ration fausse. Pour éviter les erreurs de ce genre, j ai eu soiu de mesurer les franges avant et après la mesure de l'intervalle compris entre les deux images du point lumineux, afin de m*assurer qu elles n'avaient point changé de largeur pendant cette opération. J'ai déterminé l'intervalle compris entre les deux images du point lumineux, au moyen d'un écran placé à une certaine distance du micromètre, et percé d'un petit trou circulaire qui avait cependant assez de largeur pour que le centre de son ombre, au lieu d'être clair et dilaté, comme cela a lieu quand on se sert d'une ouverture trèsétroite, fût occupé par un cercle obscur d'une très-petite étendue; ce qui rend les mesures plus précises. Cet écran était assez éloigné des deu\ miroirs pour que les bords du trou fussent snflisamment distants des limites de la partie commune des deux champs lumineux, de façon qu'elles n'eussent pas d'influence sensible sur les franges centrales du petit trou. Je mesurais la distance entre les centres des deux projections lumineuses du petit trou, qui étaient disposées d'une manière symétrique relativement aux franges produites par les deux miroirs, et se trouvaient h la hauteur du micromètre j en sorte que je n'étais point obligé de changer sa position ^ condition indispensable, parce qu'd n'arrive presque jamais que ces franges aient exactement la même largeur dans toute leur étendue. Connaissant d'adlenrs la distance du petit trou au micromètre et aux deux image» du point lumineux, je pouvais > par une simple proportion, déterminer

rintervalle compris entre ces deux images. Voici les résultats de mes N° XIV.

observations : chaque mesure micrométrique a été prise au moins quatre fois.