AM
flxTP
Substituant cette valeur dans l'équation précédente, on en tire
3fî
TP
Cette formule est absolument semblable à celle que nous avons trouvée, en supposant que les franges extérieures sont produites par le concours des rayons directs et des rayons réfléchis sur le bord de l'écran. On voit qud résulte de la nouvelle théorie, comme de la première hypolbise, que les valeurs de TP correspondantes aux différentes valeurs de b ne leur sont pas proportionnelles, mais sont les ordonnées d'une hyperbole dont celles^i seraient les abscisses.
50. Je viens d'exposer les rapports généraux qui existent entre les largeurs d'une même frange, lorsqu*on doimc au corps opaque des positions diverses par rapport au point lumineux ou au micromètre- Nous avons vu que ces lois pouvaient se déduire de la théorie, indépendamment de la connaissance de fintégrale qui doit représenter dans chaque point la résultante de toutes les vibrations élémentaires; maïs* pour trouver la largeur absolue de ces franges, il est indispensable de calculer cette résultante; car on ne peut déterminer la position des mamma et mininm d'intensité de lumière que par la comparaison de ses ditlércntes valeurs, ou du moins par la connaissance de la fonction qui la représente. Pour y parvenir nous allons appliquer au principe de lluyghens la méthode que nous avons indiquée pour calculer la résultante d'un nombre quelconque de systèmes dondes lumineuses, dont les intensités et les positions relatives sont données.
APPLfC4TI0f«i Di; LA TnéoRIË D8S INTBflFéheïVCKS kt PBII!΀IPE DB ltUT(ÏBEK$.
N^ XIV
57. Soit (j un point liiniineux dont les ondes se trouvent interceptées en partie par le corps opaque AG, Je suppose d'abord que cet écran soit assez étendu poiu- que la lumière qui vient du côté G soit sensiblement nulle; en sorte que Ion n'ait à considéier que la partie de Tonde située à gauche du point A, DB représente le plan sur lequel on reçoit l'ombre et les franges dont elle est bordée; il s'agit de trouver Te X pression de Tintensilé de la lumière dans un point quelconf[ue F de ce plan.
Si du point G comme centre, et d'un ravon égal à CA, on décrit Tare de cercle AMI, il représentera Tonde lumineuse au moment où elle ^e trouve interceptée en partie par le corps opaque. C'est dans cette position que je la considère pour calculer la résultante des vibrations élémentaires envoyées en P* Si Ton partait d'une position antérieure A'M'T, il faudrait déterminer Teffet produit par rinterposilion du corps AG sui chacune des ondes élémentaires émanées de l'arc A'M T, et si Ton considérait Tonde dans une situation postérieure A'MM', il faudrait d'abord déterminer les intensités relatives de ses différents points, dont fégaiité aurait déjà été altérée par l'interposition de Técran , ce qui rendrait les calculs beaucoup plus compliqués et peut-être impraticables. En prenant Tonde, an contraire, au moment où elfe arrive en A, les éléments du calcul sont très-simples, parce que toutes ses parties ont encore la même intensité, et qu'en outre les ondes élémentaires qui en émanent ne peuvent plus éprouver d'altération de la part du corps opaque. (]uei(jue nombreuses que soient les subdivisions que Ton peut encore imaginer dans ces ondes élémentaires, il est clair qu'elles seront alors les mêmes pour chacune, puisciu elles se propagent librement dans toutes tes directions. Il suflit donc déconsidérer les axes de I. ho
j\ XIV. ces faisteaux de rayons brisés, c'est-à-dire les lignes droites menées en P des divers poinU de l'onde AMI, et les différences de longueurs de ces rayons directs donneront les différences des chemins parcourus par les résultantes élémentaires cjui concourent au point P^^l
Cela posé, pour calculer leur résultante toUile, je les rapporte à
^** Par des raisannements semblables on pmA démontrer maihémaiiqntmmii . sans ef* fcctuer les calculs, que le r^ultat doit toujours Atre le nièuie , soit que l*on considère Tonde génératrice h Tinstant où elle atteint le bord de T écran , soit qu'on l'envisage tians une position un té Heure ou postérieure, en ayatit é^nvd . dans le premier cas , aux modîfieâtions que les ondes élémentaires éprouvent de la part de l'écran, et, dans le second , h celles c|ue lotide génératrice a déjà éprouvées. En y i-é fléchissant un peu , on reconnaitia que ces diverses manières de calculer la résultante ne diiïèrenl que par la manière de grouper les vibrations ëlémenlaires dans lesquelles on divise Tébranlement primitif, el qu on doit toujours arriver à ta même valeur de Tintensilé de la lumière au point P, s'il résulte de cette tiiéorie. comme de toutes les auti^s, que la vitesse d'oscillation des molécules du fluide est en raison inverse de la distance au centre d'ébranlement. Or c'est ce que nous pouvons déjà vériiier sans connaître l'expressioii de Hntégralft qui représente cette vitesse.
Prenons pour unité de distance celle du point lumineux h Tonde génértitrice dans une première position , et pour unité d'intensité d'oscillation celle de l'onde dans b même position. Considérons maînlenant un point situé au delà, à une distance jt du point lumineux, et par conséquent à une distance J- — 1 de l'onde génératrice , et un autre à une distance x* du point lumineux « et par conséquent h une distance ^' — i de fonde
génératrice, et cberchons successivement la résultante de toutes les vibrations élémentaires envoyées dans ces deux points par Tonde génératrice. Nous ne savons pas quelle est leur intensité pour un élément dz dy d^' cette onde ; mais nous savons que leur vitesse d'oscillation doit diminuer comme la distance augmente . et que, si elle est ^,
par exemple, dans le pramier points elle sera -i dans le second. Cela posé , pour comparer plus aisénent les deux réâultante^. cjoncevoQs successivement, dans les deux cas. Tonde génératrice divisée en éléments qui répondent pour les deux points à de$ différences égales entre les chemins (larcomiis : alors leurs degrés daccortl ou de iliscordance seront tes ménieis. Dans te» |>etite^ obliquités oiî ces rayons peuvent pmduire des effets sensibles la difl^érence de longueur de chacun d eux avec le rayon normal est projKirlJoiinelle au caiTé de l'intervalle entre les points dont îls émanent : ainsi les él^ ments correspondants des deux divisions seront proportionnels entre eux. On trouve, par un calcul géonïétrique fort simple, qur^ les dimensions des éléments de la division relative au premier point sont aux dimân^ siona des éléments relatifs au second . cfimmf fx— 1 h' — I
Les surfaces ries éléments correspondants seront donc entre elles comme .r — I ^' — I
MKMOIBE COURONNÉ SUR LA DIFFRACTION. Si5
Fonde émanée du point M situé sur la droite GP, et à une autre onde dislaiite de celle-ci d'un quart d'ondulation, d'après le procédé que j'ai indiqué, en donnant la solution du problème des interférences» Je représente par dz une quelconque des petites parties nn de Tonde primitive, et par z sa distance au point M, ne considérant que la section de Tonde dans le plan perpendiculaire au buid de l'écran; ce qui 8ulKt pour déterminer la position et les intensités rektives des bandes obscures et brillantes, ainsi que je Tai démontré. L'intervalle nS compris entre Tonde AMI et l'arc tangent EMF, décrit do point P comme centre, sera égal à -^"^-- , a et b exprimant toujours les distances CA et AB. Si Ton représente par X la longueur d une ondulation, on aura, pour la composante de Tonde que 1 on considère, rapportée à Tonde émanée du point M,
et pour Tautre composante, rapportée à une onde distante d'un quart d'ondulation de la première»
En faisant la somme des composantes semblables de toutes les autres ondes élémentaires, on a donc
fdz cos (tt'^^^^) et fdz sin {^"^^^) ;
N" \IV
et par coQsëqueDt tes deux r^ultanles seraient dans le même rapport si les rayoïis aval eût aae io tend té égale dans les deux cas; mab nooa venons de remarquer que la vitesse d'osciUatïon des rayons envoyés dnm le prenuer point est à celle des rayons envoyés dans le iecond , comme
ainsi ta première résultante sera à la seconde comme
ar— i
œ ou comme
c'est-à-dire en raison inversa des dislance» de ces deux pointa au point lumineux. C. Q. F. D,K
^^ Hôte ajoutée A la rédaction primitive.
3l(î THEORIE DE LA LUMIERE. — PRRM1EHR SECTION.
N** XIV. et par con?*<'*queril la résultante {jihiérale de tous ces petits Diouvemenls, ou rintetisilé des vibrations lumineuses au point P, est égale à
(JuauL a rîntciisité delà sensation, comme elle doit être proportionnel^^ an carré des vitesses qui animent les molécules du fluide, son exprès^ sion sera
C'est ce que j'appelleraî Yintefiniéd^ la lumière, pour me conformer Tacception la plus ordinaire de ce mot, réservant l'expression inimsité des mbratumn pour désigner le degré de vitesse des molécules étliérées dans leurs oscillations.
58, Dans le cas que nous considérons, où le corps AG est asse^ étendu pour qu'on puisse négliger la lumière qui vient du côté G, les intégrales doivent être prises depuis A jusqu'à Tinfini du côté I, Elles se divisent naturellement en deux parties. Tune comprise entre A et M, et l'autre entic M et l'infini- Celle-ci reste constante, t^indis que la première varie avec la position du point P; ce sont ces variations qui déterminent la largeur et les intensités relatives des bandes obscures et brillantes.
L*analyse donne rexpression finie des intégrales
jdz cas [n-^^^^) et Jdzsm[ir^^).
prises depuis z = o jusqu'à 2== oo; mais on ne peut avoir leur valeur entre d*autres limites que par le moyen des séries on des intégrations partielles. C'est par ce dernier [U'océdé, qui m'a paru le pins commode, que j'ai calculé la table suivante, en rapprochant asse^ les limites de chaque intégrale partielle pour pouvoir négliger le carré de la moitié de lare qu'elles comprennent***. Cet arc est ici d\m dixième de quadrans; ce qui donne dans les résultats une exactitude plus grande que
**^ * et i H- ? ^lanl les limiles très*rapprocIn?es entre lesqiieUes il faut intégrer rfi'ccwfi'
à laquelle peuvent atteindre les observations. J'ai substitué, pour
lus de simplicité, au\ intégrales ci-dessus, Jdveosqv^ et jdvsmqv*,
et f/i) 510^13', on trouve» jiour les formules approximatives qui doiment ees int^gi*ales. en négligeant le carfë de f f ,
;d« sin ,.' =-- .' ,. [- cos <, (, + ^) ((■+ 3 i) + cos , (i + [) (i - i-)] .
iîe sOnL ces formules que j'ai eaiployées dons le calcul de la table ^*K
^■' Le Mémoire imprimé au tome V du Recueil de rAcadémie des sciences et rentrait piibljé I' dans les Annales de cbîuno et de physique doiuient l'un et fauti'e, au lieu des formules qu'on vient de lire , les formules
âml ii est facile de i*eeoanaître riue:^actilude, sott en essayant de les employer au calcul des
I nombres de la table de Fi'esnel , soit en remarquant qu en y faisant i ^ i% t ^dv elles ne ^ 7 réduisent pm h ftv cos qv* et dv siîi tfv^ . mais è ^dv cos qv^ et arfi' sîn qv*. La même en^eur se i^etrouve dans le roanuscrit de la main de Fulgenee Fi-esnel , dé|>ose im ' secr^lanat de iinstitut , el même dans le manusciit entièrement autographe qui a servi â Tiiii- H pt^essiou de l'extrait inséré aux Annales. Mais un bmuillon de calcul . conservé dans les pa- ' pîers de Fauteur, donne en même temp les véritables formules et leur démonstration. Nous le reproduisons textuellement :
d'ma^v — p — a.du^dv; [ ^ ' ~ ^ );
fdv cos qv* :=fdu cmq[u*-h2{û-hp)u-h{a-hpy]\ les valeur§ de a étant comprises entre — p et H- p . lorsque p ett sulBsamntent petit . égal h
— par exemple, on peut négli^jer son carré n* et Ton a
N" XIV
^qïôTp)
[sin7(« + p)[a-h3p) — sin^(a + p)(a"pl|.
t38 THÉORIE DS LA LUMIÈRE. ^ FREMlAlIBl BKtIDN. N"* XIV. q représentant ie quadrans on ^ ir, vu qu'il ert trè&^acîle de paflaw des unes aux autres.
Lorsque t est assez petit pour qa*oii poisse obliger son CÊné, au lieu mentieearrédesanMNtië, on peot se servir des fonnidessuitaiitef, qui sont (dus si
fdv cosqv* {lZ]-^t)'='^^^^^ ^' (i-^aei-sin^i"*].
fdv sin qv* Ç^'^^^t) =-5j^[-co8 9i(i-haO-f-co8 9i'lw.
/dvsin^v^r *^^ y. v-114-a-f-p,
d'oùa«=v — o— p et dv=^da*
v=«a-i-ap,a=4-p
fdv sin qv^^fda sin 9 [a* -h aa (a -4- p) -4- (a H-p)*]
/dtt8in9(a-4-p)[aa-^(a-^p)] = C-— ^^— yC089(a-4-p)(aa4-a-f-p), [cosiqf (a + p) (a — p) — co8 9(a-*-p)(a-4-3p)].
27(a-Hp)
Il est évident qu'en rédigeant son Mémoire Fresnel a écrit par inadvertance t an lieu de 9< dans la définition des limites de ses intégrales.
Le brouillon du tableau des valeurs numériques des int^ales porte d'ailleurs en tète Tindication suivante , qui ne laisse aucun doute sur la manière dont les calculs ont été faits :
Intégrations prises entre deux limites très -rapprochées 9a et 7 (a + ap); je suppose
fdv cosqv^^^^^j^--^ [sin 9 (a-4-p)(a-H3p) - sin 9 (a-+-p) (a-p)],
/(;i;sin9u' = ^^^^-^[cos9(aH-p)(a-p)-cos9(a4-p)(a + 3p)].
Enfin , une partie assez notable du manuscrit des calculs numériques de Fresnel existe encore, et ces deux formules y sont rappelées à chaque instant. [E. Verdet.]
^'^ Ces deux formules sont données exactement dans les écrits imprimés de Fresnel comme dans ses divers manuscrits. Elles sont d'ailleurs démontrées un peu plus loin, S 69. en note. [E. Vbrdbt.]
^^^^^^^^^Bl^^^^^^^^" ^^^^^^^^^^^^^^^
^^H MÉMOIHE COURONNÉ SUR LA DIFFRACTION. n'a ^^^^^|
iV XIV, ^^H
^^^f TABLEAU
DIS VALltlM îfUMéBIQDES BES IffTÉGRALeg fâvCOBip^ ET fdvBmqv^ ^*K
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