LIVRE III. - CHAPITRE II

En général, l'élément du temps étant supposé constant, la différence seconde de chaque coordonnée, divisée par le carré de cet élément, représente une force qui, appliquée en sens contraire au point, ferait équilibre à la force qui le sollicite suivant cette coordonnée. En multipliant la différence de ces forces par la variation arbitraire de la coordonnée, et ajoutant les trois produits semblables relatifs aux trois coordonnées, leur somme sera nulle par la condition de l'équilibre. Si le point est libre, les variations des trois coordonnées seront toutes arbitraires, et, en égalant à zéro le coefficient de chacune d'elles, on aura les trois équations différentielles du mouvement du point. Mais, si le point n'est pas libre, on aura entre les trois coordonnées une ou deux relations, qui donneront un pareil nombre d'équations entre leurs variations arbitraires. En éliminant donc à leur moyen autant de ces variations, on égalera les coefficients des variations restantes à zéro, et l'on aura les équations différentielles du mouvement, équations qui, combinées avec les relations des coordonnées, détermineront pour un instant quelconque la position du point.

L'intégration de ces équations est facile quand la force est dirigée vers un centre fixe; mais souvent la nature des forces la rend impossible. Cependant la considération des équations différentielles conduit à quelques principes intéressants de Mécanique, tels que le suivant. La différentielle du carré de la vitesse d'un point soumis à l'action de forces accélératrices est égale au double de la somme des produits de chaque force par le petit espace dont le point s'avance suivant la direction de cette force. Il est aisé d'en conclure que la vitesse acquise par un corps pesant, le long d'une ligne ou d'une surface courbe, est la même que s'il tombait verticalement de la même hauteur.

Plusieurs philosophes, frappés de l'ordre qui règne dans la nature et de la fécondité de ses moyens dans la production des phénomènes, ont pensé qu'elle parvient toujours à son but par les voies les plus simples. En étendant cette manière de voir à la Mécanique, ils ont cherché l'économie que la nature avait eue pour objet dans l'emploi des forces et du temps. Ptolémée avait reconnu que la lumière réfléchie parvient

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d'un point à un autre par le chemin le plus court, et par conséquent dans le moins de temps possible, en supposant la vitesse du rayon lumineux toujours la même. Fermât, Tun des plus beaux génies dont la France s'honore, généralisa ce principe, en l'étendant à la réfraction de la lumière. Il supposa donc qu'elle parvient d'un point pris au dehors d'un milieu diaphane k un point intérieur dans le temps le plus court; regardant ensuite comme très vraisemblable que sa vitesse devait être plus petite dans ce milieu que dans le vide, il chercha dans ces hypothèses la loi de la réfraction de la lumière. En appliquant à ce problème sa belle méthode de maximis et de minimisa que l'on doit regarder comme le véritable germe du Calcul différentiel, il trouva, conformément à l'expérience, que les sinus d'incidence et de réfraction devaient être dans un rapport constant plus grand que l'unité. La manière heureuse dont Newton a déduit ce rapport de l'attraction des milieux tit voir à Maupertuis que la vitesse de la lumière augmente dans les milieux diaphanes, et qu'ainsi ce n'est point, comme Fermât le prétendait, la somme des quotients des espaces décrits dans le vide et dans le milieu et divisés par les vitesses correspondantes, mais la somme des produits de ces quantités, qui doit être un minimum. Euler étendit cette supposition aux mouvements variables à chaque instant, et il prouva par divers exemples que, parmi toutes les courbes qu'un corps peut décrire en allant d'un point à un autre, il choisit toujours celle dans laquelle l'intégrale du produit de sa masse par sa vitesse et par l'élément de la courbe est un minimum. Ainsi la vitesse d'un point mû dans une surface courbe, et qui n'est sollicité par aucune force, étant constante, il parvient d'un point à un autre par la ligne la plus courte de cette surface. On a nommé l'intégrale précédente action d'un corps, et la réunion des intégrales semblables, relatives à chaque corps d'un système, a été nommée action du système. Euler établit donc que cette action est toujours un minimum, en sorte que l'économie de la nature consiste à l'épargner : c'est là ce qui constitue leprinc^ de la moindre action^ dont on doit regarder Euler comme le véritable inventeur, et que Lagrange ensuite a dérivé des lois primordiales du mouvement.