LIVRE m. - CHAPITRE IL

équilibre à la force centrifuge; la seconde augmente ou diminue la vitesse du corps; cette vitesse est donc continuellement variable. Mais elle est toujours telle que les aires décrites par le rayon vecteur autour de l'origine de la force sont proportionnelles aux temps. Réciproquement, si les aires tracées par le rayon vecteur autour d'un point fixe croissent comme les temps y lafiyrce qui les fait décrire est constamment dirigée vers ce point. Ces propositions, fondamentales dans la théorie du Système du monde, se démontrent aisément de cette manière.

La force accélératrice peut être supposée n'agir qu'au commencement de chaque instant pendant lequel le mouvement du corps est uniforme; le rayon vecteur trace alors un petit triangle. Si la force cessait d'agir dans l'instant suivant, le rayon vecteur tracerait dans ce nouvel instant un nouveau triangle égal au premier, puisque ces deux triangles ayant leur sommet au point fixe origine de la force, leurs bases situées sur une même droite seraient égales, comme étant décrites avec la même vitesse pendant des instants que nous supposons égaux. Mais au commencement du nouvel instant la force accélératrice se combine avec la force tangentielle du corps, et fait décrire la diagonale du parallélogramme dont les côtés représentent ces forces. Le triangle que le rayon vecteur décrit en vertu de cette force combinée est égal à celui qu'il eût décrit sans l'action de la force accélératrice ; car ces deux triangles ont pour base commune le rayon vecteur de la fin du premier instant, et leurs sommets sont sur une droite parallèle à cette base; l'aire tracée par le rayon vecteur est donc égale dans deux instants consécutifs égaux, et par conséquent le secteur décrit par ce rayon croit comme le nombre de ces instants ou comme les temps. 11 est visible que cela n'a lieu qu'autant que la force accélératrice est dirigée vers le point fixe; autrement, les triangles que nous venons de considérer n'auraient pas même hauteur. Ainsi, la proportionnalité des aires aux temps démontre que la force accélératrice est dirigée constamment vers l'origine du rayon vecteur.

Dans ce cas, si l'on imagine un très petit secteur décrit pendant un intervalle de temps fort court; que de la première extrémité de l'arc

de ce secteur on mène une tangente à la courbe, et que l'on prolonge jusqu'à cette tangente le rayon mené de l'origine de la force à l'autre extrémité de l'arc; la partie de ce rayon interceptée entre la courbe et la tangente sera visiblement l'espace que la force centrale a fait décrire. En divisant le double de cet espace par le carré du temps, on aura l'expression de la force; or le secteur est proportionnel au temps; la force centrale est donc comme la partie du rayon vecteur interceptée entre la courbe et la tangente, divisée par le carré du secteur. A la rigueur, la force centrale dans les divers points de la courbe n'est pas proportionnelle à ces quotients; mais elle approche d'autant plus de l'être que les secteurs sont plus petits, en sorte qu'elle est exactement proportionnelle à la limite de ces quotients. L'analyse différentielle donne cette limite en fonction du rayon vecteur, lorsque la nature de la courbe est connue, et alors on a la fonction de la distance à laquelle la force centrale est proportionnelle.

Si la loi de la force est donnée, la recherche de la courbe qu'elle fait décrire présente plus de difficulté. Mais, quelles que soient les forces dont le corps toujours supposé libre est animé, on déterminera facilement de la manière suivante les équations différentielles de son mouvement. Imaginons trois axes fixes perpendiculaires entre eux; la position du corps à un instant quelconque sera déterminée par trois coordonnées parallèles à ces axes. En décomposant chacune des forces qui agissent sur le point en trois autres dirigées parallèlement aux mêmes axes, le produit de la résultante de toutes les forces parallèles à l'une des coordonnées par l'élément du temps pendant lequel elle agit exprimera l'accroissement de la vitesse du corps parallèlement à cette coordonnée; or cette vitesse peut être supposée égale à l'élément de la coordonnée divisé par l'élément du temps; la différentielle du quotient de cette division est donc égale au produit précédent. La considération des deux autres coordonnées fournit deux égalités semblables; ainsi la détermination du mouvement du corps devient une recherche de pure analyse, qui se réduit à l'intégration de ces équations différentielles.