LIVRE III. - CHAPITRE III

sur les divers points du système étant parallèles, elles ont une résultante unique, que Ton obtient en composant d'abord deux de ces forces, ensuite leur résultante avec une troisième, la résultante des trois forces avec une quatrième, et ainsi du reste. La situation de ce point de concours par rapport au système est indépendante de l'inclinaison des plans sur la direction de la pesanteur; car une inclinaison plus ou moins grande ne fait que changer les valeurs des trois résultantes partielles, sans altérer leur position relative aux plans; en supposant donc ce point fixe, tous les efforts des poids du système seront anéantis dans toutes les positions qu'il peut prendre en tournant autour de ce point que l'on a nommé, par cette raison, centre de gravité du système.

Concevons la position de ce centre et celle des divers points du système déterminés par les coordonnées parallèles à trois axes perpendiculaires entre eux. Les actions de la pesanteur étant égales et parallèles, et la résultante de ces actions sur le système passant dans toutes ses positions par son centre de gravité, si l'on suppose cette résultante successivement parallèle à chacun des trois axes, l'égalité du moment de la résultante à la somme des moments des composantes donne l'une quelconque des coordonnées de ce centre, multipliée par la masse entière du système, égale à la somme des produits de la masse de chaque point par sa coordonnée correspondante. Ainsi la détermination du centre de gravité, dont la pesanteur a fait naitre l'idée, en est indépendante. La considération de ce centre, étendue à un système de corps pesants ou non pesants, libres ou liés entre eux d'une manière quelconque, est très utile dans la Mécanique.

En généralisant le théorème que nous avons donné, à la fin du Chapitre I^**, sur l'équilibre d'un point, on est conduit au théorème suivant, qui renferme de la manière la plus générale les conditions de l'équilibre d'un système de points matériels animés par des forces quelconques.

Si l'on change infiniment peu la position du système^ d'une manière compatible avec la liaison de ses parties, chaque point matériel s'avan-

cera, dans la direction de la force qui le sollicite, d'une quantité égale à la partie de cette direction comprise entre la première position du point et la perpendiculaire abaissée de la seconde position du point sur cette direction. Cela posé, dans l'état d'équilibre^ la somme des produits de chaque force par la quantité dont le point auquel elle est appliquée s'avance dans sa direction est nulle; et réciproquement, si cette somme est nulle, quelle que soit la variation du système, il est en équilibre. G*est en cela que consiste le principe des vitesses virtuelles, principe dont on est redevable à Jean Bernoulli. Mais, pour en faire usage, il faut observer de prendre négativement les produits que nous venons d'indiquer, relatifs aux points qui, dans le changement de position du système, s'avancent en sens contraire de la direction de leurs forces; il faut se rappeler encore que la force est le produit de la masse d'un point matériel par la vitesse qu'elle lui ferait prendre, s'il était libre.

En concevant la position de chaque point du système déterminée par trois coordonnées rectangles, la somme des produits de chaque force par là quantité dont le point qu'elle sollicite s'avance dans sa direction, lorsqu'on fait varier infiniment peu le système, sera exprimée par une fonction linéaire des variations des coordonnées de ses différents points; ces variations ont entre elles des rapports, résultant de la liaison des parties du système; en réduisant donc, au moyen de ces rapports, les variations arbitraires au plus petit nombre possible, dans la somme précédente, qui doit être nulle pour l'équilibre, il faudra, pour qu'il ait lieu dans tous les sens, égaler séparément à zéro le coefficient de chacune des variations restantes, ce qui donnera autant d'équations qu'il y aura de ces variations arbitraires. Ces équations, réunies à celles que donne la liaison des parties du système, renfermeront toutes les conditions de son équilibre.

Il existe deux états d'équilibre très distincts. Dans l'un, si l'on trouble

un peu l'équilibre, tous les corps du système ne font que de petites

oscillations autour de leur position primitive, et alors l'équilibre est

ferme ou stable. Cette stabilité est absolue, si elle a lieu quelles que

soient les oscillations du système; elle n'est que relative, si elle n'a