LIVRE m. -^ CHAPITRE V

que Ton a nommé principe de la conservation des forces vives, s'étend à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse, si Ton désigne par force vice d'un corps le double de l'intégrale du produit de sa vitesse par la différentielle de la force finie dont il est animé.

Dans le mouvement d'un corps sollicité par des forces quelconques, la variation de la force vive est égale à deux fois le produit de la masse du corps par la somme des forces accélératrices multipliées respectivement par les quantités élémentaires dont le corps s'avance vers leurs origines. Dans le mouvement d'un système de corps, le double de la somme de tous ces produits est la variation de la force vive du système.

Concevons que, dans le mouvement du système, tous les corps arrivent au même instant dans la position où il serait en équilibre en vertu des forces accélératrices qui le sollicitent; la variation de la force vive y sera nulle, par le principe des vitesses virtuelles; la force vive sera donc alors à son maximum ou à son minimum. Si le système n'était mù que par une seule espèce de ses oscillations simples, les corps, en partant de la situation d'équilibre, tendraient à y revenir si l'équilibre est stable; leurs vitesses diminueraient donc a mesure qu'ils s'en éloigneraient, et par conséquent la force vive serait, dans cette position, un maximum. Mais si l'équilibre n'était point stable, les corps, en s'éloignant de cet état, tendraient à s'en éloigner davantage, et leurs vitesses iraient en croissant; leur force vive serait donc alors un minimum. De là on peut conclure que, si la force vive est constamment un maximum lorsque les corps parviennent au même instant à la position d'équilibre, quelle que soit leur vitesse, l'équilibre est stable, et qu'au contraire, il n'a ni stabilité absolue, ni stabilité relative, si la force vive, dans cette position du système, est constamment un minimum.

Enfin, on a vu, dans le Chapitre II, que la somme des intégrales du produit de chaque force finie du système par l'élément de sa direction, somme qui , dans l'état d'équilibre, est nulle, devient un minimum dans l'état du mouvement. C'est en cela que consiste le principe de la moindre action, principe qui diffère de ceux du mouvement uniforme du centre de gravité, de la conservation des aires et des forces vives.

en ce que ces principes sont de véritables intégrales des équations différentielles du mouvement des corps, au lieu que celui de la moindre action n*est qu'une combinaison singulière de ces mêmes équations.

La force finie d'un corps étant le produit de sa masse par sa vitesse, et la vitesse multipliée par l'espace décrit dans un élément du temps étant égale au produit de cet élément par le carré de la vitesse, le principe de la moindre action peut s'énoncer ainsi : l'intégrale de la force vive d'un système, multipliée par l'élément du temps, est un minimum, en sorte que la véritable économie de la nature est celle de la force vive. C'est aussi l'économie que Ton doit se proposer dans la construction des machines, qui sont d'autant plus parfaites qu'elles emploient moins de force vive pour produire un effet donné. Si l'es corps ne sont sollicités par aucune force accélératrice, la force vive du système est constante; le système parvient donc d'une position à une autre quelconque dans le temps le plus court.

On doit faire une remarque importante sur l'étendue de ces divers principes. Celui du mouvement uniforme du centre de gravité et le principe de la conservation des aires subsistent dans le cas même où, par l'action mutuelle des corps, il survient des changements brusques dans leurs mouvements, et cela rend ces principes très utiles dans beaucoup de circonstances; mais le principe de la conservation des forces vives et celui de la moindre action exigent que les variations du mouvement du système se fassent par des nuances insensibles.

Si le système éprouve des changements brusques par l'action mutuelle des corps ou par la rencontre d'obstacles, la force vive reçoit, à chacun de ces changements, une diminution égale à la somme des produits de chaque corps par le carré de sa vitesse détruite, en concevant sa vitesse avant le changement décomposée en deux, l'une qui subsiste, l'autre qui est anéantie et dont le carré est évidemment égal à la somme des carrés des variations que le changement fait éprouver à la vitesse décomposée parallèlement à trois axes quelconques perpendiculaires entre eux.

Tous ces principes subsisteraient encore, eu égard au mouvement