LIVRE III. - CHAPITRE V
citent le point et par l'action des autres points du système. Ainsi^ en concevant les variations instantanées des vitesses partielles de chaque point du système appliquées à ce point en sens contraire, le système doit être en équilibre en vertu de toutes ces variations et des forces qui raniment. On aura* par le principe des vitesses virtuelles, les équations de cet équilibre, et, en les combinant avec celles de la liaison des parties du système, on aura les équations différentielles du mouvement de chacun de ses points.
Il est visible que Ton peut ramener de la même manière les lois du mouvement des fluides à celles de Suréquilibre. Dans ce cas, les conditions relatives à la liaison des parties du système se réduisent à ce que le volume d'une molécule quelconque du fluide reste toujours le même, si le fluide est incompressible, et qu'il dépende de la pression suivant une loi donnée, si le fluide est élastique et compressible. Les équations qui expriment ces conditions et les variations du mouvement du fluide renferment les différences partielles des coordonnées de la molécule, prises soit par rapport au temps, soit par rapport aux coordonnées primitives. L'intégration de ce genre d'équations offre de grandes difficultés, et l'on n'a pu y réussir encore que dans quelques cas particuliers relatifs au mouvement des fluides pesants dans des vases, à la théorie du son et aux oscillations de la mer et de l'atmosphère.
La considération des équations différentielles du mouvement d'un système de corps a fait découvrir plusieurs principes de Mécanique très utiles, et qui sont une extension de ceux que nous avons présentés sur le mouvement d'un point, dans le Chapitre II de ce Livre.
Un point matériel se meut uniformément en ligne droite, s'il n'éprouve pas l'action de causes étrangères. Dans un système de corps agissant les uns sur les autres sans éprouver l'action de causes extérieures, le centre commun de gravité se meut uniformément en ligne droite, et son mouvement est le même que si, tous les corps étant supposés réunis à ce point, toutes les forces qui les animent lui étaient immédiatement appliquées, en sorte que la direction et la quantité de leur résultante restent constamment les mêmes.
On a vu que le rayon vecteur d'un corps sollicité par une force dirigée vers un point fixe décrit des aires proportionnelles aux temps. Si Ton suppose un système de corps agissant les uns sur les autres d*une manière quelconque et sollicités par une force dirigée vers un point fixe, si de ce point on mène à chacun d'eux des rayons vecteurs, que Ton projette sur un plan invariable passant par ce point, la somme des produits de la masse de chaque corps par Taire que trace la projection de son rayon vecteur est proportionnelle au temps. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires.
S'il n*y a pas de point fixe vers lequel le système soit attiré et qu'il ne soit soumis qu'à l'action mutuelle de ses parties, on peut prendre alors tel point que l'on veut pour origine des rayons vecteurs.
Le produit de la masse d'un corps par l'aire que décrit la projection de son rayon vecteur pendant une unité de temps est égal à la projection de la force entière de ce corps multipliée par la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la direction de la force ainsi projetée; ce dernier produit est le moment de la force pour faire tourner le système autour de l'axe qui, passant par le point fixe, est perpendiculaire au plan de projection ; le principe de la conservation des aires revient donc à ce que la somme des moments des forces finies pour faire tourner le système autour d'un axe quelconque, passant par le point fixe, somme qui dans l'état d'équilibre est nulle, est constante dans l'état de mouvement. Présenté de cette manière, ce principe convient à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse.
On nomme force vii^e d'un système la somme des produits de la masse de chaque corps par le carré de sa vitesse. Lorsqu'un corps se meut sur une courbe ou sur une surface sans éprouver d'action étrangère» sa force vive est toujours la même, puisque sa vitesse est constante. Si les corps d'un système n'éprouvent d'autres actions que leurs tractions et pressions mutuelles, soit immédiatement, soit par l'entremise de verges et de fils inextensibles et sans ressort, la force vive du système est constante, dans le cas même où plusieurs de ces corps sont astreints à se mouvoir sur des lignes ou sur des surfaces courbes. Ce principe.
