LIVRE IV. - CHAPITRE XVIII

sur la lumière, et son expression doit être beaucoup plus simple que celle de la loi de réfraction extraordinaire, qui la renferme et qui dé* pend encore de la position de la face par laquelle le rayon lumineux a pénétré dans le cristal. Ainsi le problème de la réfraction se partage en deux autres : le premier consiste à déterminer la loi de réfraction correspondante à une loi connue de l'action du milieu; le second a pour objet de ramener cette dernière loi à l'action réciproque des molécules du cristal et de la lumière. On vient de voir combien de données nous manquent pour le résoudre; mais le premier problème peut être résolu par le principe de la moindre action, indépendamment de ces données.

Ce principe a généralement lieu dans le mouvement d'un point soumis à des forces attractives et répulsives. En l'appliquant à la lumière, on peut faire abstraction du très petit arc qu'elle décrit, en passant du vide dans un milieu diaphane, et supposer son mouvement uniforme, lorsqu'elle y a pénétré d'une quantité sensible. Le principe de la moindre action se réduit donc alors à ce que la lumière parvient d'un point pris au dehors à un point pris dans l'intérieur du cristal de manière que, si l'on ajoute le produit de la droite qu'elle décrit au dehors par sa vitesse primitive au produit de la droite qu'elle décrit au dedans par sa vitesse actuelle, la somme fait un minimum. Maintenant la direction de la vitesse est déterminée par les angles qu'elle forme avec deux axes perpendiculaires entre eux; la loi de l'action du milieu sur la lumière donne, par le principe des forces vives, sa vitesse lorsqu'elle a pénétré dans le milieu diaphane; le principe de la moindre action donnera donc, entre les angles que font avec les deux axes ses directions avant et après son passage dans le milieu, deux équations différentielles qui déterminent la direction de la lumière réfractée, en fonction des angles formés par la direction primitive avec les deux axes. On aura ainsi la loi de la réfraction extraordinaire, correspondante à celle de l'action du milieu sur la lumière.

La loi d'action la plus simple est celle dont l'expression se réduit à une constante; on trouve alors, par la méthode précédente, que les

sinus de réfraction et d'incidence sont constamment dans le même rapport, ce qui est conforme à ce que Ton a vu.

Apres cette loi vient celle dont Texpression ne renferme que la première et la seconde puissance des sinus des angles que le rayon réfracté forme avec les deux axes. Relativement au cristal d'Islande, si Ton prend pour un des axes celui du cristal, comme cet axe est symétrique par rapport aux trois côtés qui le comprennent, il est facile de voir que l'expression précédente ne doit dépendre que de l'angle qu'il fait avec la direction du rayon réfracté, et qu'elle doit se réduire à une constante, plus au produit d'une autre constante par le carré du sinus de cet angle. En la substituant dans les deux équations différentielles du principe de la moindre action, on parvient exactement aux formules que donne la loi d'Huygens, d'où il suit que cette loi satisfait à la fois au principe de la moindre action et à celui des forces vives, ce qui ne laisse aucun lieu de douter qu'elle est due à l'action de forces attractives et répulsives dont l'action n'est sensible qu'à des distances imperceptibles. Jusqu'ici cette loi n'était qu'un résultat de l'observation, approchant de la vérité dans les limites des erreurs auxquelles les expériences les plus précises sont encore assujetties; maintenant la simplicité de la loi d'action dont elle dépend doit la faire considérer comme une loi rigoureuse.

Si l'on prend pour unité la vitesse de la lumière dans le vide, la vitesse du rayon réfracté extraordinairement sera exprimée par une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le rayon de l'ellipsoïde d'Huygens suivant lequel la lumière se dirige. La vitesse du rayon ordinaire dans le cristal est constante dans tous les sens et égale à l'unité divisée par le rapport du sinus de réfraction au sinus d'incidence. Huygens a reconnu, par l'expérience, que le demiaxe de révolution de son ellipsoïde représente à fort peu près ce rapport, ce qui lie entre elles les deux réfractions, ordinaire et extraordinaire. Mais le principe de la continuité fait voir que cette liaison remarquable est un résultat nécessaire de l'action du cristal sur la lumière, et qu'il dépend de la seule considération, qu'un rayon ordinaire se change en