LIVRE PREMIER

l'intégrale fc-*^(fdx, x = o et œ = :x> . On aura donc, dans ces limites,

Pour déterminer la constante A, nous observerons que, 5 étant i, le premier membre de cette équation se réduit à l'unité, ce qui donne

I 1 fx^~^ dxcr^^

on aura donc par le numéro précédent

^^1 s* J^^~^ dxc ^

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis a? nul jusqu'à x infini.

Pour développer cette expression en série, supposons

a étant la valeur de x qui répond au maximum du premier membre de cette équation. Si l'on fait a? = a +0; on aura, en prenant les logarithmes de chaque membre, et en développant le logarithme du premier dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de 0,

les quantités a. A, h\ h"^ ... étant données par les équations suivantes :

I — I ;ic*

4a* 24c-«— I 24\c-« — 1/ 2 yc"" — 1/ 4\^~''— V *

OPMvres de Z. — VIL 21

on aura donc, par le retour des suites,

^ / / ht 5h'^-^/ihh\^ \ yjh\ 2 h y/ h «'i' J

et cette suite sera d^autantplus convergente que le nombre n sera plus considérable. En substituant cette valeur de 6 dans la fonction fcl^(r*\ et prenant l'intégrale dans les limites / — — ao et/ = ao, limites qui correspondent aux limites œ = o eix — ^ , on aura

/x'-'rf:rcr-''(^'-i)'« = a'-*c-'«(r-«-i)«^'!-(i-+. 1^*1!Ç-L^*^ 4. . . . V

On a d'ailleurs

fx^- • dx (T-^ = -r /x* dx c--f ,

et lorsque 1 est très grand, on a, par le n® 32,

fx^dxc~^=i 'cT"' v'27r ( iH ^.-+-. . . );

en divisant donc Tune par Taiitre les deux valeurs de

/x'-* dxc-'^lcr-^— lY et /x'-* dxc-', on aura

Pour avoir la différence finie /i*^"* de la puissance positives*, il suffit, par le n° 30, de changer dans cette équation i dans — i, et l'on aura

IA»**'— (5-+- /i)'— /i(5-f- n ~ i)' H- ^^^""'^ f, -^ n a)i — . . . 1.2'

i ^ — 3^t -- ^ ( i5n-x^ir I \