LIVRE PREMIER

En changeant z dans — z^ on aura

partant

dans le cas de s très grand, cette expression se réduit à fort peu près a ce terme très simple.

(i — z) *vx57r

Si Ton multiplie l'expression (6) de j, par le produit i . 2.3 . . .5, produit qui, par le n^ 33, est égal à

on aura à très peu près

39. Lorsqu'une fonction ys de s peut être exprimée par une intégrale définie de la forme fx^tfdx^ les différences infiniment petites et finies d'un ordre quelconque n seront, par le n® 21,

à'^yf=zfx'<fdx{x — i)".

Si, au lieu d'exprimer la fonction de s par l'intégrale fx'tfdœ, on l'exprime par l'intégrale fc-'^<fdx, alors on a

Pour avoir les intégrales n*^*"^, soit finies, soit infiniment petites, il suffira de faire n négatif dans ces expressions. On peut observer qu'elles sont généralement vraies, quel que soit /i, en le supposant même fractionnaire, ce qui donne le moyen d'avoir les difierences et les intégrales correspondantes à des indices fractionnaires. Toute la difficulté se réduit à mettre sous la forme d'intégrales définies une fonction de 5, ce que l'on peut faire par les n^ 29 et 30, lorsque cette fonction est donnée par une équation linéaire aux différences infiniment petites ou finies. Gomme on est principalement conduit dans l'analyse des hasards à des expressions qui ne sont que les difierences finies des fpnctions, ou une partie de ces difierences, nous allons y appliquer les méthodes précédentes et déterminer leurs valeurs en séries convergentes.

40. Considérons d'abord la fonction -.' En la désignant par j^,, elle sera déterminée par l'équation aux difi'érences infiniment petites

Si l'on suppose, dans cette équation,

elle deviendra

o=fffdx\^iiX-hx-^y

d'où l'on tire, en intégrant par parties, conformément à la méthode du n^ 29, les deux équations

d(xo) o = x<f ijr.

La première donne, en l'intégrant,

A étant une arbitraire. La seconde équation donne pour les limites de