I -h I nc

On peut la transformer dans la suivante, lorsque a est très petit,

d'où l'on tire à très peu près, dans la supposition de a très petit,

ainsi a sera fort petit toutes les fois que i — n sera peu considérable relativement à 5 -h -• Dans ce cas, on déterminera A"^ par la méthode

suivante.

Reprenons l'équation

/dx ,

c-Jf

dans laquelle se change la formule ((x), lorsqu'on y fait i négatif et égal à — !• On peut mettre la fonction (c"'— i)" sous cette forme

JF* 4- . . . I ;

on aura donc

Si Ton fait

on aura généralement

or on a trouvé dans le n^ 33, par le passage du réel a Timaginaire,

27r(-ir «

Jx'^'dx'c-^' {r-\) (r- 2) (r~ 3). . . '

partant on aura

Cette série sera très convergente si 1 — /i est peu considérable relativement à 5 H — ; elle peut d'ailleurs être employée dans le cas où / est

fractionnaire, comme il est facile de s'en convaincre. Quant au produit (ï — n-h i)(i — n-H 2).;.i, il est facile de l'obtenir en série convergente, par le n°33.

La formule précédente est une application très simple de l'équation

que nous avons donnée dans le n^ 10; car, en développant le second membre- de cette équation et faisant j,= 5', on obtient directement ' cette formule que nous avons conclue des passages du réel a l'imaginaire, ce qui confirme la justesse de ces passages.

41. Les formules ((x') et ((x") des numéros précédents supposent n égal ou moindre que e. En effet, si l'on considère l'expression

/dxc

dont le développement a produit ces formules, on voit que, les limites des intégrales du numérateur et du dénominateur étant déterminées par le numéro précédent, en égalant à zéro le produit des quantités sous le signe intégral par x^ ces limites seront toutes imaginaires lorsque i sera plus grand que n, au lieu que, dans le cas où i sera moindre que /i, les limites de l'intégrale du numérateur seront réelles, tandis que celles du dénominateur seront imaginaires; il faut donc alors ramener ces dernières limites à l'état réel. Pour y parvenir, nous observerons que l'on a généralement

•^ i[i -Hi) (i-h 2).. .(i -f- r) Si l'on fait dans cette expression i négatif et égal à — r , w étani

moindre que n, on aura

or on a. par le n" 33, les intégrales étant prises depuis x nul jus -^ ■T infini.

dxc~^

i étant ici positif : c'est l'expression de / ,.^, dont on doit fa> usage dans le cas que nous examinons ici. Si l'on fait jt = ï", on au

et l'équation (T) du n" 24 donne, en y changeant r dans rn-h i,

sin — jt on aura donc

sin —Ttjx'dxc-

d'où l'on tire, en substituant cette valeur dans l'expression précédente de A"!*,