LIVRE PREMIER

— -7- depuis X .^ % jusqu'à x infini, on

aura» en faisant i = r-\ — ? la fonction

Or on a généralement, lorsque a est infiniment petit,

y étant zéro ou un nombre entier positif; car, si l'on développe c~** en série, et que l'on désigne par kctl^sf un terme quelconque de cette série, on aura

En effet, si q surpasse /, ce terme devient nul par la supposition de a infiniment petit. Si q est égal ou moindre que f$q-^ r — / ser^ égal ou moindre que r, et, par conséquent, il sera plus petit que aï, et alors, par la propriété connue des différences finies, A"^^**"^ sera nul. Il suit

^cUqueA" / — ^— - ou j --j:^^ se réduit a

m l m\ I ni\

intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à infini. Si l'on fait a? ™ — , on aura

les intégrales étant prises depuis x et x' nuls jusqu'à a? et a/ infinis; on aura donc

En substituant pour N -h ~ j f 2 -h — j . . . i sa valeur ■^'^^ ^^ — > et observant que Ton a, par ce qui précède,

— fx' " dx' c-^ fx'* dxc^'^= 9

Sin— TT

on aura la formule (jx*').

Si i est un très grand nombre, on aura, par le n° 33, Tintégrale

fx'dxc';

on aura ensuite, par ce qui précède, l'intégrale

ainsi l'on obtiendra, par une série très convergente, la valeur du second membre de la formule citée.

Supposons e infiniment petit, rsera nul, et — sera une fraction infiniment petite; on aura donc

sm— 71= - ir = «TT, n n

A« (^^) = A" log*.

La formule {[l^) donnera ainsi

expression que Ton réduira facilement en série convergente, lorsque /i est un grand nombre.