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inconnues, et nous sommes réduits à chercher dans les événements passés des indices qui puissent nous guider dans nos conjectures sur les causes dont ils dépendent. En appliquant l'analyse des fonctions génératrices au principe , exposé ci-devant, sur la probabilité des causes tirée des événements observés, on est conduit au théorème suivant :
Lorsqu'un événement simple , ou composé de plusieurs événements simples, tel qu'une partie de Jeu, a été répété un grand nombre dé fois, les possibilités des événements simples, qui rendent ce que l'on a observé le plus probable, sont celles que l'observation indique avec le plus de vraisemblance ; à mesure que l'événement obsen'é se répète, cette vraisemblance augmente, et finirait par se confondre avec la certitude, si le nombre des répétitions devenait infini.
Il y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles est relative aux limites prises de part et d'autre des possibilités qui donnent au passé le plus de vraisemblance; l'autre approximation se rapporte à la probabilité que ces possibilités tombent dans ces limites. La répétition de l'événement composé accroit de plus en plus cette probabilité, les limites restant les mêmes; elle resserre de plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité restant la même; dans l'inBni, cet intervalle devient nul, et la probabilité se change en certitude.
Si l'on applique ce théorème au rapport des naissances des garçons à celles des filles, observé dans les diverses contrées de l'Europe, on trouve que ce rapport, partout à peu près égal à celui de aa à ai, indique avec une extrême probabilité une plus grande facilité dans les
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leur a pas permis de la résoudre. Heureusement, Humboldt n'a point négligé cet objet dans l'immensité des choses nouvelles qu'il a observées etrecueillies en Amérique, avec tant de sagacité, de constance et de courage. Il a retrouvé entre les tropiques le même rapport des naissances des garçons à celles des filles que Ton observe à Paris, ce qui doit faire regarder la supériorité des naissances masculines comme une loi générale de l'espèce humaine. Les lois que suivent à cet égard les diverses espèces d'animaux me paraissent dignes de l'attention des naturalistes.
Le rapport des naissances des garçons à celles des filles différant très peu de l'unité, des nombres même assez grands de naissances observées dans un lieu pourraient offrir à cet égard un résultat contraire à la loi générale, sans que Ton fût en droit d'en conclure que cette loi n'y existe pas. Pour tirer cette conséquence, il faut employer de très grands nombres et s'assurer qu'elle est indiquée avec une grande probabilité. Buffon cite, par exemple, dans son Arithmétique politique, plusieurs communes de Bourgogne où les naissances des filles ont surpassé celles des garçons. Parmi ces communes, celle de Carcelle-le- Grignon présente sur 2009 naissances, pendant cinq années, 1026 filles et 983 garçons. Quoique ces nombres soient considérables , cependant ils n'indiquent une plus grande possibilité dans les naissances des filles qu'avec la probabilité ^, et cette probabilité, plus petite que celle de ne pas amener croix quatre fois de suite au jeu de croix ou pile^ n'est pas suffisante pour rechercher la cause de cette anomalie, qui, selon toute vraisemblance, disparaîtrait si l'on suivait pendant un siècle les naissances' dans cette commune.
Les registres des naissances, que l'on tient avec soin pour assurer l'état des citoyens, peuvent servir à déterminer la population d'un grand empire, sans recourir au dénombrement de ses habitants, opération pénible et difficile à faire avec exactitude. Mais il faut pour cela connaître le rapport de la population aux naissances annuelles. Le moyen d'y parvenir le plus précis consiste : 1° à choisir, dans l'empire, des départements distribués d'une manière à peu près égale sur toute
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sa surface, afin de rendre le résultat général indépendant dea circonstances locales ; 2° à dénombrer avec soin , pour une époque donnée, les habitants de plusieurs communes dans chacun de ces départements; 3° à déterminer, par le relevé des naissances durant plusieurs années qui précèdent et suivent cette époque, le nombre moyen correspondant des naissances annuelles. Ce nombre, divisé par celui des habitants, donnera le rapport des naissances annuelles à la population, d'une manière d'autant plus sûre que le dénombrement sera plus considérable. Le gouvernement, convaincu de l'utilité d'un semblable dénombrement, a bien voulu en ordonner l'exécution, à ma prière. Dans trente départements répandus également sur toute la France, on a fait choix des communesqui pouvaient fournir les renseignements les plu» précis. Leurs dénombrements ont donné aoS^GiS individus pour la somme totale de leurs habitants au a3 septembre 1803. Le relevé de» naissances dans ces communes, pendant les années 1800, iSoiet iSos, adonné :
Naissancca. Mariages. Dùcis.
tto3i2 garçons- 4^3^. 108659 hommes.
loSaS^ filles. !)9443 femmes.
Le rapport de la population aux naissances annuelles est donc 28 jVaVnV» ' '' ^^* p'i*^ grand qu'on ne l'avait estimé jusqu'ici. En multipliant par ce rapport le nombre des naissances annuelles en France, on aura la population de ce royaume. Mais quelle est la probabilité que la population ainsi déterminée ne s'écartera pas de la véritable au delà d'une limite donnée? En résolvant ce problème, et appliquant ii sa solution les données précédentes, j'ai trouvé que le nombre des nais- ( rronaM'Ianl stifuios.' rl'un iuilli,
INTRODUCTION. lui
(lu rapport de 22 k 21. Depuis 1745, époque à lacpiellc on a commencé k distinguer les sexes sur les registres des naissances, jusqu'à la fin de 1784, on a baptisé dans cette capitale 393386 garçons et 377555 filles. Le rapport de ces deux nombres est k peu près celui de aS k 24; il parait donc qu'k Paris une cause particulière rapproche de l'égalité les baptêmes des deux sexes. Si l'on applique k cet objet le Calcul des Probabilités, on trouve qu'il y a deux cent trente-huit k parier contre un en faveur de l'existence de cette cause, ce qui suffît pour en autoriser la recherche. En y réfléchissant, il m'a paru que la différence observée tient k ce que les parents de la campagne et des provinces, trouvant quelque avantage k retenir près d'eux les garçons, en avaient envoyé k l'hospice des Enfants-Trouvés de Paris, moins relativement aux filles que suivant le rapport des naissances des deux sexes. C'est ce que \v relevé des registres de cet hospice m'a prouvé. Depuis le commencement de 1745 jusqu'k la fin de 1809, il y est entré 163499 garçons et 1 59405 filles. Le premier de ces nombres n'excède que d'un trentehuitième le second, qu'il aurait dû surpasser au moins d'un vingt-quatrième. Ce qui confirme l'existence de la cause assignée, c'est qu'en n'ayant point égard aux enfants trouvés, le rapport des naissances des garçons k celles des filles est k Paris, comme dans le reste de la France, celui de 22 k 21.
La constance de la supériorité des naissances des garçons sur celles des filles k Paris et k Londres, depuis qu'on les observe, a paru k quelques savants être une preuve de la providence, sans laquelle ils ont pensé que les causes irrégulières qui troublent sans cesse la marche des événements auraient dû plusieurs fois rendre les naissances annuelles des filles supérieures k celles des garçons.
Mais cette preuve est un nouvel exemple de l'abus que l'on a fait si souvent des causes finales, qui disparaissent toujours par un examen approfondi des questions, lorsqu'on a les données nécessaires pour les résoudre. La constance dont il s'agit est un résultat des causes régulières qui donnent la supériorité aux naissances des garçons, et qui l'emportent sur les anomalies dues au hasard, lorsque le nombre des
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naissances annuelles est considérable. La recherche de la probabilité que cette constance se maintiendra pendant un long espace de temps appartient à cette branche de l'Analyse des hasards qui remonte des événements passés à la probabilité des événements futurs, et il en résulte que, en parlant des naissances observées depuis 1745 jusqu'en 1784. il y a près de quatre à parier contre un qu'à Paris les naissances annuelles des garçons surpasseront constamment pendant un siëcle les naissances des tilles; il n'y a donc aucune raison de s'étonner que cela ait eu lieu pendant un demi-siècle.
Donnons encore un exemple du développement des rapports constants que les événements présentent, à mesure qu'ils se multiplient. Concevons une série d'urnes disposées circulaJrement, et renfermant chacune un très grand nombre de boules blanches et noires, les rapports des boules blanches aux noires, dans ces urnes, pouvant être très dilTérents à l'origine, el tels, par exemple, que l'une de ces urnes ne renferme que des boules blanches, tandis qu'une autre ne contient que des boules noires. Si l'on tire une boule de la première urne pour la mettre dans la seconde; que, après avoir agité cette seconde urne, afin de bien mêler la boule ajoutée avec les autres, on en tire une boule pour la mettre dans la troisième urne, el ainsi de suite jusqu'à la dernière urne dont on extrait une boule pour la mettre dans la première, et que l'on recommence indéfiniment cette série de tirages; l'Analyse des Probabilités nous montre que les rapports des boules blanches aux noires, dans ces urnes, finiront par être les mêmes et égaux au rapport de la somme de toutes les boules blanches à la somme de toutes les boules noires contenues dans les urnes. Ainsi, par ce mode régulier de
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les rapports des boules blanches aux boules noires deviendront irréguliers; mais peu à peu cette irrégularité disparaîtra pour faire place à un nouvel ordre, qui sera enfin celui de Tégalité des rapports des boules blanches aux boules noires contenues dans les urnes. On peut étendre ces résultats à toutes les combinaisons de la nature, dans lesquelles les forces constantes dont leurs éléments sont animés établissent des modes réguliers d'action, propres à faire éclore du sein même du chaos des systèmes régis par des lois admirables.
Les phénomènes qui semblent le plus dépendre du hasard présentent donc, en se multipliant, une tendance à se rapprocher sans cesse de rapports fixes, de manière que, si l'on conçoit de part et d'autre de chacun de ces rapports un intervalle aussi petit que l'on voudra, la probabilité que le résultat moyen des observations tombe dans cet intervalle finira par ne différer de la certitude que d'une quantité au-dessous de toute grandeur assignable. On peut ainsi, par le Calcul des Probabilités, appliqué à un grand nombre d'observations, reconnaître l'existence de ces rapports. Mais, avant que d'en rechercher les causes, il est nécessaire, pour ne point s'égarer dans de vaines spéculations, de s'assurer qu'ils sont indiqués avec une probabilité qui ne permet point de les regarder comme des anomalies dues au hasard. La théorie des fonctions génératrices donne une expression très simple de cette probabilité, que l'on obtient en intégrant le produit de la différentielle de la quantité dont le résultat, déduit d'un grand nombre d'observations, s'écarte de la vérité, par une constante moindre que l'unité, dépendante de la nature du problème et élevée à une puissance dont l'exposant est le rapport du carré de cet écart au nombre des observations. L'intégrale prise entre des limites données et divisée par la même intégrale étendue à l'infini positif et négatif exprimera la probabilité que l'écart de la vérité est compris entre ces limites. Telle est la loi générale de la probabilité des résultats indiqués par un grand nombre d'observations.
Lvi INTRODUCTION.
Application du Calcitl des Probabilités à la Philosophie naturelle.
Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de tant de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence qu'il est très difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir qu'en multipliant les observations ou les expériences, afin que, les effets étrangers venant à se détruire réciproquement, les résultais moyens mettent en évidence ces phénomènes et leurs éléments divers. Plus les observations sont nombreuses et moins elles s'écartent entre elles, plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition par le choix des méthodes d'observation, par la précision des instruments et par le soin que l'on met il bien observer; ensuite on détermine par la théorie des probabilités les résultats moyens les plus avantageux ou ceux qui donnent le moins (le prise à l'erreur. Mais cela ne suffit pas : il est, de plus, nécessaire (l'apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données ; sans cela, on n'a qu'une connaissance imparfaite du degré d'exactitude obtenu. Des formules propres à ces objets sont donc un vrai perfectionnement de ta méthode des sciences, et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'analyse qu'elles exigent est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités; c'est un des principaux objets de l'ouvrage que j'ai publié sur celte théorie, et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l'avantage remarquable d'être indépendantes de la loi de probabilité des erreurs, et de ne renfermer que des quantités données par les observations mêmes et par leurs expressions.
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qu'il y a d'éléments, dont on détermine ensuite les corrections, en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition pour obtenir les équations finales? Quelle est la loi de probabilité des erreurs dont les éléments que l'on en tire sont encore susceptibles? C'est ce que la Théorie des Probabilités fait connaître. La formation d'une équation finale au moyen des équations de condition revient à multiplier chacune de celles-ci par un facteur indéterminé et à réunir ces produits : il faut donc choisir le système de facteurs qui donne la plus petite erreur à craindre. Or il est visible que, si l'on multiplie les erreurs possibles d'un élément par leurs probabilités respectives, le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un minimum; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits, la condition du minimum déterminera le système de facteurs qu'il convient d'adopter, ou le système le plus avantageux. On trouve ainsi que ce système est celui des coefficients des éléments dans chaque équation de condition, en sorte que l'on forme une première équation finale en multipliant respectivement chaque équation de condition par son coefficient du premier élément et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même les coefficients du second élément, et ainsi de suite. De cette manière, les éléments et les lois des phénomènes, renfermés dans le recueil d'un grand nombre d'observations, se développent avec le plus d'évidence.
La probabilité des erreurs que chaque élément laisse encore à craindre est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur, pris en moins, et multiplié par un. coefficient constant qui peut être considéré comme le module de la probabilité des erreurs, parce que, l'erreur restant la même, sa probabilité décroit avec rapidité quand il augmente, en sorte que l'élément obtenu pèse, si je puis ainsi dire, vers la vérité d'autant plus que ce module est plus grand. Je nom-
OEupres de L. — TU. 8
Lïiii INTRODUCTION.
inerai, par cette raison, ce module /)0((/5 de l'élément ou du résultat. Ce poids est le plus grand possible dans le système de facteurs le plus avantageux; c'est ce qui donne à ce système la supériorité sur les autres. Par une analogie remarquable de ce poids avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité, il arrive que, si un méoïc élément est donné par divers systèmes, composés chacun d'un grand nombre d'observations, le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble est la somme des produits de chaque résultat partiel par son poids, celte somme étant divisée par celle de tous les poids. De plus. le poids total du résultat des divers systèmes est la somme de leurs poids partiels, en sorte que la probabilité des erreurs du résultat moyen de leur ensemble est proportionnelle au nombre qui a l'unité pour logarithme hyperbolique, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur pris en moins et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend, k la vérité, de la loi de probabilité des erreurs de chaque système, et presque toujours cette loi est inconnue; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système, de leur résultat moyen. Il serait donc à désirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l'cusemble d'un grand nombre d'observations, qu'on écrivit à coté de chaque résultat le poids qui lui correspond ; l'Analyse fournit pour cet objet des méthodes gêné' raies et simples. Quand on a ainsi obtenu l'exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs, on aura la probabilité que l'erreur du résultat est comprise dans des limites données, en prenant daos ces [imites l'intégrale du produit de cette exponentielle par la diffé-
INTRODUCTION. lix
causes constantes d'erreur. Il faut que les observations soient nombreuses, et qu'elles le soient d'autant plus qu'il y a plus d'éléments à déterminer; car le poids du résultat moyen croit comme le nombre des observations, divisé par le nombre des éléments. Il est encore nécessaire que les éléments suivent dans ces observations une marche différente; car, si la marche de deux éléments était rigoureusement la même, ce qui rendrait leurs coefficients proportionnels dans les équations de condition, ces éléments ne formeraient qu'une seule inconnue, et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin il faut que les observations soient précises : cette condition, la première de toutes, augmente beaucoup le poids du résultat, dont l'expression a pour diviseur la somme des carrés des écarts des observations de ce résultat. Avec ces précautions, on pourra faire usage de la méthode précédente et mesurer le degré de confiance que méritent les résultats déduits d'un grand nombre d'observations.
La règle que nous venons de donner pour conclure des équations de condition les équations finales revient à rendre un minimum la somme des carrés des erreurs des observations; car chaque équation de condition devient rigoureuse, en y substituant l'observation plus son erreur; et, si l'on en tire l'expression de cette erreur, il est facile de voir que la condition du minimum de la somme des carrés de ces expressions donne la règle dont il s'agit. Cette règle est d'autant plus précise que les observations sont plus nombreuses; mais, dans le cas même oii leur nombre est petit, il parait naturel d'employer la même règle, qui, dans tous les cas, offre un moyen simple d'obtenir sans tâtonnements les corrections que l'on cherche à déterminer. Elle peut servir encore à comparer la précision de diverses Tables astronomiques d'un même astre. Ces Tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme, et alors elles ne difierent que par les époques, les moyens mouvements et les coefficients des arguments; car, si l'une d'elles contient un argument qui ne se trouve point dans les autres, il est clair que cela revient à supposer nul, dans celles-ci, le coefficient de cet argument. Si maintenant on rectifiait ces Tables par la totalité
u INTRODUCTION.
(les bonnes observations, elles satisferaient ù la condition que la somme des carrés des erreurs soit un minimum ; les Tables qui, comparées à un nombre considérable d'obser\'ations, approchent le plus de cette condition mérilent donc la préférence.
C'est principalement dans l'Astronomie que la méthode exposée cidessus peut être employée avec avantage. Les Tables astronomiques doivent l'exactitude vraiment étonnante qu'elles ont atteinte à la précision des observations et des théories et à l'usage des équations de condition, qui font concourir un grand nombre d'excellentes observations a la correction d'un même élément. Mais il restait à déterminer la probabilité des erreurs que cette correction laisse encore à craindre : c'est ce que la méthode que je viens d'exposer fait connaître. Pour en donner quelques applications intéressantes, j'ai profité de l'immense travail que Bouvard vient de terininer sur les mouvements de Jupiter et de Saturne, dont il a construit des Tables très précises. 11 a discuté avec le plus grand soin les oppositions et les quadratures de ces deux planètes, ohser\'ées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi, jusqu'à ces dernières années; il en a conclu les corrections des éléments de leur mouvement et leurs masses comparées à celle du Soleil, prise pour unité. Ses calculs lui donnent la masse de Saturne égale à la 35i2* partie de celle du Soleil. En leur appliquant mes formules de probabilité, je trouve qu'il y a onze mille à parier contre un que l'erreur de ce résultat n'est pas un centième de sa valeur, ou, ce qui revient à très peu près au même, qu'après un siècle de nouvelles observations ajoutées aux précédentes et discutées de la même manière, le nouveau résultat ne différera pas d'un centième de celui de Bouvard.
INTRODUCTION. «i
mesure des angles, les erreurs inévitables peuvent, en s'accumula ni, écarter sensiblement (le la vérité la valeur de l'arc que l'on a conclu d'un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu'imparfaitement cette valeur, si l'on ne peut pas assigner la probabilité que son erreur est comprise dans des limites données. L'erreur d'un résultat géodesique est une fonction des erreurs des angles de chaque triangle. J'ai donné, dans l'Ouvrage cité, des formules générales pour avoir la probabilité des valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires d'un grand nombre d'erreurs partielles dont on connaît la loi de probabilité; on peut donc, au moyen de ces formules, déterminer la probabilité que l'erreur d'un résultat géodésique est contenue dans des limites assignées, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs partielles. 11 est d'autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi que les lois les plus simples sont toujours infiniment peu probables, vu le nombre inBni de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue des erreurs partielles introduit dans les formules une indéterminée, qui ne permettrait point de les réduire en nombres, si l'on ne parvenait pas à l'éliminer. On a vu que, dans les questions astronomiques, où chaque observation fournit une équation de condition pour avoir les éléments, on élimine celte indéterminée au moyen de ta somme des carrés des restes, lorsqu'on a substitué dans chaque équation les valeurs les plus probables des éléments. Les questions géodésiques n'olTrant point de semblables équations, il faut chercher un autre moyen d'élimination. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle observé surpasse deux angles droits plus l'excès sphérique fournit ce moyen. Ainsi l'on remplace par la somme des carrés de ces quantités la somme des carrés des restes des équations de condition, et l'on peut assigner en nombres la probabilité que l'erreur du résultat final d'une suite d'opérations géodésiques n'excède pas une quantité donnée. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de répartir entre les trois angles de chaque triangle la somme observée de leurs erreurs? L'Analyse des proho'»''''"'; fait voir que chaque iiiigli' doit être diminué du tiers <lc cette * que !<■ poids d'un ré-
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sultat géodésique soit le plus grand qu'il est possible, ce qui rend une même erreur moins probable. Il y a donc beaucoup d'avantage à observer les trois angles de chaque triangle et à les corriger comme on vient de le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage; mais le Calcul des Probabilités peut seul l'apprécier et faire voir que, par cette correction, il devient le plus grand qu'il est possible.
Pour s'assurerde l'exactitude de la valeur d'un grand arc qui s'appuie »ur une base mesurée à l'une de ses extrémités, on mesure une seconde base vers l'autre extrémité, et l'on conclut de l'une de ces bases la longueur de l'autre. Si cette longueur s'écarte très peu de l'observation, il y a tout lieu de croire que la chaîne des triangles qui unit ces bases est exacte à fort peu près, ainsi que ta valeur du grand arc qui en résulte. On corrige ensuite cette valeur, en modifiant les angles des triangles de manière que les bases calculées s'accordent avec les bases mesurées. Mais cela peut se faire d'une inflnité de manières, parmi lesquelles on doit préférer celle dont le résultat géodésique a le plus grand poids, puisque la même erreur devient moins probable. L'Analyse des Probabilités donne des formules pour avoirdJrectement la correction la plus avantageuse qui résulte des mesures de plusieurs bases et les lois de probabilité que fait naître la multiplicité des bases, lois qui deviennent plus rapidement décroissantes par cette multiplicité.
Généralement, les erreurs des résultats déduits d'un grand nombre d'observations sont des fonctions linéaires des erreurs partielles de chaque observation. Les coeflicients de ces fonctions dépendent de la nature du problème et du procédé suivi pour obtenir les résultats. Le procédé le plus avantageux est évidemment celui dans lequel une
INTRODUCTION. lxiii
probabilité des erreurs partielles, on pourra évaluer numériquement la probabilité que les erreurs des résultats n'excèdent pas une quantité donnée. On aura ainsi tout ce que l'on peut désirer touchant les résultats déduits d'un grand nombre d'observations.
On peut encore obtenir des résultats fort approchés par d'autres considérations. Supposons, par exemple, que Ton ait mille et une observations d'une même grandeur. La moyenne arithmétique de toutes ces observations est le résultat donné par la méthode la plus avantageuse. Mais on pourrait choisir le résultat d'après la condition que la somme de ses écarts de chaque valeur partielle, pris tous positivement, soit un minimum. Il parait, en effet, naturel de regarder comme très approché le résultat qui satisfait à cette condition. Il est facile de voir que, si l'on dispose les valeurs données par les observations suivant l'ordre de grandeur, la valeur qui occupera le milieu remplira la condition précédente, et le calcul fait voir que, dans le cas d'un nombre infini d'observations, elle coïnciderait avec la vérité. Mais le résultat donné par la méthode la plus avantageuse est encore préférable.
La considération des probabilités peut servir à démêler les petites inégalités des mouvements célestes, enveloppées dans les erreurs des observations, et à remonter à la cause des anomalies observées dans ces mouvements. Ce fut en comparant entre elles toutes ses observations que Tycho Brahe reconnut la nécessité d'appliquer à la Lune une équation du temps différente de celle que l'on appliquait au Soleil et aux planètes. Ce fut pareillement l'ensemble d'un grand nombre d'observations qui fit connaître à Mayer que le coefficient de l'inégalité de la précession doit être un peu diminué pour la Lune. Mais, comme cette diminution, quoique confirmée et même augmentée par Mason, ne paraissait pas résulter de la gravitation universelle» la plupart des astronomes la négligèrent dans leurs calculs. Ayant soumis au Calcul des Probabilités un nombre considérable d'observations lunaires, choisies dans cette vue, et que Bouvard voulut bien discuter à ma prière, elle me parut indiquée avec une probabilité si forte que je crus devoir en rechercher la cause. Je vis bientôt qu'elle ne pouvait être que l'ellip-
tsiï INTRODUCTION.
ticité du sphéroïde terrestre, négligée jusqu'alors dans la théorie du mouvement lunaire, comme ne devant y produire que des termes insensibles. J'en conclus que ces termes deviennent sensibles par les intégrations successives des équations différentielles. Je déterminai donc ces termes par une analyse particulière, et Je découvris d'abord l'inégalité du mouvement lunaire en latitude, qui est proportionnelle iiu sinus de la longitude de la Lune et qu'aucun astronome n'avait encore soupçonnée. Je reconnus ensuite, au moyen de cette inégalité, qu'il en existe une autre dans le mouvement lunaire en longitude, qui produit la diminution observée par Mayer dans l'équation de ta précession, applicable à la Lune. La quantité de cette diminution et le coef- Hcient de l'inégalité précédente en latitude sont très propres à 6xer l'aplatissement de la Terre. Ayant fait part de mes recherches à Bùrg, qui s'occupait alors à perfectionner les Tables de la Lune par la comparaison de toutes les bonnes observations, je le priai de déterminer avec un soin particulier ces deux quantités. Par un accord très remarquable, les valeurs qu'il a trouvées donnent à la Terre le même aplatissement, j^, aplatissement qui diffère peu du milieu conclu des mesures des degrés du méridien et du pendule, mais qui, vu l'influence des erreurs des observations et des causes perturbatrices sur ces mesures, me parait plus exactement déterminé par ces inégalités lunaires. Ce fut encore par la considération des probabilités que je reconnus la cause de l'équation séculaire de la Lune. Les observations modernes de cet astre, comparées aux anciennes éclipses, avaient indiqué aux astronomes une accélération dans le mouvement lunaire; mais lesgéomètrcs, et particulièrement Lagrange, ayant inutilement cherché, dans
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de l'orbe terrestre; ce qui me fit découvrir les équations séculaires des mouvements des nœuds et du périgée de l'orbite lunaire, équations qui n'avaient pas même été soupçonnées par les astronomes. L'accord très remarquable de cette théorie avec toutes les observations anciennes et modernes l'a portée au plus haut degré d'évidence.
Le Calcul des Probabilités m'a conduit pareillement à la cause des grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne. En comparant les observations modernes aux anciennes, Halley trouva une accélération dans le mouvement de Jupiter et un ralentissement dans celui de Saturne. Pour concilier les observations, il assujettit ces mouvements à deux équations séculaires de signes contraires, et croissantes comme les carrés des temps écoulés depuis 1700. Euler et Lagrange soumirent à l'Analyse les altérations que devait produire dans ces mouvements l'attraction mutuelle des deux planètes. Ils y trouvèrent des équations séculaires; mais leurs résultats étaient si différents que l'un deux au moins devait être erroné. Je me déterminai donc à reprendre ce problème important de la Mécanique céleste, et je reconnus l'invariabilité des moyens mouvements planétaires, ce qui fit disparaître les équations séculaires introduites par Halley dans les Tables de Jupiter et de. Saturne. Il ne restait ainsi, pour expliquer les grandes irrégularités de ces planètes, que les attractions des comètes, auxquelles plusieurs astronomes eurent effectivement recours, ou l'existence d'une inégalité à longue période, produite dans les mouvements des deux planètes par leur action réciproque et affectée de signes contraires pour chacune d'elles. Un théorème que je trouvai sur les inégalités de ce genre me, rendit cette inégalité très vraisemblable. Suivant ce théorème, si le mouvement de Jupiter s'accélère, celui de Saturne se ralentit, ce qui est déjà conforme à ce que Halley avait remarqué; de plus l'accélération de Jupiter, résultant du même théorème, est au ralentissement de Saturne à très peu près dans le rapport des équations séculaires proposées par Halley. En considérant les moyens mouvements de Jupiter et de Saturne, il me fut aisé de reconnaître que deux fois celui de Jupiter ne surpasse que d'une très petite quantité, cinq fois celui de
OFAivreM de L. — VII. Q
txn INTRODUCTION.
Saturne. La période d'une inégalité qui aurait cet argument sérail d'environ neuf siècles. A la vérité, son coefficient serait de l'oMre des cubes des excentricités des orbites; mais je savais qu'en vertu des intégrations successives, il acquiert pour diviseur le carré du très petit multiplicateur du temps dans l'argument de cette inégalité, ce qui peut lui donner une grande valeur; l'existence de cette inégalité me parut donc très probable. La remarque suivante accrut encore sa probabilité. En supposant son argument nul vers l'époque des observations de Tycho Brahe. je vis que Halley avait dû trouver, par la comparaison des observations modernes aux anciennes, les altérations qu'il avait indiquées, tandis que la comparaison des observations modernes entre elles devait offrir des altérations contraires et pareilles k celles que Lambert avait conclues de cette comparaison. Je n'hésitai donc point à entreprendre le calcul long et pénible, nécessaire pour m'assurer de l'existence de cette inégalité. Elle fut entièrement confirmée par le résultat de ce calcul, qui, de plus, me fit connaître un grand nombre d'autres inégalités dont l'ensemble a porté les Tables de Jupiter et de Saturne à la précision des observations mêmes.
Ce fut encore au moyen du Calcul des Probabilités que je reconnus la loi remarquable des mouvements moyens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant laquelle la longitude moyenne du premier. moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est rigoureusement égale à la demi -circonférence. L'approximatiori avec laquelle les moyens mouvemcnls de ces astres satisfont à cette loi depuis leur découverte indiquait son existence avec une vraisemblance extrême; j'en cberchai donc la cause dans leur action mutuelle. L'exa-
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Od voit par là combien il faut être attentif aux indications de la nature, lorsqu'elles sont le résultat d'un grand nombre d'observations, quoique d'ailleurs elles soient inexplicables par les moyens connus. L'extrême difficulté des problèmes relatifs au Système du monde a forcé les géomètres de recourir à des approximations qui laissent toujours à craindre que les quantités négligées n'aient une influence sensible. Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence par les observations, ils sont revenus sur leur analyse; en la rectifiant, ils ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées; ils en ont déterminé les lois, et souvent ils ont devancé l'observation, en découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore indiquées. Ainsi l'on peut dire que la nature elle-même a concouru à la perfection analytique des théories fondées sur le principe de la pesanteur universelle, et c*est, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce principe admirable.
L'un des phénomènes les plus remarquables du Système du monde est celui de tous les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites dans le sens de la rotation du Soleil et à peu près dans le plan de son équateur. Un phénomène aussi remarquable n'est point l'eflet du hasard; il indique une cause générale qui a déterminé tous ces mouvements. Pour avoir la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée, nous observerons que le système planétaire, tel que nous le connaissons aujourd'hui, est composé de onze planètes et de dix-huit satellites, du moins si l'on attribue, avec Herschel, six satellites à la planète Uranus. On a reconnu les mouvements de rotation du Soleil, de six planètes, de la Lune, des satellites de Jupiter, de l'anneau de Saturne et d'un de ses satellites. Ces mouvements forment, avec ceux de révolution, un ensemble de quarante-trois mouvements dirigés dans le même sens; or on trouve, par l'Analyse des Probabilités, qu'il y a plus de quatre mille milliards à parier contre un que cette disposition n'est pas l'eflet du hasard, ce qui forme une probabilité bien supérieure à celle des événements historiques sur lesquels on ne se permet aucun doute. Nous devons donc croire, au moins avec la même confiance, qu'une cause primitive a dirigé les mouvements pla-
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nétaires, surtout si nous considérons que l'inclinaison du plus graoi
nombre de ces mouvements à l'équateur solaire est fort petite.
Un autre phénomène également remarquable du système solaire es le peu d'excentricité des orbes dos planètes et des satellites, tandit que ceux dos comètes sont très allongés, les orbes de ce système n'of n-ant point de nuances intermédiaires entre une grande et une petite excentricité. Nous sommes encore forcés de reconnaître ici Teffet d'une cause régulière; le hasard n'oùt point donné une forme presque circulaire aux orbes de toutes les planètes et de leurs satellites; il est donc nécessaire que la cause qui a déterminé les mouvements de ces corps les ait rendus presque circulaires. Il faut encore que les grandes excentricités des orbes des comètes résultent de l'existence de cette cause, sans qu'elle ait influé sur les diroctioDS de leurs mouvements ; car un trouve qu'il y a presque autant de comètes rétrogrades que de comètes directes, et que l'inclinaison moyenne de tous leurs orbes à l'écliptique approche très près d'un demi-angle droit, comme cela doit être si ces corps ont été lancés anbasard.
Quelle que soit la nature de la cause dont il s'agit, puisqu'elle a produit ou dirigé les mouvements des planètes, il faut qu'elle ait embrassé tous CCS corps, et, vu les distances qui les séparent, elle ne peut avoir été qu'un fluide d'une immense étendue ; pour leur avoir donné, dans le même sens, un mouvement presque circulaire autour du Soleil, il faut que ce fluide ait environné cet astre comme une atmosphère. La considération des mouvements planétaires nous conduit donc à penser qu'en vertu d'une chaleur excessive, l'atmosphère du Soleil s'est primitivement étendue au delà des orbes de toutes les pta-
liniil..
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imaginer leur état antérieur de nébulosité précédé lui-même par d'autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en plus diffuse, le noyau étant de moins en moins lumineux et dense. On arrive ainsi, en remontant aussi loin qu'il est possible, à une nébulosité tellement diffuse que Ton pourrait à peine en soupçonner l'existence.
Tel est, en effet, le premier état des nébuleuses que Herschel a observées avec un soin particulier au moyen de ses puissants télescopes, et dans lesquelles il a suivi les progrès de la condensation, non sur une seule, ces progrès ne pouvant devenir sensibles pour nous qu'après des siècles, mais sur leur ensemble, à peu près comme on peut, dans une vaste forêt, suivre l'accroissement des arbres sur les individus de divers âges qu'elle renferme. Il a d'abord observé la matière nébuleuse répandue en amas divers, dans les différentes parties du ciel dont elle occupe une grande étendue. Il a vu, dans quelques-uns de ces amas, cette matière faiblement condensée autour d'un ou de plusieurs noyaux peu brillants. Dans d'autres nébuleuses, ces noyaux brillent davantage relativement à la nébulosité qui les environne. Les atmosphères de chaque noyau venant à se séparer par une condensation ultérieure, il en résulte des nébuleuses multiples formées de noyaux brillants très voisins et environnés chacun d'une atmosphère; quelquefois la matière nébuleuse, en se condensant d'une manière uniforme, a produit les nébuleuses que l'on nomme planétaires. Enfin un plus grand degré de condensation transforme toutes ces nébuleuses en étoiles. Les nébuleuses, classées d'après cette vue philosophique, indiquent avec une extrême vraisemblance leur transformation future en étoiles et l'état antérieur de nébulosité des étoiles existantes. Les considérations suivantes viennent à l'appui des preuves tirées de ces analogies.
Depuis longtemps la disposition particulière de quelques étoiles visibles à la vue simple a frappé des observateurs philosophes. Mitchell a déjà remarqué combien il est peu probable que les étoiles des Pléiades, par exemple, aient été resserrées dans l'espace étroit qui les renferme par les seules chances du hasard, et il en a conclu que ce groupe d'étoiles et les groupes semblables que le ciel nous présente sont les
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effets d'une cause primitive ou d'une loi générale de la nature. Gea groupes sont un résultat nécessaire de ta condensation des uébuleiues à plusieurs noyaux; car il est visible que, la matière nébuleuse étant sans r«sse attirée par ces noyaux divers, ils doivent former à la longue un groupe d'étoiles, pareil à celui des Pléiades. La condensation des nébuleuses à deux noyaux forme semblablement des étoiles très rapprochées tournant l'une autour de l'autre, pareilles à celles dont Herschcl a déjà considéré les mouvements respectifs. Telles sont encore la soixante-unième du Cygne et sa suivante, dans lesquelles Bessel vient de rcconnaitre des mouvements propres, si considérables et si peu différents, que la proximité de ces astres entre eux et leur mouvement autour de leur centre commun de gravité ne doivent laisser aucun doute. Ainsi l'on descend par les progrès de condensation de la matière nébuleuse à la considération du Soleil environné autrefois d'une vaste atmosphère, considération à laquelle on remonte, comme on l'a vu, par l'examen des phénomènes du système solaire. Une rencontre aussi remarquable donne à l'existence de cet état antérieur du Soleil une prohabilité fort approchante de la certitude.
Mais comment l'atmosphère solaire a-t-elle déterminé les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites? Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère, sa résistance les aurait fait tomber sur le Soleil ; on est donc conduit à croire, avec beaucoup de vraisemblance, que les planètes ont été formées aux limites successives de l'atmosphère solaire, qui, en se resserrant par le refroidissement, a dû abandonner dans le plan de son équateur des zones de vapeurs que l'attraction mutuelle de leurs molécules a chanffées en divers sphéroïdes.
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en systèmes solaires et formées par la condensation de la matière nébuleuse répandue avec tant de profusion dans Tunivers. Les comètes seraient ainsi, par rapport à notre système, ce que les aérolithes sont relativement à la Terre, à laquelle ils paraissent étrangers. Lorsque ces astres deviennent visibles pour nous, ils offrent une ressemblance si parfaite avec les nébuleuses, qu'on les confond souvent avec elles, et ce n'est que par leur mouvement ou par la connaissance de toutes les nébuleuses renfermées dans la partie du ciel où ils se montrent, qu'on parvient à les en distinguer. Cette supposition explique d'une manière heureuse la grande extension que prennent les têtes et les queues des comètes, à mesure qu'elles approchent du Soleil, et l'extrême rareté de ces queues qui, malgré leur immense profondeur, n'affaiblissent point sensiblement l'éclat des étoiles que l'on voit à travers.
Lorsque de petites nébuleuses parviennent dans la partie de l'espace où l'attraction du Soleil est prédominante, et que nous nommerons tphèrt d'actmté de cet astre, il les force à décrire des orbes elliptiques ou hyperboliques. Mais leur vitesse étant également possible suivant toutes les directions, elles doivent se mouvoir indifféremment dans tous les sens et sous toutes les inclinaisons à l'écliptique, ce qui est conforme à ce qu'on observe.
La grande excentricité des orbes cométaires résulte encore de l'hypothèse précédente. En effet, si ces orbes sont elliptiques, ils sont très allongés, puisque leurs grands axes sont au moins égaux au rayon de la sphère d'activité du Soleil. Mais ces orbes peuvent être hyperboliques, et si les axes de ces hyperboles ne sont pas très grands par rapport à la moyenne distance du Soleil à la Terre, le mouvement des comètes qui les décrivent paraîtra sensiblement hyperbolique. Cependant, sur cent comètes dont on a déjà les éléments, aucune n'a paru certainement se mouvoir dans une hyperbole ; il faut donc que les chances qui donnent une hyperbole sensible soient extrêmement rares par rapport aux chances contraires.
Les comètes sont si petites que, pour devenir visibles, leur distance périhélie doit être peu considérable. Jusqu'à présent cette distance n'a
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surpassé que deux fois le diamètre de l'orbe terrestre, et le plus souvent elle a été au-dessous du rayon de cet orbe. On conçoit que pour approcher si près du Soleil, leur vitesse au moment de leur entrée dans sa spbère d'activité doit avoir une grandeur et une direction comprises dans d'étroites limites. En déterminant par l'analyse des probabilités le rapport des chances qui, dans ces limites, donnent une hyperbole sensible, aux chances qui donnent un orbe que l'on puisse confoodre avec une parabole, j'ai trouvé qu'il y a six mille au moins à parier contre l'unité qu'une nébuleuse qui pénètre dans la sphère d'activité du Soleil de manière à pouvoir élrc observée décrira ou une ellipse très allongée, ou une hyperbole qui par la grandeur de son axe se confondra sensiblement avec une parabole, dans la partie que l'on observe; il n'est donc pas surprenant que jusqu'ici l'on n'ait point reconnu de mouvements hyperboliques.
L'attraction des planètes, et peul-clre encore la résistance des milieux éthérés, a dû changer plusieurs orbes cométairos dans des ellipses dont le grand axe est moindre que le rayon de la spbèrc d'activité du Soleil, ce qui augmente les chances des orbes elliptiques. On peut croire que ce changement a eu lieu pour la comète de 1759 et pour quelques autres dont on a constaté la révolution.
Je vais présentement considérer la Terre et les fluides qui la recouvrent. Le phénomène qui peut répandre le plus de lumière sur la régularité de ses couches est la variation de la pesanteur à sa surface. On détermine cette variation soit en transportant dans des lieux divers le même pendule, et en comptant le nombre de ses oscillations dans un temps donné, soit en y mesurant directement la longueur du pendule à nlo3. Ccri expi-riiMicfs sotiI Cacilcs el niriiiUi.'n;iiil sUMviiliMrs d'r
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rence sensible, ou du moins qui ne puisse être attribuée aux erreurs des observations. Si l'on prend pour unité la longueur du pendule a secondes à l'équateur, Tensemble de ces observations donne cinquantequatre dix-milliëmcs pour le coefficient du terme proportionnel au carré du sinus de latitude. Mes formules de probabilité, appliquées à ce résultat, donnent plus de deux mille à parier contre un que le vrai coefficient est compris dans les limites cinq millièmes et six millièmes. Si la Terre est un ellipsoïde de révolution, on a son aplatissement, en retranchant le coefficient de la loi de la pesanteur de 875 cent-millièmes. Le coefûcient cinq millièmes répond ainsi à l'aplatissement 775; il y a donc plus de quatre mille à parier contre un que l'aplatissement de la Terre est au-dessous de cette fraction. Il y a des millions de milliards a parier contre un qu'il est moindre que celui qui répond a l'homogénéité de la Terre, et que les couches terrestres augmentent de densité à mesure qu'elles approchent du centre de cette planète. La régularité de la pesanteur à sa surface prouve qu'elles sont disposées symétriquement autour de ce point. Ces deux conditions, suites nécessaires de l'état fluide, indiquent avec une grande vraisemblance que la Terre entière a eu primitivement cet état, qu'une chaleur excessive a pu seule lui donner, ce qui vient à l'appui de l'hypothèse que nous avons émise sur la formation des corps célestes.
A l'invitation de l'Académie des Sciences, on fit à Brest, au commencement du dernier siècle, des observations de marées, qui furent continuées pendant six années consécutives. La situation de ce port est très favorable à ce genre d'observations. Il communique avec la mer par un canal qui aboutit à une rade fort vaste, au fond de laquelle le port a été construit. Les irrégularités du mouvement de la mer parviennent ainsi dans ce port très affaiblies, à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d'un vaisseau produit dans le baromètre sont atténuées par un étranglement fait au tube de cet instrument. D'ailleurs, les marées étant considérables à Brest, les variations accidentelles causées par les vents n'en sont qu'une faible partie. Aussi l'on remarque, dans les observations de ces marées, une grande
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régularité, que ne doit point altérer la petite rivière qui vient se perdre dans la rade immense de ce port. Frappé de celte régularité, je priai le Gouvernement d'ordonner à Brest une nouvelle série d'observations pendant une période entière du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire : c'est ce que l'on a bien voulu faire. Ces observations datent du i^'juin 1806, et depuis cette époque elles ont été continuées sans interruption jusqu'à ce jour, ce qui excède déjà la moitié de la période dont je viens de parler. Elles m'olTraient une occasion trop favorable d'appliquer mes formules de probabilité à l'un des plus grands phéDOmènes de la nature, pour ne pas la saisir : j'ai trouvé qu'elles indiquaient, avec une extrême probabilité, les lois des hauteurs et des intervalles des marées, relatives aux phases de la Lune, aux saisons et aux distances de la Lune et du Soleil à la Terre. Ces observations présentent à cet égard le plus parfait accord avec les observations faites un siècle auparavant. Elles s'accordent également bien avec la loi générale de la pesanteur, à laquelle on eàt pu remonter par leur seul moyen.
La tbéorie des marées, que j'ai donnée d'après cette loi, dans le Livre IV de la Mécanique céleste, repose sur un principe de Dynamique, qui la rend très simple et indépendante des circonstances locales du port, circonstances trop compliquées pour qu'il soit possible de tes soumettre au calcul. Au moyen de ce principe, elles entrent comme arbitraires dans les résultats de l'Analyse, qui doivent ainsi représenter les observations, si la gravitation universelle est en elTet la véritable cause du flux et du reflux de la mer. Voici quel est ce principe, qui peut s'appliquer à beaucoup d'autres phénomènes : L'état d'un système de corps, dans lequelles conditions primitives du mouvement
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sentées par cette expression, avec une singulière exactitude. L'une de ces modifications les plus remarquables est le retard d'un jour et demi des plus grandes et des plus petites marées sur les instants des syzygies et des quadratures. L'expression dont il s'agit fait voir qu'il dépend de la rapidité du mouvement de l'astre qui agit sur l'Océan, combinée avec les circonstances locales, et que la même cause produit à Brest un accroissement dans le rapport des actions du Soleil et de la Lune. L'Analyse fournit divers moyens pour déterminer cet accroissement par les observations, qui le donnent égal à un huitième à peu près du vrai rapport.
L'action du Soleil et de la Lune produit sans doute dans notre atmosphère, qu'elle traverse pour arriver à l'Océan, des oscillations analogues k celles du flux et du reflux. Mais elles sont très faibles, et, pour les démêler au milieu des mouvements de l'atmosphère, il faudra une longue suite d'observations faites avec d'excellents baromètres, principalement à Téquateur, où les changements irréguliers de l'atmosphère sont peu considérables.
Le principe qui sert de base à ma théorie des marées peut, en le généralisant, s'étendre à tous les effets du hasard auquel se joignent des causes variables suivant des lois régulières. L'action de ces causes produit, dans les résultats d'un grand nombre d'effets, des variétés qui suivent les mêmes lois et que l'on peut reconnaître par l'Analyse des Probabilités; à mesure que les effets se multiplient, ces variétés se manifestent avec une probabilité toujours croissante, et qui se confondrait avec la certitude, si le nombre des effets était infini. Ce théorème est analogue à celui que j'ai développé précédemment sur l'action des causes constantes. Toutes les fois donc que nous voyons qu'une cause, dont la marche est régulière, peut influer sur un genre d'événements, nous pouvons chercher à reconnaître son influence en multipliant les observations, et, quand cette influence paraît se manifester, l'Analyse des Probabilités détermine la probabilité de son existence et celle de son intensité. Ainsi, la variation de la température du jour à la nuit pouvant modifier la pression de l'atmosphère et par conséquent les
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hauteurs du baromètre, il est naturel de penser que des observations multipliées de ces hauteurs doivent manifester l'influence de la chaleur solaire. En effet, on a depuis longtemps reconnu à l'équateur, où cette influence parait être la plus grande, une petite variation diurne du baromètre, dont le maximum a lieu vers 9 heures du matin et le minimum vers 4 heures du soir. Un second maximum a lien vers Il heures du soir et le second minimum vers 4 heures du matin. Les oscillations de la nuit sont moindres que celles du jour, dont l'étendue est de deux millimctres. L'inconstance de nos climats n'a point dérobé cette variation à nos observateurs, quoiqu'elle y soit moins sensible qu'entre les tropiques. En appliquant les formules de probabilité aux observations nombreuses et précises faites parRamond pendant plusieurs années consécutives, on voit qu'elles indiquent l'existence de ce phénomène avec une extrême probabilité. Ces observations lui ont fait découvrir encore une variation dans le baromètre, dépendante des saisons. Il trouve sa hauteur moyenne de chaque mois, à son premier maximum peu après le solstice d'hiver, et à son premier minimum en avril; un second maximum a lieu vers le solstice d'été, et le second minimum en septembre. L'Analyse nous montre que ces résultats sont déjà indiqués avec vraisemblance; ils sont confirmés d'ailleurs par d'autres observations. La suite des temps fera connaître si les mois des plus grandes et des plus petites hauteurs sont les mêmes dans les climats divers. Ces variations annuelles et diurnes du baromètre sont dues sans doute, ainsi que les vents alizés et les moussons, à la chaleur solaire combinée avec le mouvement de rotation de la Terre. Mais il est presque impossible de soumettre au calcul des effets
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électricité que développe le contact de deux métaux hétérogènes, ce qui a ouvert un champ vaste aux recherches des physiciens et des chimistes. Les phénomènes singuliers qui résultent de l'extrême sensibilité des nerfs dans quelques individus ont donné naissance à diverses opinions sur l'existence d'un nouvel agent, que l'on a nommé magnétisme animal, sur l'action du magnétisme ordinaire, et sur l'influence du Soleil et de la Lune, dans quelques affections nerveuses, enfin sur les impressions que peut faire éprouver la proximité des métaux ou d'une eau courante. Il est naturel de penser que l'action de ces causes est très faible, et qu'elle peut être facilement troublée par des circonstances accidentelles; ainsi, parce que dans quelques cas elle ne s'est point manifestée, on ne doit pas rejeter son existence. Nous sommes si loin de connaître tous les agents de la nature et leurs divers modes d'action qu'il serait peu philosophique de nier les phénomènes, uniquement parce qu'ils sont inexplicables dans l'état actuel de nos connaissances. Seulement, nous devons les examiner avec une attention d'autant plus scrupuleuse qu'il parait plus difficile de les admettre, et c'est ici que le Calcul des Probabilités devient indispensable pour déterminer jusqu'à quel point il faut multiplier les observations ou les expériences, afin d'obtenir en faveur des agents qu'elles indiquent une probabilité supérieure aux raisons que l'on peut avoir d'ailleurs de ne pas les admettre.
Le Calcul des Probabilités peut faire apprécier les avantages et les inconvénients des méthodes employées dans les sciences conjecturales. Ainsi, pour reconnaître le meilleur des traitements en usage dans la guérison d'une maladie, il suffit d'éprouver chacun d'eux sur un même nombre de malades, en rendant toutes les circonstances parfaitement semblables; la supériorité du traitement le plus avantageux se manifestera de plus en plus, à mesure que ce nombre s'accroîtra, et le calcul fera connaître la probabilité correspondante de son avantage, et du rapport suivant lequel il est supérieur aux autres.
tixTiii INTRODUCTION.
Application du Calcul des ProbabiUtés aux sciences morales.
On vient de voir les avantages qu'offre l'Analyse des Probabilités, dans la recherche des lois des phénomènes naturels dont les causes sont inconnues, ou trop compliquées pour que leurs effets puissent être soumis au calcul. C'est le cas de presque tous les objets des scieDces morales. Tant de causes imprévues, ou cachées, ou inappréciables influent sur les institutions humaines, qu'il est impossible d'en juger a priori les résultais. La série des événements que le temps amène développe ces résultats et indique les moyens de remédier à ceux qui sont nuisibles. On a souvent fait à cet égard des lois sages; mais. parce que l'on avait négligé d'en conserver les motifs, plusieurs ont été abrogées comme inutiles, et il a fallu, pour les rétablir, que de fâcheuses expériences en aient fait de nouveau sentir le besoin. Il est donc bien important de tenir, dans chaque branche de l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont produits les divers moyens dont on a fait usage, et qui sont autant d'expériences faites en grand par les gouvernements. Appliquons aux sciences politiques et morales la méthode fondée sur l'observation et sur le calcul, méthode qui nous a si bien servi dans les sciences naturelles. N'opposons point une résistance inutile et souvent dangereuse aux effets inévitables du progrès des lumières; mais ne changeons qu'avec une circonspection extrême nos institutions et les usages auxquels nous sommes depuis longtemps plies. Nous connaissons bien, par l'expérience du passé, les inconvénients qu'ils présentent; mais nous ignorons quelle est l'étendue des
INTRODUCTION. uxix
De la Probabilité des témoignages.
La plupart de nos jugements étant fondés sur la probabilité des témoignages, il est bien important de la soumettre au calcul. La chose, il est vrai, devient souvent impossible, par la difficulté d'apprécier la véracité des témoins, et par le grand nombre de circonstances dont les faits qu'ils attestent sont accompagnés. Mais on peut, dans plusieurs cas, résoudre des problèmes qui ont beaucoup d'analogie avec les questions qu'on se propose, et dont les solutions peuvent être regardées comme des approximations propres à nous guider et à nous garantir des erreurs et des dangers auxquels de mauvais raisonnements nous exposent. Une approximation de ce genre, lorsqu'elle est bien conduite, est toujours préférable aux raisonnements les plus spécieux. Essayons donc de donner quelques règles générales pour y parvenir.
On a extrait un seul numéro d'une urne qui en renferme mille. Un témoin de ce tirage annonce que le n^ 79 est sorti ; on demande la probabilité de cette sortie. Supposons que l'expérience ait fait connaître que ce témoin trompe une fois sur dix, en sorte que la probabilité de son témoignage soit -^. Ici, l'événement observé est le témoin attestant que le n** 79 est sorti. Cet événement peut résulter des deux hypothèses suivantes, savoir que le témoin énonce la vérité, ou qu'il trompe. Suivant le principe que nous avons exposé sur la probabilité des causes, tirée des événements observés, il faut d'abord déterminer a priori la probabilité de l'événement dans chaque hypothèse. Dans la première, la probabilité que le témoin annoncera le n° 79 est la probabilité même de la sortie de ce numéro, c'est-à-dire i^. Il faut la multiplier par la probabilité ^ de la véracité du témoin ; on aura donc j^^ pour la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Si le témoin trompe, le n® 79 n'est pas sorti, et la probabilité de ce cas est j^. Mais, pour annoncer la sortie de ce numéro, le témoin doit le choisir parmi les 999 numéros non sortis, et^ comme il est sup-
Lwx INTRODUCTION.
posé n'avoir aucun motif de prcfiToncc pour les uns plutôt que pour les autres, la probabilité qu'il choisira le o" 79 est ~; en multipliant donc cette probabilité par la précédente, on aura -^ pour la probabilité que le témoin annoncera le n" 79 dans la seconde hypotlièse. Il faut encore multiplier cette probabilité par la probabilité î', de l'Iiypo- Ihèse elle-même, ce qui donne —su pour la probabilité de l'événement relative à cette hypothèse. Présentement, si l'on forme une fraction dont le numérateur soU In probabilité relative à la première hypothèse. et dont te dénominateur soit la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses, on aura, par le sixième principe, la probabilité de la première hypothèse, et cette probabilité sera -*;,, c'est-àMlire la véracité même du témoin. C'est aussi la prohabilité de la sortie du n" 79. La probabilité du mensonge du témoin et de la non-sortie de ce numéro
Si le témoin, voulant tromper, avait quelque intérêt à choisir le n" 79 parmi les numéros non sortis, s'il jugeait, par exemple, (ju'ayant placé sur ce numéro une mise considérable, l'annonce de sa sortie augmentera son crédit, la probabilité qu'il choisira ce numéro ne sera plus, comme auparavant, ^ij^; elle pourra être alors J, j, elc, stii%ant l'intérêt qu'il aura d'annoncer sa sortie. En la supposant i, il faudra multiplier par cette fraction la probabilité "^ pour avoir, dans l'hypothèse du mensonge, la probabilité de révénomcnt observé, qu'il faut encore multiplier par ^, ce qui donne ~- pour la [)rohabilité de l'événement dans la seconde hypothèse. Alors la prubahilité de la première hypothèse, ou de la sortie du n" 79, se réduit, par ta règle précédente, à jf^. Elle est donc très affaiblie par la considération de l'inttT'H iiiic Ir Irninin pcirt ;ivnif ii arTrcHM-iT 1;! M.rllc du rt" -'j. A l:i
INTRODUCTION. uxxi
divisée parle nombre des numéros de l'urne; elle se transforme, en vertu du témoignage, dans la véracité même du témoin ; elle peut donc être affaiblie par ce témoignage. Si, par exemple, Turne ne renferme que deux numéros, ce qui donne ^ pour la probabilité a priori de la sortie du n® i , et si la véracité d'un témoin qui l'annonce est j^, cette sortie en devient moins probable. En effet, il est visible que, le témoin ayant alors plus de pente vers le mensonge que vers la vérité, son témoignage doit diminuer la probabilité du fait attesté, toutes les fois que cette probabilité égale ou surpasse ^. Mais, s'il y a trois numéros dans l'urne, la probabilité a priori de la sortie du n^ i est accrue par l'affirmation d'un témoin dont la véracité surpasse {.
Supposons maintenant que l'urne renferme 999 boules noires et une boule blanche, et qu'une boule en ayant été extraite, un témoin du tirage annonce que cette boule est blanche. La probabilité de l'événement observé, déterminée a priori dans la première hypothèse, sera ici, comme dans la question précédente, égale à 70^. Mais, dans l'hypothèse où le témoin trompe, la boule blanche n'est pas sortie, et la probabilité de ce cas est^^. Il faut la multiplier par la probabilité ^^ du mensonge, ce qui donne 7^ pour la probabilité de l'événement observé, relative à la seconde hypothèse. Cette probabilité n'était que j^^dans la question précédente; cette grande différence tient à ce qu'une boule noire étant sortie, le témoin qui veut tromper n'a point de choix à faire parmi les 999 boules non sorties, pour annoncer la sortie d'une boule blanche. Maintenant, si l'on forme deux fractions dont les numérateurs soient les probabilités relatives à chaque hypothèse, et dont le dénominateur commun soit la somme de ces probabilités, on aura 7^ pour la probabilité de la première hypothèse et de la sortie d'une boule blanche, et -^ pour la probabilité de la seconde hypothèse et de la sortie d'une boule noire. Cette dernière probabilité est fort approchante de la certitude : elle en approcherait beaucoup plus encore, et deviendrait <VoVoV>> s* Turne renfermait un million de boules, dont une seule serait blanche, la sortie d'une boule blanche devenant alors beaucoup plus extraordinaire. On voit ainsi cof"»"'*"t
OÊLwresde L VU.
LXKii INTRODUCTION.
ta probabilité du mensonge croit à mesure que le Tait devient pios e
Iraordinaire.
Nous avons supposé jusqu'ici que le témoin ne se trompait pota mais, si l'on admet encore la chance de son erreur, le fait extraord natre devient plus invraisemblable. Alors, au lieu de deux hypothèse: on aura les quatre suivantes, Ravoir : celle du témoin ne trompant poin et ne se trompant point; celle du témoin ne trompant point et se trom pant; l'hypothèse du témoin trompant et ne se trompant point; enfii celle du témoin trompant et se trompant. £n déterminant apriori, dant chacune de ces hypothèses, la probabilité de l'événement observé, de tro.uvc, par le sixième principe, la probabilité que le fait attesté est faux égale à une fraction dont le numérateur est te nombre des boules noires de l'urne, multiplié par la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et se trompe, ou qu'il trompe et ne se trompe point, et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté de la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et ne se trompe point, ou qu'il trompe et se trompe à la fois. On voit par là que, si le nombre des boules noires de l'urne est très grand, ce qui rend extraordinaire la sortie de la boule blanche, la probabilité; que le fait attesté n'est pas approche extrêmement de la certitude.
En étendant cette conséquence à tous les faits extraordinaires, il en résulte que la probabilité de l'erreur ou du mensonge du témoin devient d'autant plus grande que le fait attesté est plus extraordinaire. Quelques auteurs ont avancé le contraire, en se fondant sur ce que, la vue d'un fait ex iraordinaire étant parfaitement semblable à celle d'uo fait ordinaire, les mêmes motifs doiventnous porter à croire également le témoin, quand il affirme l'un ou l'autre de ces faits. Le simple bon
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de ces faits n'offre rien d'invraisemblable. La résurrection de Tindividu est une conséquence de leur ensemble; mais, les témoignages ne portant point directement sur elle, ce qu'elle a d'extraordinaire ne doit point affaiblir la croyance qui leur est due. {Encyclopédie^ art. Certùude.)
Cependant, si la conséquence qui résulte de l'ensemble des témoignages était impossible, l'un d'eux serait nécessairement faux; or une conséquence impossible est la limite des conséquences extraordinaires, comme l'erreur est la limite des invraisemblances; la valeur des témoignages, qui devient ntille dans le cas d'une conséquence impossible, doit donc être très affaiblie dans celui d'une conséquence extraordinaire. C'est, en effet, ce que le Calcul des Probabilités confirme.
Pour le faire voir, considérons deux urnes A et B, dont la première contienne un million de boules blanches, et la seconde un million de boules noires. On tire de l'une de ces urnes une boule que l'on remet dans l'autre, urne dont on extrait ensuite une boule. Deux témoins, l'un du premier tirage et l'autre du second, attestent que la boule qu'ils ont vu extraire est blanche. Chaque témoignage, pris isolément, n'a rien d'invraisemblable, et il est facile de voir que la probabilité du fait attesté est la véracité même du témoin. Mais il suit, de l'ensemble des témoignages, qu'une boule blanche a été extraite de l'urne A au premier tirage, et qu'ensuite, mise dans Turne B, elle a reparu au second tirage, ce qui est fort extraordinaire; car cette seconde urne renfermant alors une boule blanche sur un million de boules noires, la probabilité d'en extraire la boule blanche est rôô^ôôT* ^^^^ déterminer l'affaiblissement qui en résulte dans la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins, nous remarquerons que l'événement observé est ici l'affirmation par chacun d'eux que la boule qu'il a vu extraire est blanche. Représentons par ^ la probabilité qu'il énonce la vérité, ce qui peut avoir lieu dans le cas présent, lorsque le témoin ne trompe point et ne se trompe point, et lorsqu'il trompe et se trompe à la fois. On peut former les quatre, hypothèses suivantes.
LuxiT INTRODUCTION.
1° Le premier et le second témoin disent la vérité. Alors une boule blanche a d'abord été extraite de l'urne A, et la probabilité de cet événement est ^, puisque la boule extraite au premier tirage a pu sortir également de l'une ou de l'autre urne. Ensuite, la boule extraite mise dans l'urne B a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement est Tïî^ôôï! '^ probabilité du fait énoncé est donc „,^„,. En la multipliant par le produit des probabilités ^ et ^ que les témoins disent la vérité, on aura ^n^Vima pour la probabilité de l'événement observé, dans cette première hypothèse.
3° Le premier témoin dit la vérité, et le second ne la dit point, soit qu'il trompe et ne se trompe point, soit qu'il ne trompe point et se trompe. Alors une boule blanche est sortie de l'urne A au premier tirage, et la probabilité de cet événement est ^. Ensuite celte boule ayant été mise dans l'urne B, une boule noire en a été extraite : la probabilité de cette extraction est ■"■^*** ; on a donc ,***°** pour la probabilité de l'événement composé. En la multipliant par le produit des deux probabilités ^ et 70 que le premier témoin dit la vérité et que le second ne la dit point, on aura ,*****^*, pour la probabilité de l'événement observé, dans la seconde hypothèse.
3" Le premier témoin ne dit pas la vérité, et le second l'énonce. Alors une boule noire est sortie de l'urne B au premier tirage, et après avoir été mise dans l'urne A, une boule blanche a été extraite de cette urne. La probabilité du premier de ces événements est \, et celle du second est f*-*-^*||*; la probabilité de l'événement composé est donc ^**°*". En la multipliant par le produit des probabilités -^ et ^, que le premier témoin ne dit pas la vérité et que le second l'énonce, on aura a'"'!*°a P'^"'' '^ probabilité de l'événement observé, relative à cette hypothèse.
4" Enfin aucun des témoins ne dit la vérité. Alors une boule noire a été extraite de l'urne B au premier tirage; ensuite, ayant été mise dans l'urne A, elle a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement composé est ,„,âoàa- ^^ '^ multipliant par le produit de^ probabilités 7^ et n 1"^ chaque témoin ne dit pas la vérité, on aurii
thèse.
INTRODUCTION. lxxxv
pour la probabilité de révénement observé, dans cette hypo-
Maintenant, pour avoir la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins, savoir, qu'une boule blanche a été extraite à chacun des tirages, il faut diviser la probabilité correspondante à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux quatre hypothèses, et alors on a pour cette probabilité nôJïïôiâ» fraction extrêmement petite. ^
Si les deux témoins affirmaient, le premier qu'une boule blanche a été extraite de Tune des deux urnes A et B, le second qu'une boule blanche a été pareillement extraite de Tune des deux urnes A' et B', en tout semblables aux premières, la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins serait le produit des probabilités de leurs témoignages ou j^; elle serait donc cent quatre-vingt mille fois, au moins, plus grande que la précédente. On voit par là combien, dans le premier cas, la réapparition au second tirage de la boule blanche extraite au premier, conséquence extraordinaire des deux témoignages, en affaiblit la valeur.
Nous n'ajouterions point foi au témoignage d'un homme qui nous attesterait qu'en projetant cent dés en l'air ils sont tous retombés sur la même face. Si nous avions été nous-mêmes spectateurs de cet événement, nous n'en croirions nos propres yeux qu'après en avoir scrupuleusement examiné toutes les circonstances, et après en avoir rendu d'autres yeux témoins, pour être bien sûrs qu'il n'y a eu ni hallucination ni prestige. Mais, après cet examen, nous ne balancerions point à l'admettre, malgré son extrême invraisemblance, et personne ne serait tenté, pour l'expliquer, de recourir a un renversement des lois de la vision. Nous devons en conclure que la probabilité de la constance des lois de la nature est pour nous supérieure à celle que l'événement dont il s'agit ne doit point avoir lieu, probabilité supérieure elle-même à celle de la plupart des faits historiques que nous regardons comme incontestables. On peut juger parla du poids immense de témoignages nécessaire pour admettre une suspension des lois naturelles, et com-
ixxxn INTRODUCTION.
bien il serait abusif d'appliquer à ce cas les règles ordîaaires de la critique. Tous ceux qui, sans offrir cette immensité de témoignages, étaycnt ce qu'ils avancent de récits d'événements contraires k ces lois. affaiblissent plutôt qu'ils n'augmentent la croyance qu'ils cherchent à inspirer; car alors ces récits rendent très probable l'erreur ou le mensonge de leurs auteurs. Mais ce qui diminue la croyance des hommes éclairés accroît souvent celle du vulgaire, toujours avide du merveilleux.
Il y a des choses tellement extraordinaires, que rien ne peut en balancer l'invraisemblance. Mais celle-ci, par l'eftét d'une opinion dominante, peut être affaiblie au point di; paraître inférieure à la probabilité des témoignages, et quand cette opinion vient it changer, un récit absurde, admis unanimement dans le siècle qui lui a donné naissance, n'offre aux siècles suivants qu'une nouvelle preuve de l'extrême influence de l'opinion générale, sur les meilleurs esprits. Deux grands hommes du siècle de Louis \IV, Racine et Pascal, en sont des exemples frappants. Il est affligeant de voir avec quelle complaisance Racine, ce peintre admirable du cœur humain et le poète le plus parfait qui fut jamais. rapporte comme miraculeuse la guérison de la jeune Perrier, nièce de Pascal et pensionnaire à l'abbaye de Port-Royal; il est pénible de Itre les raisonnements par lesquels Pascal cherche à prouver que ce miracle devenait nécessaire à la religion, pour jusiiiîer ta doctrine des religieuses de cette abbaye, alors persécutées par les Jésuites. La jeune Perrier était depuis trois ans et demi allligée d'une fistule lacrymale ; elle toucha de son œil malade une relique que l'on prétendait être une des épines de la couronne du Sauveur, et elle se crut à l'instant guérie. Quelques jours après, les médecins et les chirurgiens constatèrent la
INTRODUCTION. uxxvii
pas encore invraisemblables, et l'on n'hésitait point à leur attribuer les singularités de la nature, que l'on ne pouvait autrement expliquer.
Cette manière d'envisager les effets extraordinaires se retrouve dans les ouvrages les plus remarquables du siècle de Louis XIV, dans V Essai même sur T entendement humain du sage Locke, qui dit en parlant des degrés d'assentiment : ce Quoique la commune expérience et le cours ordinaire des choses aient avec raison une grande influence sur l'esprit des hommes, pour les porter à donner ou à refuser leur consentement à une chose qui leur est proposée à croire, il y a pourtant un cas où ce qu'il y a d'étrange dans un fait n'affaiblit point l'assentiment que nous devons donner au témoignage sincère sur lequel il est fondé. Lorsque des événements surnaturels sont conformes aux fins que se propose celui qui a le pouvoir de changer le cours de la nature, dans un tel temps et dans de telles circonstances, ils peuvent être d'autant plus propres à trouver créance dans nos esprits qu'ils sont plus au-dessus des observations ordinaires, ou même qu'ils y sont plus opposés. » Les vrais principes de la probabilité des témoignages ayant été ainsi méconnus des philosophes auxquels la raison est principalement redevable de ses progrès, j'ai cru devoir exposer avec étendue les résultats du calcul sur cet important objet.
Ici se présente naturellement la discussion d'un argument fameux de Pascal, que Craig, mathématicien anglais, a reproduit sous une forme géométrique. Des témoins attestent qu'ils tiennent de la Divinité même qu'en se conformant à telle chose on jouira, non pas d'une ou de deux, mais d'une infinité de vies heureuses. Quelque faible que soit la probabilité des témoignages, pourvu qu'elle ne soit pas infiniment petite, il est clair que l'avantage de ceux qui se conforment à la chose prescrite est infini, puisqu'il est le produit de cette probabilité par un bien infini; on ne doit donc point balancer à se procurer cet avantage.
Cet argument est fondé sur le nombre infini des vies heureuses promises au nom de la Divinité par les témoins; il faudrait donc faire ce qu'ils prescrivent, précisément parce qu'ils exagèrent leurs promesses
LKXTui INTRODUCTION.
au delà de toutes limites, conséquence qui répugne au bon scds. Aussi ie calcul nous fait-il voir que cette exagération même affaiblit la probabilité de leur témoignage, au point de la rendre infiniment petite ou nulle. En effet, ce cas revient à celui d'un témoin qui annoncerait la sortie du numéro le plus élevé, d'une urne remplie d'un grand nombre de numéros dont un seul a été extrait, et qui aurait un grand intérêt à annoncer la sortie de ce numéro. On a vu précédemment combien cet intérêt affaiblit son témoignage. En n'évaluant qu'à î la probabilité que si le témoin trompe, il choisira le plus grand numéro, le calcul donne la probabilité de son annonce plus petite qu'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est l'unité plus la moitié du produit du nombre des numéros, par la probabilité du mensonge, considérée aprioriow indépendamment de l'annonce. Pour assimiler co cas à celui de l'argument de Pascal, il suffit de représenter par les numéros de l'urne tous les nombres possibles de vies heureuses, ce qui rend le nombre de ces numéros infini, et d'observer que, si les témoins trompent, ils ont le plus grand intérêt, pour accréditer leur mensonge, à promettre une éternité de bonheur. L'expression de la probabilité de leur témoignage devient alors infiniment petite. En la multipliant par le nombre infini de vies beureuscs promises, l'infini disparaît du produit qui exprime l'avantage résultant de cette promesse, ce qui détruit l'argument de Pascal.
Considérons présentement la probabilité de l'ensemble de plusieurs témoignages sur un fait déterminé. Pour fixer les idées, supposons que ce fait soit la sortie d'un numéro d'une urne qui en renferme cent, et dont on a extrait un seul numéro. Deux témoins de ce tirage annoni-cnt qiii^ It' n" I ost sorlt. ot Voil ilciîiiuidr l;i proltaliilité résiillanle de
INTRODUCTION. lxxxix
le n^ I n'est pas sorti, et la probabilité de cet événement est ~^. Mais raccord des témoins exige alors qu'en cherchant à tromper, ils choississent tous deux le n^ i, sur les 99 numéros non sortis : la probabilité de ce choix est le produit de la fraction ~ par elle-même ; il faut ensuite multiplier ces deux probabilités ensemble et par le produit des probabilités ^ et ~ que les témoins trompent; on aura ainsi tjï^ pour la probabilité de Tévénement observé, dans la seconde hypothèse. Maintenant on aura la probabilité du fait attesté ou de la sortie du n® i , en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses; cette probabilité sera donc f^, et la probabilité de là non-sortie de ce numéro et du mensonge des témoins sera j^.
Si Turne ne renfermait que les n°* i et 2, on trouverait de la même manière |^ pour la probabilité de la sortie n** 2, et par conséquent ~ pour la probabilité du mensonge des témoins, probabilité quatre-vingtquatorze fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien la probabilité du mensonge des témoins diminue, quand le fait qu'ils attestent est moins probable en lui-même. En effet, on conçoit qu'alors l'accord des témoins, lorsqu'ils trompent, devient plus difficile, à moins qu'ils ne s'entendent, ce que nous ne supposons pas ici.
Dans le cas précédent, où, l'urne ne renfermant que deux numéros, la probabilité a priori du fait attesté est ^, la probabilité résultante des témoignagnes est le produit des véracités des témoins, divisé par ce produit ajouté à celui des probabilités respectives de leur mensonge.
Il nous reste à considérer l'influence du temps sur la probabilité des faits transmis par une chaîne traditionnelle de témoins. Il est clair que cette probabilité doit diminuer à mesure que la chaîne se prolonge. Si le fait n'a aucune probabilité par lui-même, celle qu'il acquiert par les témoignages décroit suivant le produit continu de la véracité des témoins. Si le fait a par lui-même une probabilité, si, par exemple, ce fait est la sortie du n® 2 d*une urne qui en renferme un nombre fini
OFsWres de L. -^ Ml. 11
ic INTRODUCTION.
et dont il est certain qu'on a extrait uo seul numéro, ce que U chaiDC traditionnelle ajoute à cette probabilité décroît suivant un produit continu, dont le premier facteur est le rapport du nombre des numéros de l'urne moins un à ce même nombre, et dont chaque autre facteur est la véracité de chaque témoin, diminuée du rapport de la probabilité de son mensonge au nombre des numéros de l'urne moins un; en sorte que la limite de la probabilité du fait est celle de ce fait considéré a priori ou indépendamment des témoignages, probabilité égale à l'unité divisée par le nombre des numéros de l'urne.
L'action du temps affaiblit donc sans cesse la probabilité des faits historiques, comme elle altère les monuments les plus durables. On peut, à la vérité, la ralentir en multipliant et conservant les témoignages et les monuments qui les étayent. L'imprimerie offre pour cet objet un grand moyen, malheureusement inconnu des anciens. Malgré les avantages infinis qu'elle procure, les révolutions physiques et morales dont la surface de ce globe sera toujours agitée finiront, en se joignant à l'effet inévitable du temps, par rendre douteux, après des milliers d'années, les faits historiques aujourd'hui les plus certains.
Craig a essayé de soumettre au calcul l'afl'aiblissemcnt graduel des preuves de ta religion chrétienne : en supposant que le monde doit finir à l'époque où elle cessera d'être probable, il trouve que cela doit arriver i454 ans après le moment où il écrit. Mais son analyse est aussi lautive que son hypothèse sur la durée du monde est bizarre.
Des choix et des décisions des assemblées.
La pi'ob;tliilil(' îles il ('■ri s ion s iTuiui nssiMiililoe <li"']n.'iul île la pliu'alité
INTRODUCTION. xci
exige des considérations délicates, ou si la vérité sur ce point est contraire à des préjugés reçus» en sorte qu'il y ait plus d'un contre un à parier que chaque votant s'en écartera, alors la décision de la majorité sera probablement mauvaise, et la crainte à cet égard sera d'autant plus juste que l'assemblée sera plus nombreuse. Il importe donc à la chose publique que les assemblées n'aient à prononcer que sur des objets à la portée du plus grand nombre; il lui importe que l'instruction soit généralement répandue, et que de bons ouvrages, fondés sur la raison et sur l'expérience, éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de leurs semblables ou à les gouverner, et les prémunissent d'avance contre les faux aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savants ont de fréquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.
Il est difficile de connaître et même de définir le vœu d'une assemblée, au milieu de la variété des opinions de ses membres. Essayons de donner sur cela quelques règles, en considérant les deux cas les plus ordinaires, l'élection entre plusieurs candidats, et celle entre plusieurs propositions relatives au même objet.
Lorsqu'une assemblée doit choisir entre plusieurs candidats qui se présentent pour une ou plusieurs places du même genre, ce qui parait le plus simple est de faire écrire à chaque votant, sur un billet, les noms de tous les candidats, suivant l'ordre du mérite qu'il leur attribue. En supposant qu'il les classe de bonne foi, l'inspection de ces billets fera connaître les résultats des élections, de quelque manière que les candidats soient comparés entre eux, en sorte que de nouvelles élections ne peuvent apprendre rien de plus à cet égard. Il s'agit présentement d'en conclure l'ordre de préférence que les billets établissent entre les candidats. Imaginons que l'on donne à chaque électeur une urne qui contienne une infinité de boules, au moyen desquelles il puisse nuancer tous les degrés de mérite des candidats; concevons encore qu'il tire de son urne un nombre de boules proportionnel au mérite de chaque candidat, et supposons ce nombre écrit sur un billet,
icn INTRODUCTION.
à côté du nom du candidat. Il est clair qu'en faisant uoe somcne de tou9 les nombres relatifs à chaque candidat sur chaque billet, celui de tous les candidats qui aura la plus grande somme sera le candidat que l'assemblée préfère, et qu'en général l'ordre de préférence des candidats sera celui des sommes relatives à chacun d'eux. Mais les billets ne marquent point le nombre des boules que chaque électeur donne aux candidats; ils indiquent seulement que le premier en a plus que le second, le second plus que le troisiiime, et ainsi de suite. En supposant donc au premier, sur un billet donné, un nombre quelconque de boules, toutes les combinaisons des nombres inférieurs, qui remplissent les conditions précédentes, sont également admissibles, et l'on aura le nombre de boutes relatif à chaque candidat en faisant une somme de tous les nombres que chaque combinaison lui donne et en la divisant par le nombre entier des combinaisons. Une analyse fort simple fait voir que les nombres qu'il faut écrire sur chaque billet à côté du dernier nom, de l'avant-dernier, etc., sont proportionnels aux
termes de la progression arithmétique i, a, 3 En écrivant donc
ainsi, sur chaque billet, les termes de cette progression, et ajoutant les termes relatifs à chaque candidat sur ces billets, les diverses sommes indiqueront par leur grandeur l'ordre de préférence qui doit être établi entre les candidats. Tel est le mode d'élection qu'indique la Théorie des Probabilités. Sans doute il serait le meilleur, si chaque électeur inscrivait sur son billet les noms des candidats dans l'ordre du mérite qu'il leur attribue. Mais les intérêts particuliers et beaucoup de considérations étrangères au mérite doivent troubler cet ordre, et faire placer quelquefois au dernier rang le candidat le plus redoutable
INTRODUCTION. xcni
vérité, elle expose à l'inconvénient de rendre les élections interminables. Mais Texpérience a fait voir que cet inconvénient est nul, et que le désir général de mettre fin aux élections réunit bientôt la majorité des suffrages sur un des candidats.
Le choix entre plusieurs propositions relatives au même objet semble devoir être assujetti aux mêmes règles que l'élection entre plusieurs candidats. Mais il existe entre ces deux cas cette différence, savoir, que le mérite d'un candidat n'exclut point celui de ses concurrents, au lieu que, si les propositions entre lesquelles il faut choisir sont contraires, la vérité de l'une exclut la vérité des autres. Voici comme on doit alors envisager la question.
Donnons à chaque votant une urne qui renferme un nombre infini de boules et supposons qu'il les distribue sur les diverses propositions, en raison des probabilités respectives qu'il leur attribue. Il est clair que, le nombre total des boules exprimant la certitude, et le votant étant, par l'hypothèse, assuré que l'une des propositions doit être vraie, il répartira ce nombre en entier sur les propositions. Le problème se réduit donc à déterminer les combinaisons dans lesquelles les boules seront réparties de manière qu'il y en ait plus sur la première proposition du billet que sur la deuxième, plus sur la deuxième que sur la troisième, etc.: à faire les sommes de tous les nombres de boules, relatifs à chaque proposition dans ces diverses combinaisons, et à diviser cette somme par le nombre des combinaisons : les quotients seront les nombres de boules que l'on doit attribuer aux propositions sur un billet quelconque. On trouve par l'Analyse qu'en partant de la dernière proposition pour remonter à la première, ces quotients sont entre eux comme les quantités suivantes : i^ l'unité divisée par le nombre des propositions; 2^ la quantité précédente augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins une; 3^ cette seconde quantité augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins deux, et ainsi du reste. On écrira donc, sur chaque billet, ces quantités à côté des propositions correspondantes, et en ajoutant les quantités relatives à chaque proposition sur les divers billets, les
iciY INTRODUCTION.
sommes indiqueront par leur grandeur l'ordre de préférence que l'ts-
semblée donne à ces propositions.
Disons un mot de la manière de renouveler les assemblées qui doivent changer en totalité, dans un nombre d'années déterminé. Le renouvellement doit-il se faire à la fois, ou convient-il de le partager entre ces années? D'après ce dernier mode, l'assemblée serait formée sous l'influence des diverses opinions dominantes pendant la durée de son renouvellement; l'opinion qui y régnerait alors serait donc très probablement la moyenne de toutes ces opinions. L'assemblée recevrait ainsi du temps le même avantage que lui donne l'extension des élections de ses membres à toutes les parties du territoire qu'elle représente. Maintenant, si l'on considère ce que l'expérience n'a que ■ trop fait connaître, savoir, que les élections sont toujours dirigées dans le sens le plus exagéré des opinions dominantes, on sentira combien il est utile de tempérer ces opinions les unes par les autres, au moyen d'un renouvellement partiel.
De la probabilité des jugements des tribunaux.
L'Analyse confirme ce que le simple bon sens nous dicte, savoir, que la bonté des jugements est d'autant plus probable que les juges sont'plus nombreux et plus éclairés. Il importe donc que tes tribunaux d'appel remplissent ces deux conditions. Les tribunaux de première instance, plus rapprocliés des justiciables, leur olTrent l'avantage d'un premier jugement déjà probable, et dont ils se contentent souvent, soit en transigeant, soit en se désistant de leurs prétentions. Mais si IJLmlt' (le VoW\f[. vu V\ùi:v. cl son iiiii)orl;uK-.e i.1uUm-i
INTRODUCTION. xcv
être convenable et conforme au Calcul des probabilités d'exiger une majorité de deux voix au moins, dans un tribunal d'appel, pour infirmer la sentence du tribunal inférieur. On obtiendrait ce résultat, si, le tribunal d'appel étant composé d'un nombre pair de juges, la sentence subsistait dans le cas de l'égalité des voix.
Je vais considérer particulièrement les jugements en matière criminelle.
Il faut sans doute aux juges, pour condamner un accusé, les plus fortes preuves de son délit. Mais une preuve morale n'est jamais qu'une probabilité» et l'expérience n'a que trop fait connaître les erreurs dont les jugements criminels, ceux mêmes qui paraissent être les plus justes, sont encore susceptibles. La possibilité de réparer ces erreurs est le plus solide argument des philosophes qui ont voulu proscrire la peine de mort. Nous devrions donc nous abstenir de juger, s'il nous fallait attendre l'évidence mathématique. Mais le jugement est commandé par le danger qui résulterait de l'impunité du crime. Ce jugement se réduit, si je ne me trompe, à la solution de la question suivante. La preuve du délit de l'accusé a-t-elle le haut degré de probabilité nécessaire, pour que les citoyens aient moins à redouter les erreurs des tribunaux, s'il est innocent et condamné, que ses nouveaux attentats et ceux des malheureux qu'enhardirait l'exemple de son impunité, s'il était coupable et absous? La solution de cette question dépend de plusieurs éléments très difficiles à connaître. Telle est l'imminence du danger qui menacerait la société, si l'accusé criminel restait impuni. Quelquefois ce danger est si grand que le magistrat se voit contraint de renoncer aux formes sagement établies pour la sûreté de Tinnocence. Mais ce qui rend presque toujours la question dont il s'agit insoluble est l'impossibilité d'apprécier exactement la probabilité du délit et de fixer celle qui est nécessaire pour la condamnation de l'accusé. Chaque juge, à cet égard, est forcé de s'en rapporter à son propre tact. Il forme son opinion, en comparant les divers témoignages et les circonstances dont le délit est accompagné, aux résultats de ses réflexions et de son expérience, et, sous ce rapport, une longue habitude d'interroger et
xcTi INTRODUCTION.
de juger les accusés donne beaucoup d'avantages pour saisir la Tirïté
au milieu d'indices souvent contradictoires.
La question précédente dépend encore de la grandeur de la peine appliquée au délit, car on exige naturellement, pour prononcer la mort, des preuves beaucoup plus fortes que pour infliger une détention de quelques mois. C'est une raison de proportionner la peine au délit, une peine grave appliquée à un léger délit devant inévitablement faire absoudre beaucoup de coupables. Le produit de la probabilité du délit par sa gravité étant la mesure du danger que l'absolution de l'accusé peut faire éprouver à la société, on pourrait penser que la peine doit dépendre de cette probabilité. C'est ce que l'on fait indirectement dans les tribunaux, où l'on retient pendant quelque temps l'accusé contre lequel s'élèvent des preuves très fortes, mais insuffisantes pour le condamner; dans la vue d'acquérir de nouvelles lumières, on ne le remet point sur-le-cbamp au milieu de ses concitoyens, qui ne le reverraient pas sans de vives alarmes. Mais l'arbitraire de cette mesure et l'abus qu'on peut en faire l'ont fait rejeter dans les pays oii l'on attache le plus grand prix à la liberté individuelle.
Maintenant, quelle est la probabilité que la décision d'un tribunal, qui ne peut condamner qu'à une majorité donnée, sera juste, c'est à-dire conforme à la vraie solution de la question posée ci-dessusT Ce problème important, bien résolu, donnera le moyen de comparer entre eux les tribunaux divers. La majorité d'une seule voix dans un nombreux tribunal indique que l'affaire dont il s'agit est à fort peu près douteuse; la condamnation de l'accusé serait donc alors contraire aux principes d'humanité, protecteurs de l'innocence. L'unanimité des juges donnerait une très grande probabilité d'une décision juste, mais en s'y
INTRODUCTION. xcrii
La probabilité que Topinion de chaque juge est juste entre comme élément principal dans ce calcul. Cette probabilité est évidemment relative à chaque affaire. Si, dans un tribunal de mille et un jiiges, cinq cent un sont d'une opinion et cinq cents sont de l'opinion contraire, il est visible que la probabilité de l'opinion de chaque juge surpasse bien peu ^; car, en la supposant sensiblement plus grande, une seule voix de différence serait un événement invraisemblable. Mais, si les juges sont unanimes, cela indique dans les preuves ce degré de force qui entraine la conviction; la probabilité de l'opinion de chaque juge est donc alors très près de l'unité ou de la certitude, à moins que des passions ou des préjugés communs n'égarent à la fois tous les juges. Hors de ces cas, le rapport des voix pour ou contre l'accusé doit seul déterminer cette probabilité. Je suppose ainsi qu'elle peut varier depuis ^jusqu'à l'unité, mais qu'elle ne peut être au-dessous de^. Si cela n'était pas, la décision du tribunal serait insignifiante comme le sort; elle n'a de valeur qu'autant que l'opinion du juge a plus de tendance à la vérité qu'à l'erreur. C'est ensuite par le rapport des nombres de voix favorables et contraires à l'accusé que je détermine la probabilité de cette opinion.
Ces données suffisent pour avoir l'expression générale de la probabilité que la décision d'un tribunal, jugeant à une majorité connue, est juste. Dans les tribunaux où, sur huit juges, cinq voix seraient nécessaires pour la condamnation d'un accusé, la probabilité de l'erreur à craindre sur la justesse de la décision surpasserait |. Si le tribunal était réduit à six membres qui ne pourraient condamner qu'à la pluralité de quatre voix, la probabilité de l'erreur à craindre serait au-dessous de ^; il y aurait donc pour l'accusé un avantage à cette réduction du tribunal. Dans l'un et l'autre cas, la majorité exigée est la même et égale à deux. Ainsi, cette majorité demeurant constante, la probabilité de l'erreur augmente avec le nombre des juges; cela est général, quelle que soit la majorité requise, pourvu qu'elle reste la même. En prenant donc pour règle le rapport arithmétique, l'accusé se trouve dans une position de moins en moins avantageuse, à mesure que le
Œuvres de L, — VU. I 3
ïcxTiii INTRODUCTION.
tribunal devient plus nombreux. On pourrait croire que dans un tribunal oii l'on exigerait une majorité de douze voix, quel que fût le nombre des juges, les voix de la minorité neutralisant un pareil nombre des voix de la majorité, les douze voix restantes représenteraient l'unanimité d'un jury de douze membres, requise en Angleterre pour la condamnation d'un accusé. Mais on serait dans une grande erreur. Le bon sens Tait voir qu'il y a une difTérence entre la décision d'un tribunal de deux cent douze juges, dont cent douze condamnent l'accusé, tandis que cent l'absolvent, et celle d'un tribunal de dotue juges unanimes pour la condamnation. Dans le premier cas, les cent voix favorables à l'accusé autorisent à penser que les preuves sont loin d'atteindre le degré de force qui entraine la conviction ; dans le second cas, l'unanimité des juges porte à croire qu'elles ont atteint ce d^ré. Mais le simple bon sens ne sufiil point pour apprécier l'extrême différence de la probabilité de l'erreur dans ces deux cas. Il faut alors recourir au calcul, et l'on trouve un cinquième à peu près pour la probabilité de l'erreur dans le premier cas, et seulement ^^ pour cette probabilité dans le second cas, probabilité qui n'est pas un millième de la première- C'est une confirmation du principe, que le rapport arithmétique est défavorable à l'accusé quand le nombre des juges augmente. .4u contraire, si l'on prend pour règle le rapport géométrique, la probabilité de l'erreur de la décision diminue quand le nombre des juges s'accroît. Par exemple, dans les tribunaux qui ne peuvent condamner qu'à la pluralité des deux tiers des voix, la probabilité de l'erreur à craindre esta peu près un quart, si le nombre des juges est six; elle est au-dessous de j, si ce nombre s'élève à douze. Ainsi l'on ne doit se
INTRODUCTION. xcm
du jugement est ~, ou au-dessus de |. La grandeur de cette fraction est effrayante ; mais ce qui doit rassurer un peu est la considération que le plus souvent le juge qui absout un accusé ne le regarde pas comme innocent; il prononce seulement qu'il n'est pas atteint par des preuves suffisantes pour qu'il soit condamné. On est surtout rassuré par la pitié que la nature a mise dans le cœur de l'homme, et qui dispose l'esprit à voir difficilement un coupable dans l'accusé soumis à son jugement. Ce sentiment, plus vif dans ceux qui n'ont point l'habitude des jugements criminels, compense les inconvénients attachés à l'inexpérience des jurés. Dans un jury de douze membres, si la pluralité exigée pour la condamnation est de huit voix sur douze, la probabilité de l'erreur à craindre est ~f|, ou un peu plus grande qu'un huitième ; elle est à peu près j^, si cette pluralité est de neuf voix. Dans le cas de l'unanimité, la probabilité de Terreur à craindre est gj^, c'est-à-dire plus de mille fois moindre que dans nos jurys. Gela suppose que l'unanimité résulte uniquement des preuves favorables ou contraires à l'accusé; mais des motifs entièrement étrangers doivent souvent concourir à la produire, lorsqu'elle est imposée au jury comme une condition nécessaire de son jugement. Alors, ses décisions dépendant du tempérament, du caractère et des habitudes des jurés, elles sont quelquefois contraires aux décisions que la majorité du jury aurait prises s'il n'eût écouté que les preuves, ce qui me parait être un grand défaut de cette manière de juger.
La probabilité des décisions est trop faible dans nos jurys, et je pense que, pour donner une garantie suffisante à l'innocence, on doit exiger au moins la pluralité de neuf voix sur douze.
Des Tables de mortalité, et des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations quelconques.
La manière de former les Tables de mortalité est fort simple. On prend dans les registres civils un grand nombre d'individus dont la
c INTRODUCTION.
naissance et la mort soient indiquées. On détermine combien de ces individus sont morts dans la première année de leur âge, combien dans la seconde année, et ainsi de suite. On en conclut le nombre d'individus vivants au commencement de chaque année, et l'on écrit ce nombre dans la Table à côté de celui qui indique l'année. Ainsi l'on écrit à côté de zéro le nombre des naissances, à côté de l'année t le nombre des enfants qui ont atteint une année, à côté de l'année a le nombre des enfants qui ont atteint deux années, et ainsi du reste. Mais, comme dans les deux premières années de la vie la mortalité est très rapide, il faut, pour plus d'exactitude, indiquer dans ce premier âge le nombre des surrivants à ia fin de cbaque demi>année.
Si l'on divise la somme des années de la vie de tous les individus inscrits dans une Table de mortalité parle nombre de ces individus, on aura la durée moyenne de la vie qui correspond à cette Table. Pour cela, on multipliera par une demi-année le nombre des morts dans la première année, nombre égal à la différence des nombres d'individus inscrits à côté des années o et i. I-our mortalité devant être répartie sur l'année entière, la durée moyenne de leur vie n'est qu'une demiannée. On multipliera par une année et demie le nombre des morts dans la secondeannée, par deux années et demie le nombre des morts dans la troisième année, et ainsi de suite. La somme de ces produits, divisée par le nombre des naissances, sera la durée moyenne de ta vie. Il est facile d'en conclure que l'on aura cette durée, en formant la somme des nombres inscrits dans la Table à côté de cbaque année, en la divisant par le nombre des naissances, et en relrancbant un demi du quotient, l'année étant prise pour unité. La durée moyenne de ce qui
INTRODUCTION. ii
est égale au rapport des deux nombres d'individus indiqués dans la Table à ces deux âges.
La précision de ces résultats exige que, pour la formation des Tables, on emploie un très grand nombre de naissances. L'analyse donne alors des formules très simples pour apprécier la probabilité que les nombres indiqués dans ces Tables ne s'écarteront de la vérité que dans d'étroites limites. On voit par ces formules que l'intervalle des limites diminue et que la probabilité augmente à mesure que l'on considère plus de naissances, en sorte que les Tables représenteraient exactement la vraie loi de la mortalité, si le nombre des naissances employées devenait infini.
Une Table de mortalité est donc une Table des probabilités de la vie humaine. Le rapport des individus inscrits à côté de chaque année au nombre des naissances est la probabilité qu'un nouveau-né atteindra cette année. Comme on estime la valeur de l'espérance en faisant une somme des produits de chaque bien espéré par la probabilité de l'obtenir, on peut également évaluer la durée moyenne de la vie en ajoutant les produits de chaque année par la demi-somme des probabilités d'en atteindre le commencement et la fin, ce qui conduit au résultat trouvé ci-dessus. Mais cette manière d'envisager la durée moyenne de la vie a l'avantage de faire voir que, dans une population stationnaire, c'est-à-dire telle que le nombre des naissances égale celui des morts, la durée moyenne de la vie est le rapport même de la population aux naissances annuelles; car, la population étant supposée stationnaire, le nombre des individus d'un âge compris entre deux années consécutives de la Table est égal au nombre des naissances annuelles multiplié par la demi-somme des probabilités d'atteindre ces années; la somme de tous ces produits sera donc la population entière; or il est aisé de voir que cette somme, divisée par le nombre des naissances annuelles, coïncide avec la durée moyenne de la vie telle que nous venons de la définir.
Il est facile, au moyen d'une Table de mortalité, de former la Table correspondante de la population supposée stationnaire. Pour cela, on
cil INTRODUCTION.
prend des moyennes arithmétiques entre les nombres de la Table de mortalité correspondants aux âges, zéro et un an, un et deux ans, deux et trois ans, etc. La somme de toutes ces moyennes est la populatioo entière : on l'écrit à côté de l'âge zéro. On retranche de cette somme la première moyenne, et le reste est le nombre des individus d'un an et au-dessus : on l'écrit à côté de l'année i. On retranche de ce premier reste la seconde moyenne; ce second reste est le nombre des individus de deux années et au-dessus; on l'écrit à côté de l'année a, et ainsi de suite.
Tant de causes variables influent sur la mortalité, que les Tables qui la représentent doivent changer suivant les lieux et les temps. Les divers états de la vie offrent à cet égard des différences sensibles relatives aux fatigues et aux dangers inséparables de chaque état, et dont il est indispensable de tenir compte dans les calculs fondés sur la durée lie la vie. Mais ces différences n'ont pas encore été sufBsamment observées. Elles le seront un jour; alors on saura quel sacrifice de la vie chaque profession exige, et l'on profitera de ces connaissances pour en diminuer les dangers.
La salubrité plus ou moins grande du sol, son élévation, sa température, les mœurs des habitants et les opérations des gouvernements ont sur la mortalité une influence considérable. Mais il faut toujours faire précéder la recherche de la cause des différences observées par celle (te la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée. Ainsi le rapport de la population aux naissances annuelles, que l'on a vu s'élever en France à vingt-huit et un tiers, n'est pas égal a vingt-cinq dans l'ancien duciié de Milan. Ces rapports, établis l'un et l'autre sur un iilit'i' tl[' ii;ii>s;inri'.s. ru' uernu-llciil ii;i:> 'li' rrvoum.T en do
INTRODUCTION. cm
vérole, d'abord par l'inoculation de cette maladie, ensuite d'une manière beaucoup plus avantageuse, par l'inoculation de la vaccine, découverte inestimable de Jenner, qui par là s'est rendu l'un des plus grands bienfaiteurs de l'humanité.
La petite vérole a cela de particulier, savoir, que le même individu n'en est pas deux fois atteint, ou du moins ce cas est si rare que l'on peut en faire abstraction dans le calcul. Cette maladie, à laquelle peu de monde échappait avant la découverte de la vaccine, est souvent mortelle et fait périr un septième environ de ceux qu'elle attaque. Quelquefois elle est bénigne, et l'expérience a fait connaître qu'on lui donnait ce dernier caractère en l'inoculant sur des personnes saines, préparées par un bon régime, et dans une saison favorable. Alors le rapport des individus qu'elle fait périr aux inoculés n'est pas un troiscentième. Ce grand avantage de l'inoculation, joint à ceux de ne point altérer la beauté et de préserver des suites fâcheuses que la petite vérole naturelle entraîne souvent après elle, la fit adopter par un grand nombre de personnes. Sa pratique fut vivement recommandée ; mais, ce qui arrive presque toujours dans les choses sujettes à des inconvénients, elle fut vivement combattue. Au milieu de cette dispute, Daniel BernouUi se proposa de soumettre au Calcul des probabilités l'influence de l'inoculation sur la durée moyenne de la vie. Manquant de données précises sur la mortalité produite par la petite vérole aux divers âges de la vie, il supposa que le danger d'avoir cette maladie et celui d'en périr sont les mêmes à tout âge. Au moyen de ces suppositions, il parvint, par une analyse délicate, à convertir une Table ordinaire de mortalité, dans celles qui auraient lieu si la petite vérole n'existait pas ou si elle ne faisait périr qu'un très petit nombre de malades, et il en conclut que l'inoculation augmenterait de trois ans au moins la durée moyenne de la vie, ce qui lui parut mettre hors doute l'avantage de cette opération. D'Alembert attaqua l'analyse de BernouUi, d'abord sur l'incertitude de ses deux hypothèses, ensuite sur son insuffisance en ce que l'on n'y faisait point entrer la comparaison du danger prochain, quoique très petit, de périr par l'inoculation, au
civ INTRODUCTION.
(langer beaucoup plus grand, mais plus éloigné, de succomber à la petite vérole naturelle. Cette considération, qui disparaît lorsque l'oD considère un grand nombre d'individus, est par là indifTérente aux gouvernements, et laisse subsister pour eux les avantages de l'tnoculatton; mais elle est d'un grand poids potir un père de famille qui doit craindre, en faisant inoculer ses enfants, de voir bientôt périr ce qu'il a de plus cher au monde et d'en être cause. Beaucoup de parents étaient retenus par cette crainte, que la découverte de ta vaccine a heureusement dissipée. Par un de ces mystères que la nature nous offre si fréquemment, le vaccin est un préservatif de la petite vérole, aussi sûr que le virus variolique, et il n'a aucun danger; il n'expose à aucune maladie et ne demande que très peu de soins. Aussi sa pratique s'estelle promplement répandue, et, pour la rendre universelle, il ne reste plus à vaincre que l'inertie naturelle du peuple, contre laquelle il faut lutter sans cesse, même lorsqu'il s'agit de ses plus chers intérêts.
Le moyen le plus simple de calculer l'avantage que produirait l'extinction d'une maladie consiste à déterminer par l'observation le nombre d'individus d'un âge donné qu'elle fait périr chaque année, et à le retrancher du nombre des morts au même âge. Le rapport de la différence au nombre total d'individus de l'âge donne serait la probabilité de périr dans l'année, à cet âge, si la maladie n'existait pas. En faisant donc une sommede ces probabilités depuis la naissance jusqu'à un âge quelconque, et retranchant cette somme de l'unité, le reste sera la probabilité de vivre jusqu'à cet âge. correspondante à l'extinction de la maladie. La série de ces probabilités sera la Table de mortalité, vlahvi'.'i (■■■■■Iti' livimllii'Sf. <■[ l'un cri ci^iiclinn. |i;ir l-v qui préciHlo
INTRODUCTION. cv
progressive de la population est arrêtée. Dans toutes les espèces d'animaux et de végétaux, la nature tend sans cesse a augmenter le nombre des individus, jusqu'à ce qu'ils soient au niveau des moyens de subsister. Dans l'espèce humaine, les causes morales ont une grande influence sur la population. Si le sol, par de faciles défrichements, peut fournir une nourriture abondante à des générations nouvelles, la certitude de faire vivre une nombreuse famille encourage les mariages et les rend plus précoces et plus féconds. Sur un sol pareil, la population et les naissances doivent croître à la fois en progression géométrique. Mais, quand les défrichements deviennent plus difficiles et plus rares, alors l'accroissement de la population diminue; elle se rapproche continuellement de l'état variable des subsistances, en faisant autour de lui des oscillations, à peu près comme un pendule, dont on promène d'un mouvement retardé le point de suspension, oscille autour de ce point par sa pesanteur. Il est difficile d'évaluer le maximum d'accroissement de la population ; il parait, d'après quelques observations, que dans de favorables circonstances la population de l'espèce humaine pourrait doubler tous les quinze ans. On estime que, dans l'Amérique septentrionale, la période de ce doublement est de vingt-deux années. Dans cet état de choses, la population, les naissances, les mariages, la mortalité, tout croît suivant la même progression géométrique dont on a le rapport constant des termes consécutifs par l'observation des naissances annuelles à deux époques.
Une Table de mortalité représentant les probabilités de la vie humaine, on peut déterminer à son moyen la durée des mariages. Supposons, pour simplifier, que la mortalité soit la même pour les deux sexes, on aura la probabilité que le mariage subsistera un an, ou deux, ou trois, . . . , en formant une suite de fractions dont le dénominateur commun soit le produit des deux nombres de la Table, correspondants aux âges des conjoints, et dont les numérateurs soient les produits successifs des nombres correspondants à ces âges augmentés d'une, de deux, de trois, ... années. La somme de ces fractions, augmentée d'un demi, sera la durée moyenne du mariage, l'année étant prise pour
œuvres de L.-^ y II. l4
CTi INTRODUCTION.
unité. II est facile d'étendre la même règle k la durée moyenne d'un
association formée de trois ou d'un plus grand nombre d'individus.
Des bénéfices des établissements qui dépendent de la probabUité des événements.
Rappelons ici ce que nous avons dit nn parlant de l'espérance. On i vu que, pour obtenir l'avantage qui résulte de plusieurs événement! simples, dont les uns produisent un bien, et les autres une perte, il faut ajouter les produits de la probabilité de chaque événement favorable par le bien qu'il procure, et retrancher de leur somme celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable par la perte qui y est attachée. Mais, quel que soit l'avantage exprimé par la différence de ces sommes, un seul événement composé de ces événements simples ne garantit point de la crainte d'éprouver une perte réelle. On conçoit que cette crainte doit diminuer lorsque Ton multiplie l'événement composé. L'Analyse des Probabilités conduit & ce théorème général :
Par la répétition d'un événement avantageiir, simple ou composé, le hénéjice réel devient de plus en plus probable et s'accroît sans cesse : il devient certain dans l'hypothèse d'un nombre infini de répétitions, et, en le divisant par ce nombre, le quotient ou le bénéfice moyen de chaque événement est l'espérance malhèmalique elle-même ou l'avantage relatif à l'événement. Il en est de même de la perte qui devient certaine à la longue, pour peu que l'événement soit désavantageua:.
INTRODUCTION. cvii
réel sera compris dans des limites déterminées, expression qui rentre dans la loi générale de la probabilité que nous avons donnée ci-dessus, en parlant des probabilités qui résultent de la multiplication indéfinie des événements.
C'est de la vérité du théorème précédent que dépend la stabilité des établissements fondés sur les probabilités. Mais, pour qu'il puisse leur être appliqué, il faut que ces établissements, par de nombreuses affaires, multiplient les événements avantageux.
On a fondé sur les probabilités de la vie humaine divers établissements, tels que les rentes viagères et les tontines. La méthode la plus générale et la plus simple de calculer les bénéfices et les charges de ces établissements consiste à les réduire en capitaux actuels. L'intérêt annuel de l'unité est ce que l'on nomme taux de Vintérêt. A la fin de chaque année, un capital acquiert pour facteur l'unité plus le taux de l'intérêt; il croit donc suivant une progression géométrique dont ce facteur est la raison. Ainsi, par l'effet du temps, il devient immense. Si, par exemple, le taux de l'intérêt est -^ ou de cinq pour cent, le capital double à fort peu près en quatorze ans, quadruple en vingt-neuf ans, et dans moins de trois siècles, il devient deux millions de fois plus considérable.
Un accroissement aussi prodigieux a fait naître l'idée de s'en servir, pour amortir la dette publique. Si l'on crée un premier fonds d'amortissement que l'on place sans cesse avec les intérêts, sur les effets publics, en profitant surtout des moments de baisse, et si, lorsque les besoins de l'État obligent à faire des emprunts, on en consacre une partie à l'accroissement du fonds d'amortissement, il est visible que ces opérations auront le double avantage d'accroître ce fonds et de soutenir le crédit et les effets publics, et qu'à la longue, la caisse d'amortissement absorbera une grande partie de la dette nationale. D'heureuses expériences ont pleinement confirmé ces avantages. Mais la fidélité dans les engagements et la stabilité, si nécessaires au succès de pareils établissements, ne peuvent être bien garanties que par un gouvernement dans lequel la puissance législative est divisée en plu-
CÏII1 INTRODUCTION.
sieurs pouvoirs indépendants. La confiance qu'inspire le concours nécessaire de CCS pouvoirs double la force de l'Klat, et le Souverain luimême giigne alors en puissance légale Iteaucoup plus qu'il ne perd en puissance arbitraire.
il résulte de ce (jui précède que le capital actuel, équivalent k une somme qui ne doit être pavée qu'après un certain nombre d'années, est égal il cette somme multipliée par la probabilité qu'elle sera payée à cette époque, et divisée par l'unité augmentée du taux de l'intérêt et élevée à une puissance exprimée par le nombre de ces années.
Il est facile d'appliquer ce principe aux rentes viagères sur une ou sur plusieurs têtes, et aux caisses d'épargne et d'assurance d'une nature quelconque. Supposons que l'on se propose de former une Table de rentes viagères, d'après une Table donnée de mortalité. Une rente viagère payable au bout do cinq ans, par exemple, et réduite en capital actuel, est, par ce principe, égale au produit des deux quantités suivantes, savoir, la rente divisée par la cinquième puissance de l'unité augmentée du taux de rintérêt, et la proliabilité de la payer. Cette probabilité est le rapport inverse du nombre des individus inscrits dans la Table, vis-à-vis de l'âge de celui qui constitue la rente, au nombre inscrit vis-à-vis de cet âge augmenté de cinq années. En formant donc une suite de fractions dont les dénoniinatrurs soient les produits du nombre de personnes indi([uées dans la Table de mortalité comme vivantes à l'âge de celui qui constitue la rente, par les puissances successives de l'unité augmentée du taux do l'intérêt, et dont les numérateurs soient les produits de la rente par le nombre des personnes vivantes au même âge augmenté successivement d'une année, de deux années, ...,1a somme de ces fractions sera le capital requis pour la
INTRODUCTION. cix
intérêt perpétuel à la même caisse. Il est clair que ce capital sera dû par la caisse à ses héritiers, à la fin de Tannée de sa mort; mais elle n'aura payé, chaque année, que l'excès de l'intérêt viager sur l'intérêt perpétuel. La Table des rentes viagères fera donc connaître ce que la personne doit payer annuellement à la caisse, pour assurer ce capital après sa mort.
Les assurances maritimes, celles contre les incendies et les orages, et généralement tous les établissements de ce genre, se calculent par les mêmes principes. Un négociant a des vaisseaux en mer, il veut assurer leur valeur et celle de leur cargaison contre les dangers qu'ils peuvent courir; pour cela, il donne une somme à une compagnie qui lui répond de la valeur estimée de ses cargaisons et de ses vaisseaux. Le rapport de cette valeur à la somme qui doit être donnée pour prix de l'assurance dépend des dangers auxquels les vaisseaux sont exposés, et ne peut être apprécié que par des observations nombreuses sur le sort des vaisseaux partis du port pour la même destination.
Si les personnes assurées ne donnaient à la compagnie d'assurances que la somme indiquée par le Calcul des Probabilités, cette compagnie ne pourrait pas subvenir aux dépenses de son établissement; il faut donc qu'elles payent d'une somme plus forte le prix de leur assurance. Mais alors quel est leur avantage? C'est ici que la considération du désavantage moral attaché à l'incertitude devient nécessaire. On conçoit que le jeu le plus égal devenant, comme on l'a vu précédemment, désavantageux parce que le joueur échange une mise certaine contre un bénéfice incertain, l'assurance par laquelle on échange l'incertain contre le certain doit être avantageuse. C'est, en cfi^et, ce qui résulte de la règle que nous avons donnée ci-dessus pour déterminer l'espérance morale, et par laquelle on voit, de plus, jusqu'où peut s'étendre le sacrifice que l'on doit faire à la compagnie d'assurances, en conservant toujours un avantage moral. Cette compagnie peut donc, en procurant cet avantage, faire elle-même un grand bénéfice, si le nombre des assurés est très considérable, condition nécessaire à son existence durable. Alors son bénéfice devient certain, et ses espérances mathé-
n INTRODUCTION.
matiqiie et moruin coïncident. Car l'ADalyse conduit il ce théorème général, savoir, que si les expectatives sont très nombreuses, les deux espérances approchent sans cesse l'une de l'autre, et finissent par coiocider dans le cas d'un nombre infini d'expectatives.
Nous avons dit, en parlant des espérances mathématique et morale, (ju'il )* a un avantage moral à répartir les risques d'un bien que l'on attend sur plusieurs de ses parties. Ainsi, pour faire parvenir une somme d'argent d'un port éloigne, il vaut ntleux In répartir sur plusieurs vaisseaux que de l'exposer sur un seul. C'est ce que l'on fait au moyen des assurances mutuelles. Si deux personnes ayant chacune la mémo somme sur deux vaisseaux (lin'ércnls, partis du même port pour la même destination, conviennent <Ie partager également tout l'argent qui leur arrivera, il est clair (|ue, par cette convention, chacune d'elles repartit également sur les deux vaisseaux la somme qu'elle attend. A la vérité, ce genre d'assurances laisse toujours de l'incertitude sur la perte que l'on peut craindre. Mais cette incertitude diminue à mesure que le nombre des associés augmente; l'avantage moral s'accroît de plus en plus, et fmit par coïncider avec l'avantage mathématique, sa limite naturelle. Cela rend l'association d'assurances mutuelles, lorsqu'elle est très nombreuse, plus avantageuse aux assurés que les compagnies d'assurances qui, à raison du i)énéfice qu'elles font, donnent un avantage moral toujours inférieur à t'avantage matbématique. Tous ces résultats sont, comme on l'a vu précédemment, indépendants de la loi qui exprime l'avantage moral.
On peut envisager un peuple libre comme une grande association dont les membres se garantissent mutuellement leurs propriétés, en nt les chartes fie roKu t;ai'!inlie. Ls
INTRODUCTION. cxi
Parmi les établissements fondés sur les probabilités de la vie humaine, les meilleurs sont ceux dans lesquels, au moyen d'un léger sacrifice de son revenu, on assure son existence et celle de sa famille pour un temps où l'on doit craindre de ne plus suffire a ses besoins. Autant le jeu est immoral, autant ces établissements sont avantageux aux mœurs, en favorisant les plus doux penchants de la nature. Le Gouvernement doit donc les encourager et les respecter dans les vicissitudes de la fortune publique; car les espérances qu'ils présentent portant sur un avenir éloigné, ils ne peuvent prospérer qu'à l'abri de toute inquiétude sur leur durée. C'est un avantage que l'institution du Gouvernement représentatif leur assure.
Disons un mot des emprunts. Il est clair que, pour emprunter en perpétuel, il faut payer, chaque année, le produit du capital par le taux de l'intérêt. Mais on peut vouloir acquitter ce capital en payements égaux faits pendant un nombre déterminé d'années, payements que l'on nomme annuàés, et dont on obtient ainsi la valeur. Chaque annuité, pour être réduite au moment actuel, doit être divisée par une puissance de l'unité augmentée du taux de l'intérêt, égale au nombre des années après lesquelles on doit payer cette annuité. En formant donc une progression géométrique dont le premier terme soit l'annuité divisée par l'unité augmentée du taux de l'intérêt, et dont le dernier soit cette annuité divisée par la même quantité élevée à une puissance égale au nombre des années pendant lesquelles le payement doit avoir lieu, la somme de cette progression sera équivalente au capital emprunté, ce qui détermine la valeur de l'annuité. Si Ton veut faire un emprunt viager, on observera que, les Tables de rentes viagères donnant le capital requis pour constituer une rente viagère à un âge quelconque, une simple proportion donnera la rente que l'on doit faire à l'individu dont on emprunte un capital. On peut calculer par ces principes tous les modes possibles d'emprunt.
exil INTRODUCTION.
Des illusions dans Veslimation des prohabilites.
L'esprit a ses illusions, comme le sens de la vue, et de même que le loucher corrige celles-ci, la réHexion et le calcul corrigent les premières. La probabilité fondée sur une expérience journalière, ou exagérée par la crainte et l'espérance, nous frappe plus qu'une probabilité supérieure, mais qui n'est qu'un simple résultat du calcul. Ainsi nous ne craignons point, pour de faibles avantages, d'exposer notre vie à des dangers beaucoup moins invraisemblables que la sortie d'un quine à la loterie de Franco, et cependant personne ne voudrait se procurer les mêmes avantages, avec la certitude de perdre la vie, si ce quine arrivait.
Nos passions, nos préjugés et les opinions dominantes, en exagérant les probabilités qui leur sont favorables et en atténuant les probabilités contraires, sont des sources abondantes d'illusions dangereuses.
Les maux présents et la cause qui les fait naître nousalTectent beaucoup plus que le souvenir des maux produits par la cause contraire ; ils nous empêchent d'apprécier avec justesse les inconvénients des uns et des autres et la probabilité des moyens propres à nous en préserver. C'est ce qui porte alternativement vers le despotisme et vers l'anarchie les peuples sortis de l'état de repos, dans lequel ils ne rentrent jamais qu'après de longues et cruelles agitations.
Cette impression vive que nous recevons de la présence des événements, et qui nous laisse à peine remarquer les événements contraires observés par d'autres, est une cause principale d'erreur, dont on ne
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probabilité de l'obtenir; le pauvre surtout, excité par le désir d'un meilleur sort» expose à ce jeu son nécessaire, en s'attachant aux combinaisons les plus défavorables qui lui promettent un grand bénéfice. Tous seraient sans doute effrayés du nombre immense des mises perdues, s'ils pouvaient les connaître; mais on prend soin, au contraire, de donner aux gains une grande publicité, qui devient une nouvelle cause d'excitation à ce jeu funeste.
Lorsqu'à la loterie de France un numéro n'est pas sorti depuis longtemps, la foule s'empresse de le couvrir de mises. Elle juge que le numéro resté longtemps sans sortir doit, au premier tirage, sortir de préférence aux autres. Une erreur aussi commune me. parait tenir à une illusion par laquelle on se reporte involontairement à l'origine des événements. Il est, par exemple, très peu vraisemblable qu'au jeu decroiœ ou pile on amènera croix dix fois de suite. Cette invraisemblance qui nous frappe encore, lorsqu'il est arrivé neuf fois, nous porte à croire qu'au dixième coup pile arrivera. Cependant le passé, en indiquant dans la pièce une plus grande pente pour croix que pour pile^ rend le premier de ces événements plus probable que l'autre; il augmente, comme on l'a vu, la probabilité d'amener croix au coup suivant. Une illusion semblable persuade à beaucoup de monde que l'on peut gagner sûrement à la loterie, en plaçant, chaque fois, sur un même numéro jusqu'à sa sortie, une mise dont le produit surpasse la somme de toutes les mises. Mais, quand même de semblables spéculations ne seraient pas souvent arrêtées par l'impossibilité de les soutenir, elles ne diminueraient point le désavantage mathématique des spéculateurs et elles accroîtraient leur désavantage moral, puisqu'à chaque tirage ils exposeraient une plus grande partie de leur fortune.
J'ai vu des hommes, désirant ardemment d'avoir un fils, n'apprendre qu'avec peine les naissances des garçons dans le mois où ils allaient devenir pères. S'imaginant que le rapport de ces naissances à celles des filles devait être le même à la fin de chaque mois, ils jugeaient que les garçons déjà nés rendaient plus probables les naissances prochaines des filles. Ainsi l'extraction d'une boule blanche, d'une urne qui renferme
OLuvret de L, -^ VU. 1^
cxiT INTRODUCTION.
un nombre limité de boules blanches et noires dans un rapport donné, accroît la probabilité d'extraire une boule noire au tirage suivant. Mais cela cesse d'avoir lieu, quand le nombre des boules de Turne est illimité, comme on doit le supposer, pour assimiler ce cas a celui des naissances. Si dans le cours d'un mois il était né beaucoup plus de garçons que de filles, on pourrait soupçonner que, vers le temps de leur conception, une cause générale a favorisé les conceptions masculines, ce qui rendrait la naissance prochaine d'un garçon plus probable. Les événements irréguliers de la nature ne sont pas exactement comparables à la sortie des numéros d'une loterie dans laquelle tous les numéros sont mêlés à chaque tirage, de manière à rendre les chances de leur sortie parfaitement égales. La fréquence d'un de ces événements semble indiquer une cause un peu durable qui le favorise, ce qui augmente la probabilité de son prochain retour, et sa répétition longtemps prolongée, telle qu'une longue suite de jours pluvieux, peut développer des causes inconnues de son changement; en sorte qu'à chaque événement attendu nous ne sommes point, comme à chaque tirage d'une loterie, ramenés au même état d'indécision sur ce qui doit arriver. Mais, à mesure que l'on multiplie les observations de ces événements, la comparaison de leurs résultats avec ceux des loteries devient plus exacte.
Par une illusion contraire aux précédentes, on cherche dans les tirages passés de la loterie de France les numéros le plus souvent sortis, pour en former des combinaisons sur lesquelles on croit placer sa mise avec avantage. Mais, vu la manière dont le mélange des numéros se fait a cette loterie, le passé ne doit avoir sur l'avenir aucune influence. Les sorties plus fréquentes d'un numéro ne sont que des anomalies du hasard : j'en ai soumis plusieurs au calcul, et j'ai constamment trouvé qu'elles étaient renfermées dans des limites que la supposition d'une égale possibilité de sortie de tous les numéros permet d'admettre sans invraisemblance.
Dans une longue série d'événements du même genre, les seules chances du hasard doivent quelquefois offrir ces veines singulières de
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bonheur ou de malheur, que la plupart des joueurs ne manquent pas d'attribuer à une sorte de fatalité. Il arrive souvent, dans les jeux qui dépendent à la fois du hasard et de l'habileté des joueurs, que celui qui perd, troublé par sa perte, cherche à la réparer par des coups hasardeux qu'il éviterait dans une autre situation : il aggrave ainsi son propre malheur, et il en prolonge la durée. C'est cependant alors que la prudence devient nécessaire, et qu'il importe de se convaincre que le désavantage moral attaché aux chances défavorables s'accroit par le malheur même.
Le sentiment par lequel l'homme s'est placé longtemps, au centre de Funivers, en se considérant comme l'objet spécial des soins de la nature, porte chaque individu à se faire le centre d'une sphère plus ou moins étendue, et à croire que le hasard a pour lui des préférences. Soutenus par cette opinion, les joueurs exposent souvent des sommes considérables à des jeux dont ils savent que les chances leur sont contraires. Dans la conduite de la vie, une semblable opinion peut quelquefois avoir des avantages; mais le plus souvent elle conduit a des entreprises funestes. Ici, comme en tout, les illusions sont dangereuses et la vérité seule est généralement utile.
Un des grands avantages du Calcul des Probabilités est d'apprendre à se défier des premiers aperçus. Comme on reconnaît qu'ils trompent souvent lorsqu'on peut les soumettre au calcul, on doit en conclure que sur d'autres objets il ne faut s'y livrer qu'avec une circonspection extrême. Prouvons cela par des exemples.
Une urne renferme quatre boules noires ou blanches, mais qui ne sont pas toutes de la même couleur. On a extrait une de ces boules, dont la couleur est blanche, et que l'on a remise dans l'urne pour procéder encore à de semblables tirages. On demande la probabilité de n'extraire que des boules noires, dans les quatre tirages suivants.
Si les boules blanches et noires étaient en nombre égal, cette probabilité serait la quatrième puissance de la probabilité j d'extraire une boule noire à chaque tirage; elle serait donc ~. Mais l'extraction d'une boule blanche au premier tirage indique une supériorité dans le
€iTi INTRODUCTION.
nombre des boules blanches de l'urne ; car, si l'on suppose dans l'urne trois boules blanches et une noire, la probabilité d'en extraire une boule blanche est | ; elle est j si l'on suppose deux boules blanches el deux noires; enfin elle se réduit à ^ si l'on suppose trois boules noires et une blanche. Suivant le principe de la probabilité des causes, tirée des événements, les probabilités de ces trois suppositions sont entre elles comme les quantités j, ], ^; elles sont par conséquent égales k|,|, j. Il y a ainsi cinq contt>e un à parier que le nombre des boules noires est inférieur ou tout au plus égal à celui des blanches. Il semble donc que, d'après l'extraction d'une boule blanche au premier tirage, la probabilité d'extraire de suite quatre boules noires doive être moindre que dans le cas de l'égalité des couleurs, ou plus petite que 7^. Cependant cela n'est pas, et l'on trouve, par un calcul fort simple, cette prohabilité plus grande que ^. En eOet. elle serait la quatrième puissance de j, de ' et de | dans la première, la seconde et la troisième des suppositions précédentes sur les couleurs des boules de l'urne. En multipliant respectivement chaque puissance par la probabilité de la supposition correspondante, ou par |, | et {, la somme des produits sera la probabilité d'extraire de suite quatre boules noires. On a ainsi pour cette probabilité —j, fraction plus grande que ~. Ce paradoxe s'explique en considérant que l'indication de la supériorité des boules blanches sur les noires par le premier tirage n'exclut point la supériorité des boules noires sur les blanches, supériorité qu'exclut la supposition de l'égalité des couleurs. Or cette supériorité, quoique peu vraisemblable, doit rendre la probabilité d'amener de suite un nombre donné de boules noires plus grande que dans cette supposition, si ce nombre est considérable, et l'on vient de voir que cela commence lorsque le nombre donné est égal à quatre.
Considérons encore une urne qui renferme plusieurs boules blanches et noires. Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'une boule blanche et une noire. On peut alors parier, avec égalité, d'extraire une boule blanche dans un tirage. Mais il semble que, pour l'égalité du pari, on doive donner, à celui qui parie d'extraire la boule blanche, deux tirages, si
INTRODUCTION. cxvii
Turne renferme deux boules blanches et une noire ; trois tirages, si elle renferme trois boules blanches et une noire, et ainsi du reste; on suppose qu'après chaque tirage la boule extraite est remise dans Fume.
Mais il est facile de se convaincre que ce premier aperçu est erroné. En effet, dans le cas de deux boules noires sur une blanche, la probabilité d'extraire de Fume deux boules noires en deux tirages est la seconde puissance de|, ou ^; mais cette probabilité, ajoutée à celle d'amener une boule blanche en deux tirages, est la certitude ou l'unité, puisqu'il est certain que l'on doit amener deux boules noires, ou au moins une boule blanche; la probabilité de ce dernier cas est donc |, fraction plus grande que {. Il y aurait plus d'avantage encore à parier d'amener une boule blanche en cinq tirages, lorsque l'urne contient cinq boules noires et une blanche; ce pari est même avantageux en quatre tirages : il revient alors à celui d'amener six en quatre coups avec un seul dé.
Le chevalier de Méré, ami de Pascal, et qui fit naître le Calcul des Probabilités en excitant ce grand géomètre à s'en occuper, lui disait c( qu'il avait trouvé fausseté dans les nombres par cette raison. Si l'on entreprend de faire six avec un dé, il y a de l'avantage à l'entreprendre en quatre coups, comme de 671 a 625. Si l'on entreprend de faire sonnés avec deux dés, il y a désavantage à l'entreprendre en vingt-quatre coups. Néanmoins 24 est à 36, nombre des faces de deux dés, comme 4 estk6, nombre des faces d'un dé. » « Voilà », écrivait Pascal à Fermât, <( quel était son grand scandale qui lui faisait dire hautement que les propositions n'étaient pas constantes et que l'Arithmétique se démentait Il a très bon esprit, mais il n'est pas géomètre : c'est, comme
vous savez, un grand défaut. » Le chevalier de Méré, trompé par une fausse analogie, pensait que, dans le cas de l'égalité des paris, le nombre dés coups doit croître proportionnellement au nombre de toutes les chances possibles, ce qui n'est pas exact, mais ce qui approche d'autant plus de l'être, que ce nombre est plus grand.
On a essayé d'expliquer la supériorité des na ( garçons
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sur les naissances des filles, par le désir général des pères, d'avoir un fils qui perpétue leur nom. Ainsi, eu imaginant une urne remplie d'une infinité de boules blanches et noires en nombre égal, et supposant un grand nombre de personnes dont chacune tire une boule de cette urne et eontinue ce tirage avec l'intention de s'arrêter quand elle aura extrait une boule blanche, on a cru que cette intention devait rendre le nombre des boules blanches extraites supérieur à celui des noires. En effet, elle donne nécessairement, après tous les tirages, un nombre de boules blanches au moins égal à celui des personnes, et il est possible que CCS tirages n'amènent aucune boule noire. Mais il est facile de reconnaître que cet aperçu n'est qu'une illusion; car, si l'on conçoit que dans un premier tirage toutes les personnes tirent à la fois une boule de l'urne, il est évident que leur intention ne peut avoir aucune inlluence sur la couleur des boules qui doivent sortir à ce tirage. Son unique effet sera d'exclure du second tirage les personnes qui auront amené une houle blanche au premier. Il est pareillement visible que l'intention des personnes qui prendront part au nouveau tirage n'influera point sur la couleur des boules qui sortiront, et qu'il en sera de même des tirages suivants. Cette intention n'influera donc point sur la couleur des boules extraites dans l'ensemble des tirages: seulement elle fera participer plus ou moins de personnes à chacun d'eux. Le rapport des boules blanches extraites, aux noires, sera ainsi très peu différent de l'unité. Il suit de là que, le nombre des personnes étant supposé fort grand, si l'observation donne entre les couleurs extraites un rapport qui diffère sensiblement de l'unité, il est très probable que la même différence a lieu à fort peu près entre l'unité vl le rapport des
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devient plus un, moins un, plus un, moins un, etc. En ajoutant les deux premiers termes, les deux suivants, et ainsi du reste, on transforme la suite dans une autre dont chaque terme est zéro. Grandi, jésuite italien, eu avait conclu la possibilité de la création, parce que, la suite étant toujours égale k ;, il voyait cette fraction naitre d'une infinité de zéros, ou du néant. Ce fut ainsi que Leibnitz crut voir l'image de la création dans son Arithmétique binaire, où il n'employait que les deux caractères zéro et l'unité. Il imagina que l'unité pouvait représenter Dieu, et zéro le néant, et que l'Être suprême avait tiré du néant tous les êtres, comme l'unité avec le zéro exprime tous les nombres dans ce système d'Arithmétique. Cette idée plut tellement à Leibnitz qu'il en fit part au jésuite Grimaldi, président du tribunal de Mathématiques à la Chine, dans l'espérance que cet emblème de ta création convertirait au christianisme l'empereur d'alors, qui aimait particulièrement les sciences. Je ne rapporte ce trait que pour montrer jusqu'à quel point les préjugés de l'enfance peuvent égarer les plus grands hommes.
Leibnitz, toujours conduit par une métaphysique singulière et très déliée, considéra que la suite plus un, moins un, plus un, etc.. devient l'unité ou zéro, suivant que l'on s'arrête à un nombre de termes impair ou pair, et comme dans l'infini il n'y a aucune raison de préférer le nombre pair à l'impair, on doit, suivant les règles des probabilités, prendre la moitié des résultats relatifs à ces deux espèces de nombres, et qui sont zéro et l'unité, ce qui donne ^ pour la valeur de la série. Daniel Bernoulli a étendu depuis ce raisonnement à la sommation des séries formées de termes périodiques. Mais toutes ces séries n'ont point, à proprement parler, de valeurs : elles n'en prennent <|ii<' thua le cas où leurs termes sont multipliés par les puissances successiveif d'une variable moindre que l'unité. Alors ces séries sont toujours converçentes, quelque petite que l'on suppose la différence de la variable à l'unité, et il est facile de démontrer que les valeurs assignées par Krt-noulli, en vertu de la règle des probabilités, sont tes valeurs mêmes des fractions génératrices des séries, lorsque l'on suppose dans ces
