LIVRE PREMIER

la difTérence n}^"^ d'une puissance quelconque d'une fonction rationnelle de 5. II suffit pour cela de réduire, par la méthode du n^ 29, cette fonction à la forme faf<fdx. Mais on a vu qu'alors on parvient, pour déterminer <p, à une équation différentielle d'un degré égal au plus haut exposant de s dans cette fonction, et qui le plus souvent n'est pas intégrable. On peut obvier à cet inconvénient au moyen de multiples intégrales, de la manière suivante. Considérons généralement la fonction

Si dans l'intégrale fa^^^dxcr^*'*'^^^, prise depuis x nul jusqu'à x infini, on change {S'hp)x en a/, elle devient z rjfx'^'^dx'cr"\ la nouvelle intégrale étant prise dans les limites précédentes. La comparaison des deux intégrales donnera

Il suit de là que

[s-^pYis-^p'ns^pY"'

__ fx^-^x'^'-^ x^i"-^ ,,,dx dx'dx" . . , c-px-p'^-P^Jt^'-'^-six^jf-^x^-^^) "■ /*'-* dxCjx'^'-^ dx^c-^fx^i"-^ rfx" c-^ ... '

toutes les intégrales étant prises depuis x^af.xf^.., nuls jusqu'à leurs valeurs infinies; on aura donc

[s-^-pY[s+py.,.

Jxi-^x'i'"^ . . . dxdx'. . .c-P*-'P'^—'-*('^^'^")(e''-^''"'— i)« "~ /x'- < dx c-'jl^'- * dx' c-^ 7. '.

On réduira facilement en séries convergentes, par la méthode du n^ 40, le numérateur et le dénominateur de cette expression, et si l'on change dans ces séries les signes de i, i\ ..., on aura la valeur très

approchée de

n, I, i\ . . . étant supposés de très grands nombres. On trouvera par le numéro cité

V L û* (c«4-«'^ — ,)aj L"" a't {c^a'+. . ,)ij

a, a\ ... étant déterminés par les équations

Le cas le plus ordinaire est celui dans lequel les exposants i\ i\ 1^, . . . sont égaux, et ^ -h /i, ^ -+-/?',.. . forment une progression arithmétique. On peut obtenir alors, par la méthode suivante, la différence finie de leur produit élevé à une haute puissance.

Considérons la différence A''[5(5 -- 1)]'. Si Ton fait 5 = s' + ^, elle devient

En développant cette fonction en série, on a

Les formules du n^ 40 donneront la valeur approchée de chacun des termes de cette série, et Ton voit, par ces formules, que, n et 1 étant de très grands nombres, A''^**"* est d'un ordre moindre de deux unités que A"5*', d'où il suit que chaque terme de la série précédente est d'un