LIVRE PREMIER
on aura donc, par le n^ 26, en faisant z = r\fn,
, /sînj?'\«
fdx coszx 1-^-1
TT
(?) / =Jj^c î'^fi- l-(,6r«-i-3r*)+...]
la série de ce dernier membre devant être arrêtée aux puissances des quantités négatives.
En différentiant cette équation par rapport à r, on aura, avec la condition de l'exclusion des puissances des quantités négatives,
= -3ri/5^c''*'Ti ^ (5-iora-i-3r«)-h...l.
En continuant de difTérentier ainsi, on aura les valeurs des différences inférieures, pourvu cependant que le nombre de ces différentiations soit fort petit relativement au nombre n. On peut observer que ces équations subsistent, en y faisant r négatif; car cos^^' ou cosx'r^n est le même dans les deux cas de r positif et de r négatif.
On peut, en intégrant successivement l'équation (?), obtenir des théorèmes analogues sur les différences finies des puissances supérieures à /i, en excluant toujours les puissances des quantités négatives. Ainsi on a, par une première intégration,
= C+ i/-- ïfdrc *''- .l-r{i- r*)c~'*'"-i-...}.
On déterminera la constante arbitraire C en faisant commencer avec r
l'intégrale j drc ' , et en observant qu'alors, r étant nul, le dernier membre de l'équation se réduit à cette constante. Dans ce cas, le premier devient
Mais on a, comme on sait, sans l'exclusion des puissances des quantités négatives,
le signe supérieur ayant lieu si n est pair, et le signe inférieur si n est impair. Dans les deux cas, on voit que la somme des termes dans lesquels les quantités élevées à la puissance n sont négatives est égale à la somme des autres termes; on a donc, avec l'exclusion des puissances des quantités négatives.
— n(/i — 2)'»+ ^i5 — ii{n — 4)»— ...=:i.2.3...n.2«-«.
ce qui donne C = ^ ; par conséquent,
(n + rv^)"-n(B + rv/«-i.)"+''^"~'^(«-4-rs/«-4)"-...
= i -^ i/— T/rfrc""» ' - — r(i - r« ir*''^.. . .1. 2 V 27rL ^o» ' J
En intégrant de nouveau cette expression et déterminant convenablement la constante arbitraire, on trouve
