LIVRE II

la somme de leurs produits respectifs, ou

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sera la probabilité de révénement futur, tirée de révénement observé, ce qui est conforme à ce qui précède.

Si Ton suppose quatre boules dans l'urne, et qu'ayant amené une boule blanche au premier tirage, on cherche la probabilité de n'amener que des boules noires dans les m' tirages suivants, on trouvera, par les principes exposés ci-dessus, cette probabilité égale à

Si le nombre des boules blanches égale celui des noires, la probabilité de n'amener que des boules noires dans w! tirages est -^, • Elle surpasse la précédente lorsque rri est égal ou moindre que 5 ; mais elle lui devient inférieure lorsque m! surpasse 5, quoique la boule blanche extraite d'abord de l'urne indique une supériorité dans le nombre des boules blanches. L'explication de ce paradoxe tient k ce que cette indication n'exclut point la supériorité du nombre des boules noires ; elle la rend seulement moins probable, au lieu que la supposition d'une égalité parfaite entre le nombre des blanches et celui des noires exclut cette supériorité; or cette supériorité, quelque petite que soit sa probabilité* doit rendre la probabilité d'amener de suite w! boules noires plus grande que le cas de l'égalité des couleurs, lorsque m' est considérable.

L'inégalité qui peut exister entre des choses que l'on suppose parfaitement semblables peut avoir sur les résultats du Calcul des Probabilités une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix etpikf et supposons qu'il soit également facile d'amener croix que pile; alors la probabilité d'amener croix au premier coup est ^9 et celle de l'amener deux fois de suite est |. Mais

s'il existe dans la pièce une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que Tautre, sans que Ton connaisse la face que cette inégalité favoHse, la probabilité d'amener croix au premier coup restera toujours {y parce que, dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l'événement simple est augmentée si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée si cette inégalité lui est contraire. Mais la probabilité d'amener crxHo: deux fois de suite est augmentée, malgré cette ignorance; car cette probabilité est égale à celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que, l'ayant amené au premier coup, on l'amènera au second; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce la favorise; elle augmente donc la probabilité de l'amener au second; ainsi le produit des deux probabilités est accru par cette inégalité. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que l'inégalité de la pièce accroisse de la quantité a la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est croix, la probabilité sera ^ -f- a, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera (^4- a)*. Si l'événement favorisé est pile, la probabilité de croix sera ^ — a, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera {- — a)*. Comme on n'a d'avance aucune raison de croire que l'inégalité favorise plutôt l'un que l'autre des événements simples, il est clair que, pour avoir la probabilité de l'événement composé croix-croixj il faut ajouter les deux probabilités précédentes et prendre la moitié de leur somme, ce qui donne ^ + oc' pour cette probabilité : c'est aussi la probabilité de pHe-pile. On trouvera par le même raisonnement que la probabilité de l'événement composé croix-pUe ou pUe-croix est j — a*; par conséquent, elle est moindre que celle de la répétition du même événement simple.

Les considérations précédentes peuvent être étendues à des événements quelconques, p représentant la probabilité d'un événement simple, et I — /> celle de l'autre événement; si l'on désigne par P la probabilité d'un résultat relatif à ces événements, et que l'on suppose que p soit réellement p±:aL, ol étant une quantité inconnue, ainsi que

le sî^ne qui l'aSecte, la probabilité P du résultat sera

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