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ce qui est le principe énoncé ci-dessus, lorsque toutes les causes sont a /i/ion également possibles. Si cela n'est pas, en nommant/i la probabilité a priori Aq la cause que nous venons de considérer, on aura

et, en suivant le raisonnement précédent, on trouvera

ce qui donne les probabilités des diverses causes, lorsqu'elles ne sont pas toutes également possibles a priori.

Pour appliquer le principe précédentà un exemple, supposons qu'une urne renferme trois boules dont chacune ne puisse être que blanche ou noire; qu'après avoir tiré une boule, on la remette dans l'urne pour procéder à un nouveau tirage, et qu'après /n tirages, on n'ait amené que des boules blanches. Il est visible que l'on ne peut faire a priori, que quatre hypothèses ; car les boules peuvent être ou toutes blanches, ou deux blanches et une noire, ou deux noires et une blanche, ou enfin toutes noires. Si l'on considère ces hypothèses comme autant de causes de l'événement observé, les probabilités de l'événement relatives à ces causes seront

Les probabilités respectives de ces hypothèses, tirées de l'événement observé, seront donc, par le troisième principe,

On voit, au reste, qu'il est inutile d'avoir égard aux hypothèses qui excluent l'événement, parce que, la probabilité résultante de ces hypothèses étant nulle, leur omission ne change point les expressions des autres probabilités.

Si l'on veut avoir la probabilité de n'amener que des boules noires dans les m' tirages suivants, on déterminera aprifjriles probabilités d'amener d'abord /n boules blanches, ensuite /n' boules noires. Ces probabilités sont, relativement aux hypothèses précédentes,

et comme, a priori, les quatre hypothèses sont également possibles, la probabilité de l'événement composé sera le quart de la somme des quatre

OKupres de L, — yU, 24

probabilités précédentest ou

Les probabilités de révénement observé, déterminées aprion^ dans les quatre hypothèses précédentes, étant respectivement

le quart de leur somme, ou

1 3'»4- 2'"-4- I I Vi^ '

sera la probabilité de l'événement observé, déterminée aprion; en divisant donc la probabilité de Tévénement composé par cette probabilité, on aura, par le second principe,

3'~'(3'»-ha'"-f-i)'

pour la probabilité d'amener m' boules noires dans les m' tirages suivants.

On peut encore déterminer cette probabilité par le principe suivant :

La prohabilité d'un événement Jutur est la somme des produits de laprch bahiUté de chaque ccuise, tirée de l'événement observéy par la probabilité que, cette cause existant, CévénemerU fiuur aura lieu.

Ici les probabilités de chaque cause, tirées de l'événement observé, sont, comme on l'a vu,

les probabilités de l'événement futur, relatives à ces causes, sont respectivement