CHAPITRE II

DE LA PIOBABILITÉ DES ÉTÉNEHENTS COMPOSAS d'ÉVÉHEHENTS SIMPLES DONT LES POSSIBILITÉS RESPECTIVES SONT DONNÉES.

3. Si l'on développe le produit (i -+-/») (i +/»')(n- /»')..., composé de n facteurs, ce développement renfermera toutes les combinaisons possibles des n lettres p, p', pf, ..., /ï*""", prises une à une, deux à deux, trois à trois, . . . jusqu'à n, et chaque combinaison aura pour coefficient l'unité. Ainsi, la combinaison pp'p' résultant du produit {i-\- p){i-i-p'){t-i-p^), multiplié par le terme i du développement des autres facteurs, son coefficient est évidemment l'unité. Maintenant, pour avoir le nombre total des combinaisons de n lettres prises^ à a:, on observera que cbacune de ces combinaisons devient pf, lorsqu'on suppose p", p', ... égaux à p. Alors le produit des n facteurs précédents se cbange dans le binôme (r + p)"; or le coefficient de p" dans le développement de ce binôme est

celte quantité exprime donc le nombre des combinaisons des n lettres prises X à iT. On aura le nombre total des combinaisons de ces lettres,

prises une à une, deux àdeux jusqu'à n à n, en taisant /> = i, dans

le binôme (i-t-/»)", et on retranchant l'unité, ce qui donne 2"— i pour ce nombre.

Supposons que dans chaque combinaison on ait égard non seulement au nombre des lettres, mais encore à leur situation ; on déterminera li-

nombre des combinaisons, en observant que, dans la combinaison de deux lettres pp\ on peut mettre p' à la seconde place, et ensuite à la première, ce qui donne les deux combinaisons /?/»', p'p. En introduisant ensuite une nouvelle lettre p" dans chacune de ces combinaisons, on peut la mettre à la première, à la deuxième ou à la troisième place, ce qui donne 2.3 combinaisons. En continuant ainsi, on voit que, dans une combinaison de x lettres, on peut leur donner i.2.3...a7 situations différentes, d'où il suit que le nombre total des combinaisons de n lettres, prises a? à a?, étant, par ce qui précède,

le nombre total des combinaisons, lorsqu'on a égard à la différente si* tuation des lettres, sera cette même fonction, en supprimant son dénominateur.

On peut facilement, au moyen de ces formules, déterminer les bénéfices des loteries. Supposons que le nombre des numéros d'une loterie soit n, et qu'il en sorte r à chaque tirage; on veut avoir la probabilité qu'une combinaison de s de ces numéros sortira au premier tirage.

Le nombre total des combinaisons des numéros, pris r à r, est, par ce qui précède,

n(/i — i)(/i — a)...(ii--r-+-i) i .a. 3. . .r

Pour avoir, parmi ces combinaisons, le nombre de celles dans lesquelles les $ numéros sont compris, on observera que, si l'on retranche ces numéros de la totalité des numéros, et que l'on combine r — 5àr — ^le reste n — 5, le nombre de ces combinaisons sera le nombre cherché; car il est clair qu'en ajoutant les s numéros à chacune de ces combinaisons, on aura les combinaisons r)^ r des numéros, dans lesquelles sont ces s numéros. Ce nombre est donc

en le divisant par le nombre total des combinaisons rar des n numéros, on aura pour la probabilité cherchée

En divisant cette quantité par i.2.3. . .5, on aura, par ce qui précède, la probabilité que les t numéros sortiront dans un ordre déterminé entre eux. On aura la probabilité que les s premiers numéros du tirage seront ceux de la combinaison proposée, en observant que cette probabilité revient à celle d'amener cette combinaison, en supposant qu'il ne sort que t numéros à chaque tirage, ce qui revient à faire r = s dans la fonction précédente, qui devient ainsi

Enfin on aura la probabilité que les s numéros choisis sortiront les premiers dans un ordre déterminé, en réduisant le numérateur de cette fraction à l'unité.

Les quotients des mises divisées par ces probabilités sont ce que la loterie doit rendre aux joueurs; l'excédent de ces quotients sur ce qu'elle donne est son bénéfice. En effet, si l'on nomme p ta probabilité du joueur, m sa mise et^ ce que la loterie doit lui rendre pour l'égalité dû jeu, a: — m sera la mise de la loterie ; car, ayant reçu la mise m et rendant x au joueur, elle ne met au jeu que x ~ m. Or, pour l'égalité du jeu, l'espérance mathématique de chaque joueur doit être égale à sa crainte; son espérance est le produit de la mise x — m de son adversaire par la probabilité p de l'obtenir; sa crainte est le produit de sa mise m par la probabilité 1 — /> de la perle. On a donc

c'est-à-dire que. pour l'égalité du Jeu, les mises doivent être réciproques aux probabilités de gagner. Cette équation donne

OKarrti Jt L. — VU.

19i THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

ainsi ce que la loterie doit rendre est le quotient de la mise divisée par la probabilité du joueur pour gagner.

4. Une loterie étant composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage, on demande la probabilité qu'après i tirages tous les numéros seront sortis.

Nommons z„^^ le nombre des cas dans lesquels, après i tirages, la totalité des numéros i, 2, 3, ..., ^ sera sortie. Il est clair que ce nombre est égal au nombre 2^,7-1 de cas dans lesquels les numéros i , 2, 3, . . ., qr — I sont sortis, moins le nombre de cas dans lesquels, ces numéros étant sortis, le numéro qu'est pas sorti ; or ce dernier nombre est évidemment le même que celui des cas dans lesquels les numéros i, 2, 3, . . ., y — I seraient sortis, si Ton ôtait le numéro q des n numéros de la loterie, et ce nombre est :5„,,^,; on a donc

Maintenant le nombre de tous les cas possibles dans un seul tirage

étant -" — — l—i[^ — ?! — U, celui de tous les cas possibles

dans I tirages est

Le nombre de tous les cas dans lesquels le numéro i ne sortira pas dans ces i tirages est le nombre de tous les cas possibles, lorsqu'on retranche ce numéro des n numéros de la loterie, et ce nombre est

le nombre des cas dans lesquels le numéro i sera sorti dans 1 tirages est donc