LIVRE II

or on a

(5T-rr)"=''"'('^T^-)î

on aura donc, aux quantités près de Tordre ^)

En substituant pour a sa valeur et observant que 1 est fort peu différent de /i >- 2 dans le cas présent, comme on le verra ci-aprës, on a, à très peu près,

Je conserve, pour plus d'exactitude, le terme —. — 3— x» quoique de Tordre-^* à cause de la grandeur de son facteur 12; on aura donc

A«5»' , . r 5i~2ii-f-f6 5i , 1

Si Ton change dans cette expression 5tdans Si — 2, on aura celle de ', rr?-;; mais la valeur de a ne sera plus la même. Soit a' cette nou-

velle valeur, on aura

ce qui donne, à très peu près,

tf'= a— .

Alors on a

d'où l'on tire, en négligeant les quantités de l'ordre ->

par conséquent on a, en négligeant les quantités de l'ordre ->

ÛTTiTirPi = (—")"■ On aura donc, aux quantités près de l'ordre ^»

[»(«-. )r»-ïH«-3)(n-4)]'

Ofte quantité doit, par la condition du problème, être égale à ^, ce

donne

= ''l I ' - - ,ïï7T — r '-' - ;j, ""'" J •

d'oii l'on tire

par conséquent on a, en logarithmes hyperboliques,

n = log( =7^ 7——\ c-";

or on a, aux quantités près de l'ordre 4)

en s^orte qu'il y a un peu moins d'un contre un à parier que tous tes nu^m^ros sortiront dans 85 tirages, et un peu plus d'un contre un à pa-

- qu'ils sortiront dans 86 tirages.

Jn moyen fort simple et très approché d'obtenir la valeur de i est de

supposer — j-> ou la série

//i— i\« nln — i] In— 9A«

1 6 au développement

du. binôme 1 i — (— ™ ) • En effet les deux séries ont les deux premiers termes égaux respectivement. Leurs troisièmes termes sont aussi,

U(^"" j -En effet, leurs logarithmes hyperboliques sont, en négli-

nt les termes de Tordre — > égaux l'un et l'autre à -On verra

de la même manière que les quatrièmes termes, les cinquièmes, ...

sont très peu différents, lorsque /i et i sont de très grands nombres; ïïiaîsla différence s'accroît sans cesse à mesure que les termes s'éloi- S^^nt du premier, ce qui doit à la fin en produire une sensible entre '^s séries elles-mêmes. Pour l'apprécier, déterminons la valeur de i

<^nclue de l'égalité des deux séries. En égalant à r le binôme

aura

ces logarithmes pouvant être, k volonté, hyperboliques ou tabulaires. ^^it \/t= I — z. Nous aurons, en prenant les logarithmes hyperbo-

(Mawret d^L.^ VU. 26

tiques de chaque membre de cette équation

^logfr3T-lof(i-«} = a + ^ + ....

ce qui donne, à très peu près,

on aura donc, en logarithmes hyperboliques.

loga = log log* — logrt -

On a ensuite

log-

1,'expi'essioD précédente de i devient ainsi, à très peu près,

( = «(log/( — loglogA-)(i- ^j -t-^logA-;

['excès de la valeur trouvée précédemment pour i sur celle-ci est

!^(log«-loglogfr);

cet excès devient infini , lorsque n est infini ; mais il faut un très grand nombre pour le rendre bien sensible, et dans le cas de n = loooo et de A = 3, il n'est encore que de trois unités. Si l'on considère pareillement le développement