LIVRE II. SOS

log

n — ti

Ces logarithmes peuvent être tabulaires. En faisant n = 90» on trouve

ce qui diffère très peu de la valeur i= 85,53 que nous avons trouvée ci-dessus.

5. Une urne étant supposée renfermer le nombre x de boules, on en tire une partie ou la totalité, et Ton demande la probabilité que le nombre des boules extraites sera pair.

La somme des cas dans lesquels ce nombre est Tunité égale évidemment J7, puisque chacune des boules peut également être extraite. La somme des cas dans lesquels ce nombre égale 2 est la somme des combinaisons des â? boules prises deux à deux, et cette somme est, par le

n® 3, égale à — ' • La somme des cas dans lesquels le même nombre

égale 3 est la somme des combinaisons des boules prises trois à trois,

et cette somme est ^^^'^ ij^^r — aj^ ^^ ^.^^. ^^ gyîte. Ainsi les termes

successifs du développement de la fonction (i -+- 1)* — i représenteront tous les cas dans lesquels le nombre des boules extraites est successivement!, a, 3, ..., jusqu'à a;; d'où il estfacile de conclure que la somme de tous les cas relatifs aux nombres impairs est ^(i -m)*^ — 5(1 — i)*, ou 2"^-*, et que la somme de tous les cas relatifs aux nombres pairs est ^(i H- 1)"^-+- 5(1 — i)*— I, ou 2*~* — I. La réunion de ces deux sommes est le nombre de tous les cas possibles; ce nombre est donc 2' — 1; ainsi la probabilité que le nombre des boules extraites sera pair

est jcS^- > et '^ probabilité que ce nombre sera impair est ^ \

il y a donc de l'avantage à parier avec égalité pour un nombre impair. Si le nombre x est inconnu, et si l'on sait seulement qu'il ne peut

excéder n, cl que ce nombre et tous les inférieurs sont également possibles, on aura le nombre de tous les cas possibles relatifs aux uombres impairs en faisant la somme de toutes les valeurs de 2^' , depuis x = i jusqu'à x = n, et il est facile de voir que cette somme est 2" — i . On aura pareillement la somme de tous les cas possibles relatifs aux nombres pairs, en sommant la fonction 2.^-* — 1, depuis x = 1 jusqu'à ,T == n, et l'on trouve cette somme égale à a" — n — i; la probabilité d'un nombre pair est donc alors ~:;:^^ — ^ > et celle d'un nombre îm-

Fir est --,

Supposons maintenant que l'urne renferme le nombre x de boules blanclies, et le même nombre de boules noires; on demande la probabilité qu'en tirant un nombre pair quelconque de boules, on amènera autant de boules blanches que de boules noires, tous les nombres pairs pouvant être également amenés.

Le nombre des cas dans lesquels une boule blanche de l'urne peut se combiner avec une boule noire est évidemment x.x. Le nombre des cas dans lesquels deux boules blanches peuvent se combiner avec

deux boules noires est -

> et ainsi de suite. Le nombre

des cas dans lesquels on amènera autant de boutes blanches que de boules noires est donc la somme des carrés des termes du développement du binôme {1 -+- 1 )', moins l'unité. Pour avoir cette somme, nous observerons qu'elle est égale au terme indépendant de a, dans le dé-

veloppement de I

I {i ■+■ a)'. Cette fonction est égale à -

Le terme indépendant de a, dans son développement, est ainsi le coef-