LIVRE II

probabilité d'amener x boules blanches, œ' boules noires et x" boules rouges sera

i.2.3.,.jr.i.2.3...:c'.i.2.3,..jr* \p -hç + r/ \p-^g-hr) Kp-^g-hr)

OÙ Ton doit observer que — ^- — » ^ » — - — sont les pro-

T p^q^r p-hq-hr p-\-q-h-r ^

habilités respectives de tirer de chaque urne une houle blanche, une houle noire et une houle rouge.

On voit généralement que, si les urnes renferment chacune le même nombre de couleurs, p étant le nombre des houles de la première couleur, q celui des houles de la seconde couleur, r, s, ... ceux des boules de la troisième, de la quatrième, . . ., x -i-x'-hx^'-h x'^-h ... étant le nombre des urnes, la probabilité d'amener x houles de la première couleur, x boules de la seconde, x" houles de la troisième, x'^ houles de la quatrième, . . . sera

i.a.3...^. i.a.3...x'.i.3.3.. .x". i .a.3, . .x". , . xp-^q-hr-hs-^.../

7. Déterminons maintenant la probabilité de tirer des urnes précédentes X boules blanches, avant d'amener soit x' houles noires, soit af' boules rouges, .... Il est clair que, n exprimant le nombre des couleurs, cela doit arriver au plus tard après a: -h a:' -+- ii/' -h . . .— n-hi tirages; car, lorsque le nombre des boules blanches extraites est égal ou moindre que x^ celui des boules noires extraites moindre que x\ celui des houles rouges extraites moindre que x^^ ..., le nombre total des houles extraites, et par conséquent le nombre des tirages, est égal ou moindre que x -i-x'-i- af-h . .. — n-h i; on peut donc ne considérer icique a;-+-a7'-h^''H-... — ^ -f- 1 urnes.

Pour avoir le nombre des cas dans lesquels on peut amener x boules blanches au {x -h i^^^ tirage, il faut déterminer tous les cas dans les^ quels X — I boules blanches seront sorties au tirage or -h i — i . Ce

nombre est le terme multiplié par jf^^ dans le développement du polynôme (/>-+- q -h r -\- . . .Y^^^\ et ce terme est

px-%(q^r-\-.,,Y.

En le combinant avec les/? boules blanches de l'urne x + /, on aura un produit qu'il faudra encore multiplier par le nombre de tous les cas possibles relatifs aux x' -^x" -k-...— n — i+i tirages suivants, et ce nombre est

on aura donc

pour le nombre des cas dans lesquels l'événement peut arriver précisément au tirage x + 1. II faut cependant en exclure les cas dans lesquels q est élevé à la puissance x\ ceux dans lesquels r est élevé à la puissance x'\ etc.; car dans tous ces cas il est déjà arrivé au tirage .r -h t — I , ou a/ boules noires, ou ocf boules rouges, ou etc. Ainsi dans le développement du polynôme (y-l-r-+-. ..)*, il ne faut avoir égard qu'aux termes multipliés par y-^r^'5^\.., dans lesquels /est moindre que x\ f est moindre que xf\ f" est moindre que x'^ .... Le terme multiplié par q^r^'s^" .. . dans ce développement est