LIVRE IL

dans le développement du binôme (i-hi)^-^, moins le premier, ou Tunité. Cette somme est ^(i -i- i)*'^-l-^(i — i)^"*"; le nombre des cas possibles est donc 2*^~' — i, ce qui donne pour l'expression de la probabilité cherchée

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Dans le cas où x est un grand nombre, cette probabilité se réduit par le n® 33 du Livre I" à --^i=.» ?: étant toujours la demi-circonférence dont I est le rayon.

6. Considérons un nombre œ -h x' d'urnes, dont la première renfcnne p boules blanches et q boules noires, la deuxième p' boules blanches et g' boules noires, la troisième p'' boules blanches et ciboules noires, et ainsi de suite. Supposons que l'on tire successivement une boule de chaque urne. Il est clair que le nombre de tous les os possibles au premier tirage est p-hq; au second tirage, chacun des cas du premier pouvant se combiner avec les p -^ q* boules de la seconde urne, on aura (/^ -+- 9) (/>'-+- 9') pour le nombre de tous les cas possibles relatifs aux deux premiers tirages. Au troisième tirage, chacnn de ces cas peut se combiner avec les p' H- q" boules de la troi- «ikmeurne; ce qui donne {p -^ q){p -^ q'){p" -^ g") pour le nombre de tons les cas possibles relatifs à trois tirages, et ainsi du reste. Ce produit pour la totalité des urnes sera composé de a? -^ a;' facteurs, et la somme de tous les termes de son développement dans lesquels la lettre />, avec ou sans accent, est répétée x fois, et par conséquent la lettre q^ x' fois, exprimera le nombre des cas dans lesquels on peut tirer des urnes a? boules blanches et a?' boules noires.

Si//,y/', . . . sont égaux à /?, et si q\ q", ... sont égaux à q, le produit précédent devient [p 4- q)"'^^\ Le terme multiplié par/?' y*' dans le développement de ce binôme est

(x4-x') (jTH-x'— i)...(j: + i) ^ . 1.2.3. . Jx -^x') .

Ainsi cette quantité exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener x boules blanches et x' boules noires. Le nombre de tous les cas possibles étant [p -^ q^^'^ ^^ probabilité d'amener x boules blanches et x' boules noires est

i.a.3...(j?-f'>V) I P Y ( 9 \^ 1 .2.3. . .X. I .a.3. . .x' \^ -h 9/ Kp-^qj

où Ton doit observer que — ~ est la probabilité de tirer une boule

blanche de l'une des urnes, et que -^ — est la probabilité d'en tirer une boule noire.

Il est visible qu'il est parfaitement égal de tirer x boules blanches Qix' boules noires de x 4- a?' urnes qui renferment chacune p boules blanches et q boules noires, ou d'une seule de ces urnes, pourvu que l'on remette dans l'urne la boule extraite à chaque tirage.

Considérons maintenant un nombre j? -+- a:' -+- a?" d'urnes dont la première renferme p boules blanches, q boules noires et r boules rouges, dont la seconde renferme p' boules blanches, ^ boules noires et f boules rouges, et ainsi de suite. Supposons que l'on tire une boule de chacune de ces urnes. Le nombre de tous les cas possibles sera le produit des x -h a:' -H j/' facteurs,

Le nombre des cas dans lesquels on amènera x boules blanches, xf boules noires et x" boules rouges sera la somme de tous les termes du développement de ce produit, dans lesquels la lettre p sera répétée X fois, la lettre y, x fois et la lettre r, x" fois. Si toutes les lettres accentuées p\ ^, . .. sont égales à leurs correspondantes non accentuées, le produit précédent se change dans le trinôme [p-^q -^ ^j*+x/-i-*" ^^ terme de son développement, qui a pour facteur /?' y*' r*^, est