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lions, pour former une équation finale d'où l'on tire la valeur de cet élément. La règle de Cotes fut suivie par tous les calculateurs. Hais quand il fallait déterminer plusieurs éléments, on n'avait aucune règle fixe pour combiner les équations de condition de manière à obtenir les équations finales nécessaires : seulement, on choisissait pour chaque élément les observations les plus propres à le déterminer. Ce fut pour obvier à ces tâtonnements que Legendre et Gauss imaginèrent d'ajouter les carrés des premiers membres des équations de condition, et d'en rendre la somme un minimum, en y faisant varier chaque élément inconnu : parce moyen, on obtient directement autant d'équations finales qu'il y a d'éléments. Mais les valeurs déterminées par ces équations méritent-elles la préférence sur toutes celles que l'on peut obtenir par d'autres moyens? C'est ce que le Calcul des Probabilités pouvait seul apprendre. Je l'appliquai donc à cet objet important, et je parvins, par une analyse délicate, à une règle qui renferme la précédente, et qui réunit, à l'avantage de donner par un procédé régulier les éléments cherchés, celui de tes faire sortir avec le plus d'évidence de l'ensemble (les observations, et d'en déterminer les valeurs qui ne laissent à <;raindre que les plus petites erreurs possibles.

On n'a cependant encore qu'une connaissance imparfaite des résultats obtenus, tant que la loi des erreurs dont ils sont susceptibles n'est pas connue; il faut pouvoir assigner la probabilité que ces erreurs sont contenues dans des limites données, ce qui revient ii déterminer ce que j'ai nammépoids d'un résultat. L'Analyse conduit à des formules générales et simples pour cet objet. J'ai appliqué cette analyse aux résultats des observations géodésiques. Le problème général consiste ît déterminer les probabilités que les valeurs d'une ou de plusieurs fooc-

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mêmes. Dans la recherche des éléments astronomiques, elle est donnée par la somme des carrés des différences entre chaque observation et le calcul. Les erreurs également probables étant proportionnelles à la racine carrée de cette somme, on peut par la comparaison de ces carrés apprécier l'exactitude relative des diverses Tables d*un même astre. Diosles opérations géodésiques, ces carrés sont remplacés par les carrés des erreurs des sommes observées des trois angles de chaque triiagle. La comparaison des carrés de ces erreurs fera donc juger de la précision relative des instruments avec lesquels on a mesuré les angles. On voit par cette comparaison Tavantage du cercle répétiteur 8Qr les instruments qu*il a remplacés dans la Géodésie.

Il existe souvent dans les observations plusieui^ sources d'erreurs : ainsi, les positions des astres étant déterminées au moyen de la lunette méridienne et du cercle, tous deux susceptibles d^erreurs dont la loi de probabilité ne doit pas être supposée la même, les éléments que Ton déduit de ces positions sont affectés de ces erreurs. Les équations de condition que Ton forme pour avoir ces éléments contiennent les erreurs de chaque instrument, et elles y ont des coefficients différents. Le système le plus avantageux des facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement ces équations, pour obtenir, par la réunion des produits, autant d'équations finales qu'il y a d'éléments à déterminer, n'est plus alors celui des coefficients des éléments dans chaque équation de condition. L'analyse dont j'ai fait usage conduit facilement, quel que soit le nombre des sources d'erreur, au système de facteurs qui donne les résultats les plus avantageux, ou dans lesquels une même erreurest moins probable que dans tout autre système. La même analyse détermine les lois de probabilité des erreurs de ces résultats. Ces formules renferment autant de constantes inconnues qu'il y a de sources d'erreur, et qui dépendent des lois de probabilité de ces erreurs. On ^ vu que, dans le cas d'une source unique, on peut déterminer cette (instante en formant la somme des carrés des résidus de chaque équabott de condition 9 lorsqu'on y a substitué les valeurs trouvées pour les éléments. Un procédé semblable donne généralement les valeurs de ces

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constantes, quel que soit leur nombre, ce qui complète l'application

(lu Calcul des Probabilités aux résultats des observations.

Je dois ici faire une remarque importante. La petite incertitude que tes observations, quand elles ne sont pas très multipliées, laissent sur les valeurs des constantes dont je viens de parler, rend un peu incertaines les probabilités déterminées par l'Analyse. Mais il suffît presque toujours de connaître si la probabilité que les erreurs des résultats obtenus sont renfermées dans d'étroites limites approcbe extrêmement de l'unité, et quand cela n'est pas, ilsurQtdesavoirjusqu'à quel point on doit multiplier les observations pour acquérir une probabilité telle qu'il ne reste sur la bonté des résultats aucun doute raisonnable. Les formules analytiques des probabilités remplissent parfaitement cet objet, et sous ce rapport elles peuvent être envisagées comme le complément nécessaire des sciences fondées sur un ensemble d'observations susceptibles d'erreur. Elles sont même indispensables pour résoudre un grand nombre de questions dans les sciences naturelles et morales. Les causes régulières des pbénomènes sont le plus souvent ou inconnues ou trop compliquées pour être soumises au calcul ; souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et irrégulières; mais elle reste toujours empreinte dans les événements produits par toutes ces causes, et elle y apporte des modifications qu'une longue suite d'observations peut déterminer. L'Analyse des Probabilités développe ces modiiîcations et assigne leurs degrés de vraisemblance. Ainsi, au milieu des causes irrégulières qui agitent l'atmosphère, les cbangements périodiques de la chaleur solaire du jour à la nuit et de l'hiver à l'été produisent, dans la pression de cette

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science, qui a commencé par la considération des jeux, se soit élevée aux plus importants objets des connaissatices humaines.

J'ai rassemblé toutes ces méthodes dans ma Théorie analytique des Probabilités^ où je me suis proposé d'exposer, de la manière la plus générale, les principes et l'analyse du Calcul des Probabilités, ainsi que les solutions des problèmes les plus intéressants et les plus difficiles que ce Calcul présente.

On voit, par cet Essai, que la théorie des probabilités n'est, au fond, que le bon sens réduit au calcul; elle fait apprécier avec exactitude ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Si l'on considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a donné naissance, la vérité des principes qui lui servent de base, la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes, les établissements d'utilité publique qui s'appuient sur elle, et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore par son application aux questions les plus importantes de la Philosophie naturelle et des Sciences morales ; si l'on observe ensuite que, dans les choses mêmes qui ne peuvent être soumises au calcul, elle donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugements, et qu'elle apprend à se garantir des illusions qui souvent nous égarent, on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos méditations et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.

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