LIVRE IL

ainsi de suite, la somme de tous ces termes exprimera le nombre des cas dans lesquels l'événement proposé peut arriver dans x-\- x'-{- . . . — n-+- 1 tirages. Il faut diviser cette somme par le nombre de tous les cas possibles* c'est-à-dire par (/n-^H-r-f-...)^'"*"^^'^ ""^*. Si Ton désigne par p' la probabilité de tirer une boule blanche d'une quelconque des urnes, par q' celle d'en tirer une boule noire, par r' celle d'en tirer une boule rouge, . . ., on aura

la fonction (6), divisée par {p-h q -h r-h. . .y*-""''-"-"-^*, deviendra ainsi

I-a somme des termes que l'on obtiendra en donnant à / toutes les valeurs depuis /= o jusqu'à / = or' — 1 , à /' toutes les valeurs depuis /"'= o jusqu'à /' = a/— I, ..., sera la probabilité cherchée d'amener oc boules blanches avant x' boules noires, ou x" boules rouges, ou. etc.

On peut, d'après cette analyse, déterminer le sort d'un nombre n de

joueurs A, B, C, . . ., dont p\ q\ /, . . . représentent les adresses res-

Pociives, c'est-à-dire leurs probabilités de gagner un coup lorsque,

pour gagner la partie, il manque x coups au joueur A, x' coups au

joueur B, a?"" coups au joueur C, et ainsi de suite; car il est clair que,

■"elativement au joueur A, cela revient à déterminer la probabilité d'ame-

■ïera?boules blanches avantd?' boules noires, ou a;'' boules rouges, ..., en

^•ï*atit successivement une boule d'un nombre x-^ ^-+- x" -+-... -~/z 4-1

^ Urnes qui renferment chacune p boules blanches, q boules noires,

^ «cules rouges, ...,/?, 9, r, ... étant respectivement égaux aux nu-

'^^érateurs des fractions p\ q', /^, ... réduites au même dénomina-

S. Le problème précédent peut être résolu d*une manière fort ^*naple par l'analyse des fonctions génératrices. Nommons /a?,x'.x\... la

OEwre» dm U ^ \\\. 27

910 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILitÉS.

probabilitédu joueur A pour gagner la partie. Ad coap suivant, cett^ probabilité se chaoge dans >'a.|,i>',..., si A gagne ce coup, et la pro~ « habilité pour cela est/»'. La même probabilité se change dans^ar^.,^-.... si le coup est gagné par le joueur B, et ta probabilité pour cela est ç'^*elle se change dans/^y,,,'.,,..., si le coup est gagné par le joueur C, e^ la probabilité pour cela est r', et ainsi de suite; on a donc l'équatio -« aux difTérences partielles

Soit u une fonction de t, i, l", ..., telle que yx^;x;... soit le coefficie^ de ft'-^'t"'" .. . dans son développement; l'équation précédente aux dr férences partielles donnera, en passant des coefficients aux fonction génératrices,

d'où Ton tire

par conséquent,

ce qui donne

[q-f + rt'-t

îintenant le coefficient de t't'''t"^... dans — esty^,^;^' . ., et le icOirieut dans un terme qneloonqtie rlii dernier membre de