LIVRE II

finie, lorsque l'un quelconque des joueurs B» C, . . . n'a plus de coups à jouer; il ne faut donc considérer dans le dernier membre de l'équation précédente que les puissances de /' moindres que x\ que les puissances de f moindres que x'\ L'expression précédente de — donnera ainsi, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

pourvu que l'on rejette les termes dans lesquels la puissance de q' surpasse j?' — I, ceux dans lesquels la puissance de / surpasse x" — i, etc.

Le second membre de cette équation se développe dans une suite de

termes compris dans la formule générale

i.2.3...(jr-4-/-4-/^4-...-i) ^,^^,^ ^^,

La somme de ces termes relatifs à toutes les valeurs de / depuis / nul jusqu'à /=a:'— I, à toutes les valeurs de/' depuis/' nul jusqu'à r=af — i, . . ., sera la probabilité ya?,a/,ar',.... ce qui est conforme à ce qui précède.

Dans le cas de deux joueurs A et B, on aura, pour la probabilité du joueur A,

En changeant p' en q' et x en x\ et réciproquement, on aura

t ï-^ I .2.3. . .(JT — l) '^ J

pour la probabilité que le joueur B gagnera la partie. La somme de ces

deux expressions doit être égale à l'unitét ce que Ton voit évidemment en leur donnant les formes suivantes. La première expression peut, par le n** 37 du Livre I•^ être transformée dans celle-ci

x-hx'—iq' (x H- x' — i) (^ -h x'— 2) ^'* i p I . a p *

' (jT-Hx'— i)...(.r-hi) </'-'^-«

'jr'-i

et la seconde peut être transformée dans celle-ci

La somme de ces expressions est le développement du binôme (/?'-+- ç')*"^^'"'f et par conséquent elle est égale à Tunité, parce que, A ou B devant gagner chaque coup, la somme p' -h y' de leurs probabilités pour cela est l'unité.

Le problème que nous venons de résoudre est celui que l'on nomme problème des partis dans l'Analyse des hasards. Le chevalier de Méré le proposa à Pascal, avec quelques autres problèmes sur le jeu de dés. Deux joueurs dont les adresses sont égales ont mis au jeu la même somme; ils doivent jouer jusqu'à ce que l'un d'eux ait gagné un nombre de fois donné son adversaire; mais ils conviennent de quitter le jeu, lorsqu'il manque encore x points au premier joueur pour atteindre ce nombre donné, et lorsqu'il manque x' points au second joueur. On demande de quelle manière ils doivent se partager la somme mise au jeu. Tel est le problème que Pascal résolut au moyen de son triangle arithmétique. Il le proposa à Fermât qui en donna la solution par la voie des combinaisons, ce qui occasionna entre ces deux grands géomètres une discussion, à la suite de laquelle Pascal reconnut la bonté de la méthode de Fermât, pour un nombre quelconque de joueurs. Malheureusement nous n'avons qu'une partie de leur correspondance, dans laquelle on voit les premiers éléments de la théorie des probabilités