LIVRE IL S

on a donc

^'^ ^ X{x-hî), ..{X'^X'^2) I

résultat conforme à ce qui précède.

Concevons présentement qu'il y ait dans l'urne une boule blanche portant le n^ i, et deux boules noires, dont une porte le n® i, et l'autre porte le n° 2, la boule blanche étant favorable à Â, et les boules noires à son adversaire, chaque boule diminuant de son numéro le nombre de points qui manquent au joueur auquel elle est favorable. yj.^jf étant toujours la probabilité que le joueur A atteindra le premier le nombre donné, on aura l'équation aux différences partielles

car, au tirage suivant, si la boule blanche sort, j^r,*' devient yx-^,x'l si la boule noire numérotée i sort, y^^' devient yx^'-i* et si la boule noire numérotée 2 sort, j-p,^;' devient ja,,^j, et la probabilité de chacun de ces événements est j.

La fonction génératrice de y^^x' est

M étant une fonction arbitraire de/', qui doit, par ce qui précède, avoir pour facteur /', et dans le cas présent être égale à

en sorte que la fonction génératrice de yx^x est

Le coefficient de f dans le développement de cette fonction est