I .a.3. . .(r4- 1)3-'^'^' | * ' i.a 1.2.3 rj

^ jr(x-+-i)...(x + rjj-i] r. . ,, . ,^ , . (r+2)(r-+- 1)...41

x[x -h l). . .(jT H- 2r)

Si Ton suppose x' impair et égal à 3r4- 1, on aura

i:(j:-4-i)...(x+r-4-i)r , . . . . (r4-2)(r-hi) (r-h2)(r+f)...51

ar{a: -f- 1). . .(.r H- 2r — r) "^ i72'.3~772r3^+î'^ '

Ainsi, dans le cas de a? = 2 et a?' = 5, on a

ra.5

Concevons encore qu'il y ait dans l'urne deux boules blanches distinguées, comme les deux boules noires, par les n*"* 1 et 2; la probabilité du joueur A sera donnée par l'équation aux différences partielles

La fonction génératrice dej^-ja; est alors, par le n*" 20 du Livre I^,

M et N étant deux fonctions arbitraires de /'. Pour les déterminer, on observera que j'o,x' est toujours égal à l'unité, et qu'il faut exclure dans M la puissance nulle de /'; on a donc

Pour déterminer N, cherchons la fonction génératrice dej,,^.. Si l'on observe que j,,,^ est égal à l'unité, et que, le joueur A n'ayant plus besoin que d'un point, il gagne la partie, soit qu'il amène la boule blanche numérotée i ou la boule blanche numérotée 2, l'équation précédente aux différences partielles donnera

Supposons j',, a/ = I — J^V; on aura ^ fonction génératrice de cette équation est

"^ ^t n étant deux constantes. Pour les déterminer, on observera que ^«.o ^==0, et que par conséquent y^ = i, ce qui donne m= i. La fonc-

CÊmrwi dtL,— VU. 28

tion génératrice dey'^, est donc

, + nf

i — ;/'— je»

On a ensuite évidemment y,,, = {, ce qui donne y, = J;y, est I ficieut de t' dans le développement de la fonction précédente, et i ficient est n -t- {; on a donc « + j = j, ou n = 7. La fonction {

triée de l'unité est ,> parce qu'ici toutes les puissances de

vent être admises; on a ainsi

AJl...

-il")'

pour la fonction génératrice àey,^,,: Cette même fonction est le cient de / dans le développement de la fonction génératrice di fonction qui, parce qui précède, est

lr») + N/

ce coefficient est

if')^

en l'égalant à