LIVRE II. 3S

tant la première, et une des boules du n^ 3, sortant la seconde. Ce cas est compris deux fois dans le nombre précédent ; car il est compris une fois dans le nombre des cas relatifs à la supposition qu'une des boules numérotées i sortira à son rang, et une seconde fois dans le nombre des cas relatifs à la supposition qu'une des boules numérotée 2 sortira à son rang; et, comme cela s'étend à deux boules quelconques sortant à leur rang, on voit qu'il faut retrancher du nombre des cas précédents le nombre de tous les cas dans lesquels deux boules sortent à leur rang.

Le nombre des combinaisons de deux boules de numéros différents

est ?A^"l^' r*; car le nombre des numéros étant /i, leurs combinaisons I .a

deux à deux sont au nombre ?^^^, et dans chacune de ces combi-

naisons on peut combiner les r boules marquées d'un des numéros avec les r boules marquées de l'autre numéro. Le nombre des combinaisons des m — 2 boules restantes, prises /i — 2 à n — 3, en ayant égard à l'ordre qu'elles observent entre elles, est

(rn— 7.)[rn — 3)...(rn — /i-H i);

ainsi le nombre des cas relatifs à la supposition que deux boules sortent à leur rang est

^ -'^^^^ r^{rn—i){rn— 3). . .(r/i — /iH- i);

en le retranchant du nombre (a), on aura

/ nr(rn — i)(rn — 2). . .(r/i — n -f- 1)

r*(r/» — 2)(rn — 3). . .(rn — n -4- 1),

pour le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins sortira à son rang, pourvu que l'on retranche encore de cette fonction les cas répétés, et qu'on lui ajoute ceux qui manquent.

Ces cas sont ceux dans lesquels trois boules sortent à leur rang. En nommant i ce nombre, il est répété trois fois dans le premier terme de

la fonction {a'); car il peut résulter, dans ce terme, des trois suppositions de chacune des trois boules sortant à son rang. Le nombre k est pareillement compris trois fois dans le second terme de la fonction ; car il peut résulter de chacune des suppositions relatives à deux quelconques des trois boules sortant à leur rang. Ainsi, ce second terme étant affecté du signe —, le nombre i ne se trouve point dans la fonction (a'); il faut donc le lui ajouter pour qu'elle contienne tous les cas dans lesquels une boule au moins sort à son rang. Le nombre des combinaisons des n numéros pris trois à trois est -- ""'^^^""^ > et, comme

on peut combiner les r boules d'un des numéros de chaque combinaison avec tes r boules du second numéro et avec les r boules du troisième numéro, on aura le nombre total des combinaisons dans lesquelles

trois boules sortent à leur rang, en multipliant ^ 3"^^ '"' P*^

{rn — • 3} (m — 4) • • • ('^ — n 4- i), nombre qui exprime celui des combinaisons des m — 3 boules restantes, prises /i — 3 à /i — 3, en ayant égard à l'ordre qu'elles observent entre elles. Si l'on ajoute ce produit à la fonction (a'), on aura

nr(m — i) {/ti -— 2). . .(r/i — n -h i)

, ., , ^r*(r/i — a) (rn — 3). ..(rn — /i -hi)

nln — i) in — a) ,, «x / /x / \

H- -^ ^3 ^r»(rn-3)(rn-.4)...(rn-n-hi).

Cette fonction exprime le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins sort à son rang, pourvu que l'on en retranche encore les cas répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels quatre boules sortent à leur rang. En y appliquant les raisonnements précédents, on verra qu'il faut encore retrancher de la fonction (a") le terme

77^377 r*(rn — 4)(rn — 5)...(rn — n-M).

En continuant ainsi, on aura, pour l'expression du nombre des cas dans