LIVRE II

lesquels une boule au moins sort à son rang,

/ nr[m — i) (rn — 2). . .(r/i — n -+- 1)

— ^^^""^>^(rn — a) (r/i — 3). . .(m — n -4-1)

5^ \\^^^^^ ^ r'[rn^ 4) (m - 5). . .(m - /n- 1)

la série étant continuée aussi loin qu'elle peut Tétre. Dans cette fonction, chaque combinaison n*est point répétée : ainsi la combinaison de s boules sortant à leur rang ne s'y trouve qu'une fois; car cette combinaison est comprise s fois dans le premier terme de la fonction, puisqu'elle peut résulter de chacune des s boules sortant à son rang; elle

est retranchée ^^^"" '^ fois dans le second terme, puisqu'elle peut

résulter des combinaisons deux à deux des s boules sortant à leur rang;

elle est ajoutée ^^^"^ ^^^^^ fois dans le troisième terme, puisqu'elle

peut résulter des combinaisons de s lettres prises trois à trois, et ainsi de suite; elle est donc, dans la fonction (A), comprise un nombre de fois égal à

et par conséquent égal à i — (i — i)', ou a l'unité. En divisant la fonction (A) parle nombre rn{m — i)(m— 2)... (m — /i 4- i) de tous les cas possibles, on aura, pour l'expression de la probabilité qu'une boule au moins sortira à son rang,

(n — i)r ^ (n— i) (n — -air*

i.2(r/»^-i) 1 .2.3 (rn — i) (r/i — 2)

Gher^chons maintenant la probabilité que s boules au moins sortiront

2ifc THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

à leur rang. Le nombre des cas dans lesquels s boules sortent à leur rang est, par ce qui précède,

... n(n — i]{n — 2),.Jn — s-hi)^, ., . , .

pourvu que l'on retranche de cette fonction les cas qui sont répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels s -h i boules sortent à leur rang, car ils peuvent résulter, dans la fonction, de ^ •+ i boules prises siis; ces cas sont donc répétés s + i fois dans cette fonction ; par conséquent il faut les retrancher s fois. Or le nombre des cas dans lesquels 5 + 1 boules sortent à leur rang est

En le multipliant par s et le retranchant de la fonction {b), on aura

/ nfn — i) (n — 2). ..(/» — 54-1) ^, ., . , ,

Dans cette fonction, plusieurs cas sont encore répétés, savoir, ceux dans lesquels 5+2 boules sortent à leur rang; car ils résultent, dans le premier terme, des s -\- 2 boules sortant à leur rang et prises f à 5; ils résultent, dans le second terme, des s -h 2 boules sortant à leur rang et prises 5 + i à 5 4- 1 , et de plus multipliés par le facteur 5, par lequel on a multiplié le second terme. Ils sont donc compris dans cette fonction le nombre de fois ^- — —^- — - —5(5-1-2); ainsi il faut multiplier

par l'unité, moins ce nombre de fois, le nombre des cas dans lesquels 54-2 boules sortent à leur rang. Ce dernier nombre est

le produit dont il s'agit sera donc

— '- - - , -, — -r^^irn^ *— 2). ..(rn — n4- O- — •

En l'ajoutant à la fonction {b'), on aura

r'(rn— s) [m — *— i). . .{r/i — /i -h i)