LIVRE II
ment au coup or; nommons z^ cette probabilité. Pour que la partie finisse au coup a;, il faut que le joueur qui entre au jeu au coup.r— /i 4- 1 gagne ce coup elles n — i coups suivants; or il peut entrer contre un joueur
qui n'a gagné qu'un seul coup : en nommant P la probabilité de cet
événement, ~ sera la probabilité correspondante que la partie finira
au coup x. Mais la probabilité z^g^^ que la partie finira au coup x — i
est évidemment —37- Car il est nécessaire pour cela qu'il y ait un
joueur qui ait gagné un coup, au coup a: — /i -h i, et qui, jouant a ce coup, le gagne et les n — 2 coups suivants; et la probabilité de chacun
de ces événements étant P et -^» la probabilité de l'événement com-
posé sera -;^; on aura donc «^^-i = -^i:^^ et, par conséquent,
^ZJf^^ est donc la probabilité que la partie finira au coup œ, relative à ce cas.
Si le joueur qui entre au jeu au coup x — n-h i joue à ce coup
contre un joueur qui a déjà gagné deux coups, en nommant P' la pro-
P' habilité de ce cas, ~ sera la probabilité relative à ce cas que la partie
finira au coup x. Mais on a
iH-1
car, pour que la partie finisse au coup x — 2, il faut qu'au coup ^ — /i + I l'un des joueurs ait déjà gagné deux coups, et qu'il gagne ce coup et les /i — 3 coups suivants. On a donc
- ^x-s est donc la probabilité que la partie finira au coup x, relative à ce cas ; et ainsi de suite.
2kk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS. En rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura î I I I
La fonction génératrice de Zj. est, par le Livre I*',
OU
Pour déterminer <|/(/), nous observerons que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au coup n^ et que la probabilité pour cela est -^ ; car il faut que le vainqueur au premier coup gagne les /i — i coups suivants ; ^{t) ne doit donc renfermer que la puissance n de/, et -;^ doit être
le coefficient de cette puissance, ce qui donne ^{i) = -^^; ainsi la fonction génératrice de Zj, est
La somme des coefficients des puissances de / jusqu'à l'infini, dans le développement de cette fonction, est la probabilité que la partie doit finir après une infinité de coups; or on a cette somme en faisant t = i dans la fonction, ce qui la réduit à l'unité; il est donc certain que la partie doit finir.
On aura la probabilité que la partie sera finie au coup x ou avant ce coup, en déterminant le coefficient de t' dans le développement de la fonction précédente, divisée par i — /; la fonction génératrice de cotte probabilité est donc
