LIVRE II

Donnons à la fonction génératrice de ^^ cette forme

^ 1-/" L' a" 1 ~ / ^ a«« (i - /> • • J • le coefficient de /' dans ^^.''J^ est

I (a?— m -h i) (jc — r/i 4- a). . .(a: — rn -+■ r— a) , ,

^ ^-^ -^ 4 ^ [x — rn-^ ar- a ;

on a donc

I X — 'ÀTi-^l X — 3/1-+-I, ^ ,,

expression qui n'est relative qu'à x plus grand que n^ et dans laquelle il ne faut prendre qu'autant de termes qu'il y a d'unités entières dans

le quotient -• Lorsque a? = /i, on a ^s^? = -^rr*

En développant de la même manière la fonction génératrice de la probabilité que la partie finira avant ou au coup x^ on trouvera pour l'expression de cette probabilité

. — (va? — an-+- 4)

cette expression ayant lieu dans le cas même de x = n.

Déterminons maintenant les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie au coup x. Soit j^o.or celle du joueur qui a gagné le premier coup. Soient 7,, ^r, j2,j?» •••»7/i-i,x celles des joueurs suivants, et j„^ celle du joueur qui a perdu au premier coup, et qui par là est devenu le dernier. Désignons les joueurs par (o), (i), (a), ..., (/i — i), {n). Cela posé, la probabilité y^^ du joueur (r) devient 7^,,^,, si au second coup le joueur (o) est vaincu par le joueur (1) ;

car il est visible que (r) se trouve alors, par rapport au vainqueur (i), dans la même position où était (r-- i) par rapport au vainqueur (o); seulement, il y a un coup de moins à jouer pour arriver au coup x, ce qui change x dans x ~ i. Présentement la probabilité que le joueur (o) sera vaincu par (i) est ^; ainsi ïjr-i,x^i Çst la probabilité du joueur [r) pour gagner la partie au coupa:, relative au cas où (o) est vaincu par (i). Si (o) n'est vaincu que par (2), y^^x <levient j^^j^^p..,, et la probabilité de cet événement étant {, on a {j'r-j,*--! pour la probabilité du joueur (r) de gagner la partie au coup x, relative k ce cas. Si le joueur (o) n'est vaincu que par le joueur (r), y^x devient jo.x-rt et la

probabilité de cet événement est ~; ainsi -7 j'o.x-r est la probabilité

du joueur (r) pour gagner la partie au coup x^ relative à ce cas. Si le joueur (o) n'est vaincu que par le joueur (r-i- i), y^^^ se change dans y„,,a?-r-i; car alors le joueur (r) se trouve, par rapport au vainqueur, dans la position primitive du joueur (n — i) par rapport au joueur (o) ; seulement il ne reste que ir — r— i coups à jouer pour arriver au coup X. Or la probabilité que (o) ne sera vaincu que par le joueur

(r-h 1) est -^-'^ -p:^^ j„,,x-r-i est donc la probabilité de (r) pour ga-

gner la partie au coup x^ relative à ce cas. En continuant ainsi, et rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura la probabilité entière y^^^. du joueur (r) pour gagner la partie, ce qui donne l'équation suivante :

Cette expression a lieu depuis r= i jusqu'à r= w — 2. Elle donne I 1 I I

En retranchant cette équation de la précédente, on aura celle-ci aux