LIVRE II

différences partielles,

cette équation s^étend depuis r= 2 jusqu*à r = n — 2. On a, par le raisonnement précédent, Téquation suivante :

Mais l'expression précédente de 7^^^ donne

En retranchant cette équation de la précédente, on aura

ainsi l'équation (i) subsiste dans le cas de r= n — 1.

Le raisonnement précédent conduit encore à cette équation

Xn,x — -^;>~i.jp~i -f- -^^«-«..c-i -+-.•• -H "^rr J^»,J^-«+i>

ce qui donne

-xh,x-\ — ^rn-i.jp-a-H. -.4- ^r<.*^-«-

En retranchant cette équation de celle-ci, que donne l'expression générale de yr,x^

et faisant ^ (7o,x 4- r«,ar) = Jo^, on aura

ri.jT- ro.or-i 4- — ri.x-« = o.

L'équation (i) subsiste donc encore dans le cas même de r = i , pourvu que l'on y change jo^ dans y^^^* On doit observer que y^,^ est la probabilité de gagner la partie au coup x de chacun des deux premiers

joueurs, au moment où le jeu commence; car cette probabllilé devients après le premier coup, yo,x o« y«.x suivant que le joueur gagoe ow perd, et la probabilité de chacun de ces événements est j.

Maintenant, la fonction génératrice de l'équation (i) est, par le n" 2»2 du Livre I";

i-tf -h—t"

/ étant reiatifà la variable x, et t' étant relatif à la variable r, en sorL^ que y,,j, est le coefficient de f'f dans le développement de cette foncz tion; f (/) est une fonction de f qu'il s'agit de déterminer. Pour cela, nous ferons

Ih fonction génératrice de y^^ sera le coefficient de f dans le développement de la fonction (a) ; elle sera donc

La probabilité que la partie finira précisément au coup œ est évidemment la somme des probabilités de chaque joueur pour la gagner à ce coup; elle est donc

ar»,-' + r»,^ + r*.-^ -'-■■■-'- r»-".-ei

par conséquent la fonction génératrice de cette probabilité est

T if(t)(x-htT -t-fiT* +. ..+ /"-'T"-') ou

En l'égalant à la fonction génératrice de celte probabilité, que nous