LIVRE II. 35S

En divisant la fonction génératrice précédente par i — /, on aura

pour la fonction génératrice de la probabilité que l'événement composé aura lieu avant ou au coup x.

En développant cette fonction» on aura, pour le coefficient de f^^ la série

qi[[i - q)x + 1] - (i - ?]7*''^-^ [(> - 7) (a? - I - i) -H ï]

+ (,,).,.< i^Zllill^Zllilll) [(,,) (:r -.,•- a) + 3]

/ V ..•(•îP — 3i) (jT — 3ï — i) (j: — 3i — 2)-, .. ^. ^. , .^

- («-?)•?*' i.vL.^1 ■[(»-9)(^-3'-3)-+-4]

la série étant continuée jusqu'à ce que Ton arrive à des facteurs négatifs. C/est l'expression de la probabilité que l'événement composé aura lieu au coup j? + i ou avant ce coup.

Supposons encore que deux joueurs A et B, dont les adresses respectives pour gagner un coup sont ^ et i — q^ jouent à cette condition, que celui des deux qui aura le premier vaincu e fois de suite son adversaire gagnera la partie; on demande les probabilités respectives des deux joueurs pour gagner la partie précisément au coup x.

Soit y^ la probabilité de A, et y^, celle de B. Le joueur A ne peut gagner la partie au coup x^ qu'autant qu'il commence ou recommence à gagner B au coup a? — i h- i , et qu'il continue de le gagner les i — 1 coups suivants. Or, avant de commencer le coup x — i-^i, B aura déjà gagné A ou une fois, ou deux fois, . . ., ou 1 — i fois. Dans le premier cas, si l'on nomme P la probabilité de ce cas, P(i — qY~^ sera la probabilité y^^^ de B pour gagner la partie au coup a? — i, ce qui donne

Mk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Mais si B perd au coup a; ~ i -f- 1 et aux i — i coups Baivants, A gi^s

gnera la partie au coup x, et la probabilité de cela est P^; . '^'rrr est donc la partie de y^, relative au premier cas.

Dans le second cas, si l'on nomme F sa probabilité, P'{i — q)'~* se» la probabilité y'^^ de B pour gagner la partie au coup x — 3. La pr»— : bahilité de A pour gagner la partie au coup x, relative à ce cas, c~^=i

P'q'; on a donc Xf^i pour cette probabilité. En continuant ainsi, on aura

Si l'on change q en

[(' -?)r!r-i -«-{'- ?)Vx-

- g, yx en y^, et réciproquement, ou aura

^fl»r^.»-^-... + ?'-•rx-/*.^

Maintenant, u étant fonction génératrice de ^x< celle de y'^^ sera, par tout ce qui précède.

kqui{\. + ?/ + 9(» -t-. . .-t- ç'-»/'-«).

k étant égal à -

Mais l'expression précédente de y'^ ne commen-

çant à avoir lieu que lorsque x=-i ~\-i, parce que pour des valeurs plus petitesdea:, )'j,,,^j^j, ... sont nuls, il faut, pour compléter l'expression précédente de la fonction génératrice de/^, lui ajouter une fonction rationnelle et entière de /, de l'ordre j, et dont les coefficients des puissances de t soient les valeurs dey^, lorsque x est égal ou plus petit que i. Or y'^ est nul, lorsque x est moindre que ('; et lorsqu'il est égal à I, y'^ est (i — qf, parce qu'il exprime alors la probabilité de B ' [:i nai'lÎL' iitn'i"^ / coups: l;i furtction à aioiil(>r i-sl doi