LIVRE IL

donnera pour la fonction génératrice de j«, en changeant dans celle de y^^ k dans r» q dans i — y.

Cette quantité est donc égale à u^ d'où Ton tire, en y substituant pouri/ sa valeur précédente,

En changeant y en i — y, on aura la fonction U génératrice de y^. Si l'on divise ces fonctions par i — ^» on aura les fonctions génératrices des probabilités respectives de A et de B, pour gagner la partie avant ou au coup X.

Si Ton suppose t = i dansu, on aura la probabilité que A gagnera la partie; car il est clair qu'en développant u suivant les puissances de /, et en supposant ensuite / = i, la somme de tous les termes de ce développement sera celle de toutes les valeurs de 7^. On trouve ainsi la probabilité de A pour gagner la partie égale à

la probabilité de B est donc

Supposons maintenant que les joueurs, à chaque coup qu'ils perdent, déposent un franc au jeu, et déterminons leur sort respectif. Il est clair que le gain du joueur A sera a?, s'il gagne la partie au coup x, puisqu'il y aura x francs déposés au jeu; ainsi la probabilité de cet événement étant ja? par ce qui précède, Sxy^ sera l'expression de l'avantage de A, le signe S s'étendant à toutes les valeurs possibles de x. La fonction

génératrice dey^i étant u ou y* T' étant le numérateur de l'expression

précédente de u, et T étant son dénominateur, il est facile de voir que

l'on aura Sa^j^ en différentiant y> ^t en supposant ensuite t = i dans

cette différentielle, ce qui donne, avec cette condition.

Pour avoir le désavantage de A, on observera qu'à chaque coup qu'il joue, la probabilité qu'il perdra, et par conséquent qu'il déposera un franc au jeu, est i — g; sa perte est donc le produit de i — ^ par la probabilité que le coup sera joué ; or la probabilité que le coup x sera joué est I — S^a?-! — S^lr-4 ; Isi fonction génératrice de l'unité est ici

——j et celle de S ja?-i -+- S j^^, est j,. __ > -, T*' étant ce que devient T

lorsqu'on y change ^ en i — ^ et réciproquement; ainsi la fonction génératrice du désavantage de A est

Le numérateur et le dénominateur de cette fonction sont divisibles par 1 — /; de plus, on aura la somme de tous les désavantages de A, ou son désavantage total, en faisant t= i dans cette fonction génératrice; le désavantage total est donc, par les méthodes connues, et en observant que T'^T = T lorsque / = i,

(i~7](dT-rfr^~rfT^)

Tdt '

t étant supposé égal à l'unité après les différentiations. Si l'on retranche cette expression de celle de l'avantage total de A, on aura, pour l'expression du sort de ce joueur,

^jr-t-(i-.g)(rfT--rfr) rrfr

Tdt T^dt*

Le sort de B sera

(i-y)rfT^4-y(rfr-dT^) T^rfT Tdt T*dt'