LIVRE IL

La probabilité précédente devient ainsi ,

ii97.i5q4 , ,n

2 y^SoTT 1200.663

Cette probabilité est beaucoup trop grande pour indiquer une cause qui ait favorisé, dans Torigine, les mouvements directs. Ainsi la cause qui a déterminé le sens des mouvements de révolution et de rotation des planètes et des satellites ne parait pas avoir influé sur le mouvement des comètes.

14. La méthode du numéro précédent a l'avantage de s'étendre au cas où le nombre des boules de l'urne qui portent le même numéro n'est pas égal à l'unité, mais varie suivant une loi quelconque. Concevons, par exemple, qu'il n'y ait qu'une boule portant le n** o, qu'une boule portant le n^ i, et ainsi de suite jusqu'au n° r inclusivement. Supposons de plus qu'il y ait deux boules portant le n° r-f- 1, deux boules portant le n° r + :2, et ainsi de suite jusqu'au n^ n inclusivement. Le nombre total des boules de l'urne sera ^n — r-f- 1, la probabilité

d'en extraire un des numéros inférieurs à r-h i sera donc ^- »

et la probabilité d'en extraire le n® r-f- 1 ou l'un des numéros supé-

rieurs sera : nous la représenterons par ; mais nous

ferons /= i dans le résultat du calcul. Quoiqu'il n'y ait point de numéros au delà du n^ n, nous pouvons cependant considérer dans l'urne des numéros supérieurs an, jusqu'à l'infini, pourvu que nous donnions à leur extraction une probabilité nulle ; nous pourrons donc représenter

cette probabilité par '^ > en faisant /= i dans le résultat

du calcul. Par cet artifice, nous pourrons représenter généralement la probabilité d'un numéro quelconque par l'expression précédente, pourvu que nous ne fassions commencer V^^ que lorsqu'un des numéros commencera à surpasser r, et que nous ne fassions commencer Z"'^* que lorsqu'un des numéros commencera à surpasser n. Cela posé, on

trouvera, en appliquant ici les raisonnements du numéro précédent, que la probabilité d'amener le nombre s dans i tirages est égale à

.)Uh

-al(*4

pourvu que, dans le développement de cette fonction suivant les puissances de /, on diminue dans chaque terme s de l'exposant de la puissance de /, qu'on suppose ensuite / = i et qu'on arrête la série lorsque l'on parvient à des facteurs négatifs.

15. Appliquons maintenant cette méthode à la recherche du résultat moyen que doit donner un nombre quelconque d'observations dont les lois de facilité des erreurs sont connues. Pour cela, nous allons résoudre le problème suivant :

Soient i quantités variables et positives /,!,,/, ;,, , dont la

somme soit s, et dont la loi de possibilité soit connue ; on propose de trouver la somme des produits de chaque valeur que peut recevoir une fonction donnée '^{t, /, , fj, . . . ) de ces variables, multipliée par la probabilité correspondante à cette valeur.

Supposons, pour plus de généralité, que les fonctions qui expriment les possibilités des variables t, t soient discontinues, et représentons par ç(/) la possibilité de i, depuis t = o jusqu'à / = ?, par ç'(/)-j-ç(*)sapos9ibilitédepuis/ = 9Jusqu'à/ = 9',par<p"(/) + 9'(<)-i-ç(i} sa possibilité depuis t = ^' jusqu'à ; =^ ^, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Désignons ensuite les mêmes quantités relatives aux variables t,, t par les mêmes lettres, en écrivant respectivement au bas les