LIVRE IL

multiplierons, conformément à la méthode exposée dans les numéros précédents, ç(/) par /• ou Tunité, <p'(/) par fi^ <f'\t) par fi\ . . .; nous multiplierons pareillement 9i(/|) par l'unité, ?,(/|) par /^<, et ainsi de

suite; les exposants des puissances de/ indiqueront alors ces valeurs.

Il suffira ensuite de faire /= i dans le dernier résultat du calcul. Au

ffioyende ces artifices très simples, on peut facilement résoudre le

problème proposé.

La probabilité de la fonction ^(/, /«, t^^ . . .) est évidemment égale au

produit des probabilités de ^, ^i, /a, . . ., en sorte que, si Ton substitue pour t sa valeur 5 — /, — /, -^ • • • > que donne Féquation

le produit de la fonction proposée par sa probabilité sera

tj>(i— /i— /i — ..., /i,/a, ...)

(•V' i X[(pi{l,)-4-fr«?;(/i)4-/^i<p';{/i)4-...]

On aura donc la somme de tous ces produits : i^ en multipliant la quantité précédente par dt^ et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont /, est susceptible; 2? en multipliant cette intégrale par di^ et eu l'intégrant pour toutes les valeurs dont /, est susceptible, et ainsi de suite jusqu'à la dernière variable ^i i; mais ces intégrations successives exigent quelques attentions particulières. Considérons un terme quelconque de la quantité (A), tel que

^ le multipliant par dt^^ il faut intégrer pour toutes les valeurs pos- ^lesde i|; or la fonction ç'(j — /, — /^ — . . .) n'a lieu que lorsque /, <lontla valeur est5 — 1, — /, — . . ., égale ou surpasse q\ la plus grande vileur que ^1 puisse recevoir est donc s — q — t^ ^ t^ — De plus,

(f\{ti) n'ayant lieu que lorsque /, est égal ou plus grand que ^4, cette quantité est la plus petite valeur que r, puisse recevoir; il faut donc prendre l'intégrale dont il s'agit depuis i^ = q^ jusqu'à

ti = s — q — ti — /s — . • .;

ou, ce qui revient au même, depuis /, — y, = o jusqu'à

/i — çi = 5 — ç — ji — /a — /j — —

On trouvera de la même manière qu'en multipliant cette nouvelle intégrale par rf/j, il faudra l'intégrer depuis ^2 — y'a = o jusqu'à

t2 — q2 = s — ç — Çi — c'a "~ '3 ~~

En continuant d'opérer ainsi, on arrivera à une fonction de

s — q — Çi — c'a ""•••>

dans laquelle il ne restera aucune des variables t, t^^ t^, Cette

fonction doit être rejetée, si ^ — y — y, — y'^ — . . . est nul ou négatif; car il est visible que, dans ce cas, le système des fonctions <fXt), ?\{^i)* ?a(^2)» •••ne peut pas être employé. En effet, les plus petites valeurs de ^, /a, ... étant, par la nature de ces fonctions, égales à ^i, y'j, ..., la plus grande valeur que / puisse recevoir est ^ ~ ^i ""ya^-'-î ainsi la plus grande valeur de / — y est

* — Ç — Çi — c'a ~" • • • ;

or la fonction (f\t) ne peut être employée qu'autant que / — y est positif.

De là résulte une solution très simple du problème proposé. Que l'on substitue : i** y H- / au lieu de t dans (p'(/), y'H- / au lieu de t dans

?"(0» 9^"+* ^ ^^ ^*^^ ^^ ^ ^^"s 9'^i^) ^^ ^^^^^ ^^ suite; 2^ q^ H- 1, au lieu de ti dans <p',(^i), q\•^t^ au lieu de /, dans 9*('i)f •••; 3* ya^*'a siu

lieu de t^ dans <p'a(/a)> y'a "^ ^a ^" ^*®^ d® ^1 ^^^^ ÇaC'a)» '••» ^^ ^*"^* ^^