LIVRE II

différence est insensible lorsque n est un grand nombre. Cela posé, considérons dans l'intégrale ï/Urf|jLV^ le terme

En étendant l'intégrale depuis |jl = — oo jusqu'à [a = 00 , ce terme devient

Le facteur 1 — i -f- — —- ... est égal à (i — i)'; il est donc nul, excepté dans le cas de t = o, où il se réduit à l'unité. Il est visible que les termes de l'expression de U qui renferment des puissances impaires de (A donnent un résultat nul dans l'intégrale j/Ufi?(iL0i, étendue depuis (jL = — 00 jusqu'à (jL = 00 ; car ces termes ont pour facteur c~**\ et l'on a généralement dans ces limites

11 n'y a donc que le premier terme de l'expression de U> terme que nous représenterons par Hc~^\ qui puisse donner un résultat dans l'intégrale ^/U d\L \fn^ et ce résultat est ^H V^w; on a donc

par conséquent,

L'expression générale de U a ainsi la forme suivante

Q^*^ Q^*\ ...» L^•^ L<*^ . . . étant des constantes indéterminées, qui dépendent de la valeur initiale de U.

CtLuvTei dt L, — vu. 38

Supposons que U devienne X lorsque r est nul, X étant une fonction donnée de |a. On a généralement ces deux théorèmes.

o = LO/p»»-^' dfA U; c-i*', lorsque g est moindre que i; U, et Uj étant des fonctions de ja, par lessont multipliés dans l'expression de L'.

quelles -^^r— VnîtC

Pour démontrer ces théorèmes, nous observerons que, par ce qui précède, -—7==^ — est égala

{v'^y'W'ic-v-'fdsC'iii + s /^)"i il faut donc faire voir que l'on a

les intégrales étant prises depuis ^i. el s égaux à — ao jusqu'à }t et égaux à -H ». En intégrant d'abord par rapport à fi, ce terme devien*-^

^'f~ff^'^-'dfj.d,c-^'-''{^+,^^r'

En continuant d'intégrer ainsi par parties relativement à ^t, on parviei^ enfin à des termes de la forme

kffdfx ds c~r--'{f, + s ^-~Y'.

e n'étant pas zéro, et, par ce qui précède, ces termes sont nuls.

On prouver!! de la inêmp manÏTe que l'oi