LIVRE It
l'urne A; le produit ir(/i — a:)/!*'*;^^.,^ est donc une des parties de
Il peut arriver encore que l'opération (r-f- 1 )'*"*• fasse sortir et rentrer dans l'urne  une boule noire, ce qui conserve dans cette urne 07 boules blanches. Ainsi n — a? étant, après l'opération r"*""*, le nombre des boules noires de l'urne A, et x étant celui des boules noires de l'urne B, {n — x)xn*''z^^r est encore une partie de /i*'"'^* «x,r-n •
S'il y a a; — I boules blanches dans l'urne A après l'opération r*^"* et que l'opération suivante en fasse sortir une boule noire et y fasse rentrer une boule blanche, il y aura x boules blanches dans l'urne A après l'opération (r-M)**"*. Le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de n^''Zx-i,r par le nombre /i — a? -h i des boules noires de l'urne A après le tirage r'*"'*, et par le nombre n — x-^ i des boules blanches de l'urne B, après la même opération ; {n—x-h i )*/i*'"5^,,r est donc encore une partie de /ï*''^*«;r,r-hi-
Enfin, s'il y a or + i boules blanches dans l'urne A après l'opération 7^°**, et que l'opération suivante en fasse sortir une boule blanche et y fasse rentrer une^boule noire, il y aura encore, après cette dernière opération, x boules blanches dans l'urne. Le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de /i*''Sx4-i,r par le nombre x h- i des boules blanches de l'urne A, et par le nombre x -^ i des boules noires de l'urne B après l'opération r'*"*; {x-h i)*/i*''«x+i^ est donc encore une partie de n^'''^*^^^^.
En réunissant toutes ces parties et en égalant leur somme à /i*'""^*j5jp^r+if on aura l'équation aux différences finies partielles
Zx.r..= ^-;^) Z.....+ -(«--j^x.r+^.- --j X.-..,.
Quoique cette équation soit aux difi*érences du second ordre par rapport à la variable x^ cependant son intégrale ne renferme qu'une fonction arbitraire qui dépend de la probabilité des diverses valeurs de x dans l'état initial de l'urne A. En efi^et, il est visible que, si l'on connaît les valeurs de z^^^^ correspondantes à toutes les valeurs de x depuis
x= o jusqu'à x = n, Téquation précédente donnera toutes les valeurs de 2^,4, i^x,a» . • M en observant que, les valeurs négatives de x étant im* possibles, 2^,r est nul lorsque x est négatif.
Si n est un très grand nombre, cette équation se transforme dans une équation aux différences partielles, que l'on obtient ainsi. On a alors, à très peu près,
Zjc-i-i ,r — ^x,r +
dx % àx^
àZxlr I d*Zx,r
dx 2 dx^
. àZx,r
Soient
ar= S- — » r^nr', «jr=U;
l'équation précédente aux différences finies partielles deviendra, en négligeant les termes de l'ordre -^»
Pour intégrer cette équation, qui, comme on peut s'en assurer par la méthode que j'ai donnée pour cet objet, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de l'année 1773, n'est intégrable en termes finis qu'au moyen d'intégrales définies, faisons
9 étant fonction de / et de r'. On aura
a|ui— =ac-i«<(p — 2/c-ï*'(9rf/-h/rf9),
l'équation aux différentielles partielles en U devient ainsi
fc-\^^di=:ic-\^t(f'\'fc'V-fdt(t^<f^ a/^y
En égalant entre eux les termes affectés du signe /, on aura l'équation aux différentielles partielles
di' ^ dt
Le terme hors du signe /« égalé à zéro, donnera, pour Téquation aux limites de l'intégrale,
L'intégrale de l'équation précédente aux différentielles partielles de (p est
^(-j7j étant une fonction arbitraire de -jp\ on a donc
D=/.,.-'-i"+(ji,).
Soit
l'expression de U prendra cette forme
Xi = c-^^fdso-"T{i^^^)
Il est facile de voir que l'équation précédente, aux limjtes de l'intégrale, exige que les limites de l'intégrale relative à s soient prises depuis 5 = — 00 jusqu'à 5 = ao. En prenant le radical v^— i avec le signe —, on aurait pour U une expression de cette forme
u = c-.'/rf,o-^'n('-+j.)^ri)
la fonction arbitraire Tl[s) pouvant être différente de ^{s). La somme de ces deux expressions de U sera sa valeur complète. Mais il est facile de s'assurer que, les intégrales étant prises depuis 5 = — oo jusqu'à 5 = 00 , l'addition de cette nouvelle expression de U n'ajoute rien à la généralité de la première, dans laquelle elle est comprise.
Développons maintenant le second membre de Téquation (A), sik î vant les puissances de -^^» et considérons un des termes de ce dév-^ loppemenl, tel que
/Ac-'(«-f*v/-ir'
ce terme devient, après les intégrations.
. Hlf')!
Considérons encore un terme de ce développemeni, relatif aux puissances impaires de -,^-t tel que
Ll'V-
-/dsc-H'
Ce terme devient, après les intégrations.
On aura donc ainsi l'expression générale de la probabilité U, développée dans une série ordonnée suivant les puissances de -^,t série qui devient trës convergente lorsque r' est un nombre considérable. Cett? expression doit être telle que /Uetrou {f[}(iy,\fn soit égale à l'unité, les intégrales étant étendues à toutes les valeurs de x et de p., c'està-dire depuis^ nul jusqu'à a; = n, et depuis [a = —V" jusqu'à ^=:<^n;
