ai — i) V

Le terme qui a pour facteur \i}^ dans cette expression est

or on peut ne considérer que ce terme dans le premier facteur U, de l'intégrale J\ii\iid^cr^*\ car les puissances inférieures de |jl, dans ce facteur, donnent un résultat nul dans l'intégrale. On a donc

[i,3.5. . .(ai — i)]* VÎT

On a, en intégrant par rapport à (x., depuis (ii = — oo jusqu'à (x = oo ,

ffll^^dlJL ds c-ï*'-'»(fx + s ^~iY'

Le premier terme du second membre de cette équation est nul par ce qui précède; ce membre se réduit donc à son second terme. On trouve de la même manière que l'on a

= V-Zl ff(i*'-> du ds c-i*'-'' {,jL + t v'-^)*'"'.

et ainsi de suite; on a donc

par conséquent,

riT ri ^ lit 2.4.6...ïïV^ -/^"'"'^^"'^ = ..3.5...(.i-.)-

On trouvera de la même manière

rivjv ^ Ht ' 2. 4. 6-.. ai v^ •/^"^"'^^"~'^=â.. 3.5. ..(.. + .)•

On a évidemment

/U|U;.rf|uiiri*'=:o,

dans le cas même où i et 1' sont égaux, parce que le produit U/Ui^ ne contient que des puissances impaires de (x..

Cela posé, l'expression générale de U donne, pour sa valeur initiale, que nous avons désignée par X,

ai*-!*'

X = ^^ [n- Q(«)(i- a^x») -t- . . . -h U^^fi -^ L(0^(i-. 1^1) -4. . . .].

Si l'on multiplie cette équation par U|-^[a, et si Ton prend les intégrales depuis (JL = — 00 jusqu'à |a = c» , on aura, en vertu des théorèmes précédents,

/X VidyL = ^Q(*)/u,u*rffxc-i*\

ynn

on trouvera, de la même manière.

On aura donc ainsi les valeurs successives de Qf*\ Q^^K ..., L^*^^ Lf*^ ...»

au moyen d'intégrales définies, lorsque X ou la valeur initiale de U sera donnée.

Dans le cas où X est égal à -=ie"'***', l'expression générale de U