LIVRE II
prend une forme très simple. Alors la fonction arbitraire r|*~f^v^~ ' j constantes S et k^ nous observerons qu'en supposant
de la formule (A) est de la forme kc \ c^' 1 . Pour déterminer les
on aura
En faisant ensuite
et observant que l'intégrale relative à s devant être prise depuis ^ = — 00 jusqu'à 5 = 30 , l'intégrale relative à s' doit être prise dans les mêmes limiteSt on aura
En comparant cette expression à la valeur initiale de U, qui est
et observant que 6 est la valeur initiale de ê', on aura
d'oii Ton tire
On doit avoir ensuite
A" y^TT 2 1 ^1 + 6 vZ/î-TT
<^^ qui donne
^'^*®urque l'on obtient encore par la condition que ^/U d]f. \'n — \. Tin-
tégrale étant prise depuis (x. == — oo jusqu'à (i = oo ; on aura donc, pour l'expression de U, quel que soit f*^
On trouve, en effet, que cette valeur de U, substituée dans l'équation aux différentielles partielles en U, y satisfait.
6' diminuant sans cesse quand f augmente, la valeur de U varie sans cesse et devient à sa limite, lorsque f est infini.
Pour donner une application de ces formules, imaginons, dans une urne C, un très grand nombre m de boules blanches et un pareil nombre de boules noires. Ces boules ayant été mêlées, supposons que Ton tire de Turne n boules, que l'on met dans Turne A. Supposons ensuite que l'on mette dans l'urne B autant de boules blanches qu'il y a de boules noires dans l'urne A, et autant de boules noires qu'il y a de boules blanches dans la même urne. Il est clair que le nombre des cas dans lesquels il y aura x boules blanches, et par conséquent n — x boules noires dans l'urne A, est égal au produit du nombre des combinaisons des m boules blanches de l'urne C, prises a? à ^, par le nombre des combinaisons des m boules noires de la même urne, prises n — x\ /i — or. Ce produit est, par le n® 3, égal à
m(m — i)(m — a)... (m — jr-f-i) m(m — i)(m — a)...(m — n-+-x-»-i) i.a.3...x i.!2.3...(/i — x)
ou à
i.2.3...x.i.2.3...(/i — x). 1.2.3. ..(m — x). 1.2. 3... (m — n-hx)
Le nombre de tous les cas possibles est le nombre des combinaisons des a m boules de l'urne C, prises n à n; ce nombre est
