LIVRE II

On voit ainsi que la somme des erreurs la plus probable, abstraction faite du signe, est celle qui répond à r= o. Cette somme est -rr o^-

Dans le cas où ^{x) est constant, -7^ = -; la somme des erreurs la plus

probable est donc alors la moitié de la plus grande somme possible, somme qui est égale à sa. Mais, si <p(;r] n'est pas constant et diminue à

mesure que Terreur x augmente, alors —r- est moindre que ^, et la

somme des erreurs, abstraction faite du signe, est au-dessous de la moitié de la plus grande somme possible.

On. peut, par la même analyse, déterminer la probabilité que la somme des carrés des erreurs sera 1-^\ls\ il est facile de voir que cette probabilité a pour expression l'intégrale

prise depuis u = — w jusqu'à o == tt. En suivant exactement l'analyse précédente, on aura

et en faisant

la probabilité que la somme des carrés des erreurs des s observations sera comprise dans les limites -jr<^^^ ^ a^r\fs sera

-Lf&drc * .

La somme la plus probable est celle qui répond à r nul ; elle est donc

-r-à^s. Si s est un très grand nombre, le résultat des observations s'écartera très peu de cette valeur, et par conséquent il fera connaître à très peu près le facteur —r-*

20. Lorsque Ton veut corriger un élément déjà connu à fort peu près, par Tensemble d'un grand nombre d'observations, on forme des équations de condition de la manière suivante. Soient s la correction de l'élément, et 6 l'observation ; l'expression analytique de celle-ci sera une fonction de l'élément. En y substituant, au lieu de l'élément, sa valeur approchée, plus la correction s; en réduisant en série par rapport à 2 et négligeant le carré de s, cette fonction prendra la forme h-hpz\ en l'égalant à la quantité observée 6, on aura

6 = A ■+-pz.

z serait donc déterminé, si l'observation était rigoureuse; mais, comme elle est susceptible d'erreur, en nommant & cette erreur, on a exactement, aux quantités près de l'ordre s^,

et en faisant 6 — A = a, on a

Chaque observation fournit une équation semblable, que l'on peut représenter pour l'observation (i + 1)**"* par celle-ci

En réunissant toutes ces équations, on a

(i) Se(0 = ,S/i(''^-Sa('),

le signe S se rapportant à toutes les valeurs de i, depuis < = o jusqu'à i^s—i^s étant le nombre total des observations. En supposant nulle la somme des erreurs, cette équation donne

SgCO * "~ S/>(0 '

c'est ce que l'on nomme ordinairement résultat moyen des observations.

On a vu, dans le n° 18, que la probabilité que la somme des er-