LIVRE
en faisant donc
la fonction {u) devient
^=-Vt
Ainsi, en nommant, comme ci-dessus, aa Tintervalle compris entre les limites des erreurs de chaque observation, la probabilité que la somme des erreurs des s observations sera comprise dans les limites ±ar\Js est
Si 9 (-) est constant, alors p = 6, et cette probabilité devient
ce qui est conforme à ce que Ton a trouvé ci-dessus.
Si ç ( - ) ou <p(^') est une fonction rationnelle et entière de x\ on
aura, par la méthode du n^ 15, la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites =b aryjs, exprimée par une suite de puissances^, 2S9 ... de quantités de la former — [à d= r^^ dans lesquelles [jiaugmenteen progression arithmétique, ces quantités étant continuées jusqu'à ce qu'elles deviennent négatives. En comparant cette suite à Texpression précédente de la même probabilité, on obtiendra d'une manière fort approchée la valeur de la suite, et l'on parviendra ainsi sur ce genre de suites à des théorèmes analogues à ceux que nous avons donnés dans le n^ 42 du Livre I*^, sur les différences finies des puissances d'une variable.
Si la loi de facilité des erreurs est exprimée par une exponentielle négative qui puisse s'étendre jusqu'à l'infini, et généralement si les erreurs peuvent s'étendre à l'infini, alors a devient infini, et l'applica-
OEuPret de L, -. VU. 40
31b THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
tîon de la méthode précédente peut offrir quelques difficultés. Dans
tous ces cas, on fera
7* = ^' ^=rfx,
h étant une quantité quelconque finie, et en suivant exactement l'analyse précédente, on trouvera, pour la probabilité que la somme des erreurs des s observations est comprise dans les limites ±: hryfs^
V *'ir
fdrc **-
expression dans laquelle on doit observer que 9 \j\ ou ^[x') exprime la probabilité de l'erreur ± x, et que Ton a
les intégrales étant prises depuis a?' = o jusqu'à j?' = ao .
19. Déterminons présentement la probabilité que la somme des erreurs d'un très grand nombre d'observations sera comprise dans des limites données, abstraction faite du signe de ces erreurs, c'est-à-dire, en les prenant toutes positivement. Pour cela, considérons la suite
f ( ~] étant l'ordonnée de la courbe de probabilité des erreurs, correspondante à l'erreur ±x^ et or étant, ainsi que n, considéré comme formé d'un nombre infini d'unités. Si l'on élevé cette suite à la puissance 5, après avoir changé le signe des exponentielles négatives, le coefficient d'une exponentielle quelconque, telle que c^'-h")wv^^^ ^^^ la probabilité que la somme des erreurs, prises abstraction faite du
signe, est /+ ^s; cette probabilité est donc
J *i Intégrale relative à ts étant prise depuis u = — r jusqu*à u = :: ; car, dLst ns cet intervalle, l'intégrale /dnc'^'^ ou
fdm{cosrm — \/--^ sinrcj)
sparaît, quel que soit r» pourvu qu'il ne soit pas nul. On a, en développant par rapport aux puissances de u,
log (rm^^^ ["9 ^-\ -h 2<p U\ c''/^-+- . . . -4- 29 (-) c«»\/^ y
En faisant donc
on a
2/rfr' <f(x') = Ar, /x' (/^ 9(:^) rr: k\ fx'^ dx'^[x*) = A-'', Jx'^dx'ff[x') = ir, fx'*dx'(^(x'] = k'\ ,
Jes intégrales étant prises depuis x' nul jusqu'à x'=i; le second ■neiiibre de Téquation (1) devient
erreur de chaque observation devant tomber nécessairement dans les
limites ài n, on a nk = i; li quantité précédente devient ainsi
/a*-' u\ ,--- ikk'-ik'*)sn*vs*
en faisant donc
et négligeant les puissances de xs supérieures au carré, cette quantité se réduit à son second terme, et la probabilité précédente devient
Soient
L'intégrale précédente devient
— fdmc
. /Bj/— 1 — — sm*m*
\/kk"-2k'*'
Cette intégrale doit être prise depuis / = — ao jusqu'à / = « , et alors la quantité précédente devient
En la multipliant par dloxx par ndr\[s, l'intégrale
'^fidrc *
a^TT
sera la demi-probabilité que la valeur de /, et, par conséquent, la somme des erreurs des observations, est comprise dans les limites
•-j-as ±1 aryjs^ ± a étant les limites des erreurs de chaque observation,
limites que nous désignons par + n, quand nous les concevons partagées dans une infinité de parties.
