LIVRE II

Tunité, on a rfa?'= -? on aura

/?(^)=«/rf^'?(*').

Nommons, comme dans les numéros précédents, k l'intégrale !ijdx'(f[x), prise depuis a/ nul jusqu'à sa valeur positive extrême; nommons pareillement A^ l'intégrale /a?'* rfo?', prise dans les mêmes limites, et ainsi de suite ; nous aurons

- |cosmxBj = aA-( i— -T^m*a*cj*H -rm}a^m^ — . . . j .

Le logarithme du second membre de cette équation est

ai ou 2afdx'(f{x') exprime la probabilité que l'erreur de chaque observation sera comprise dans ses limites, ce qui est certain; on a donc o^ = i; ce qui réduit le logarithme précédent a

De là il est aisé de conclure que le produit

a/9 f - j cosmxGT X a/9 f - ) cosm<') xgt X . . . X a/9 ( - | cos/n<'"* > jro

est

(iH Ta a*cj*Sm<'>* -h.. . I c * ;

l'intégrale précédente [i) se réduit donc à

* r^ / *Ar«^-6A^« , ^- ,,., \

En faisant sa}xs^ = /', cette intégrale devient

OSttrrM ^e £. ' vu. il

Sm'*^', S/n^'^*, ... sont évidemment des quantités de l'ordre s; ainsi

— ^-~ est de Tordre -; en négligeant donc les termes de ce dernier ordre vis-à-vis de l'unité, la dernière intégrale se réduit à

2 /ITT V*

-fdtc «^

L'intégrale relative à xs devant être prise depuis ct = — tc jusqu'à u = t, l'intégrale relative à / doit être prise depuis / = — aw yjs jusqu'à / = ax v^f , et dans ces cas l'exponentielle sous le signe / est insensible à ces deux limites, soit parce que s est un grand nombre, soit parce que a est ici supposé divisé dans une infinité de parties prises pour unité; on peut donc prendre l'intégrale depuis/ = — oo jusqu'à / = ao . Faisons

la fonction intégrale précédente devient

Ik"

S/ll(')2

L'intégrale relative à t' doit être prise, comme l'intégrale relative à t, depuis /' = — 00 jusqu'à /'= ao , ce qui réduit la quantité précédente à celle-ci.

«v'^y -jjrS

Sm(')»

Si Ton fait l=ar^Js et si l'on observe que, la variation de / étant l'unité, on a a rfr = I , on aura

Vf

Jdrc

Sm(')2

kr*s

4A'Sm(')«