LIVRE II

pour la probabilité que la fonction {m) sera comprise dans les limites zéro et ary/s^ l'intégrale étant prise depuis rnul.

Nous avons besoin ici de connaître la probabilité de Terreur u de l'élément déterminé en faisant nulle la fonction (m). Cette fonction étant supposée égale à /ou à or \/5, on aura, par ce qui précède,

en substituant cette valeur dans la fonction intégrale précédente, elle devient

Sm(')a

c'est l'expression de la probabilité que la valeur de u sera comprise dans les limites zéro et i/, c'est aussi l'expression de la probabilité que u sera compris dans les limites zéro et — u. Si l'on fait

la probabilité précédente devient

Maintenant, la probabilité restant la même, / reste le même, et l'intervalle des deux limites de u se resserre d'autant plus aue a i IK- -^ ^^'^'

est plus petit. Cet intervalle restant le même, la valeur de /, et par conséquent la probabilité que l'erreur de l'élément tombe dans cet inter-

valle, est d'autant plus grande que la même quantité a\/4: ^"f'^^.

est plus petite; il faut donc choisir le système de facteurs mf'^ qui rend cette quantité un minimum; et comme a, *, k' sont les mêmes dans

tous ces systèmes, il faut choisir le système qui rend t—^^J^ un minimum.

On peut parvenir au inéme résultat de cette manière. Reprenons Texpression de la probabilité que u sera compris dans les limites zéro et u. Le coefficient de du dans la différentielle de cette expression est Tordonnée de la courbe des probabilités des erreurs u de l'élément, erreurs représentées par l'abscisse u de cette courbe, que Ton peut étendre à rinfini de chaque côté de l'ordonnée qui répond à u nul. Cela posé, toute erreur, soit positive, soit négative, doit être considérée comme un désavantage ou une perte réelle, à un jeu quelconque; or, par les principes de la théorie des probabilités, exposés au commencement de ce Livre, on évalue ce désavantage en prenant la somme de tous les produits de chaque désavantage par sa probabilité; la valeur moyenne de l'erreur à craindre en plus est donc la somme des produits de chaque erreur par sa probabilité; elle est par conséquent égale à l'intégrale

aai/v^Sin(Oa

prise depuis u nul jusqu'à u infini; ainsi cette erreur est

/fr'

Cette quantité, prise avec le signe —, donne l'erreur moyenne à craindre en moins. II est visible que le système des facteurs m^'^ qu'il faut choisir doit être tel que ces erreurs soient des minima et par con-

sequent tel que ^^)— i) soit un minimum.

Si l'on différentie cette fonction par rapport à m^\ on aura, en égalant sa différentielle à zéro, par la condition du minimum.

Cette équation a lieu, quel que soit i, et, comme la variation de i ne fait point changer la fraction ^ — âTTô' ^^ nommant (x cette fraction, on